Gabarito P-1 A do 1sem2012

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Nº sequencial 
 
DISC: Nº MA 2121 CÁLCULO II 
I 
P-1 A DATA: 28/ mar / 2012 
NOME: NOTA: 
ASS.: TURMA: 
Instruções Gerais: A duração da prova é de 80 minutos. Não é permitida a consulta e nem o uso de calculadoras e 
 celulares. O valor de cada questão é 2.0 pontos. Respostas à tinta. 
 
 
1ª questão: Calcule o comprimento do arco da curva 2ª questão: A figura representa a região limitada pelas 
f(x) = 
 
 
√ com x  [ 0, 2 ]. curvas y = 2 , y = 2 e x = 0. Calcule o volume do 
 sólido gerado pela rotação da figura em torno do eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº 
y = 2𝑥 
y = 2 2 
1 
x = 0 
0 
f’(x) = 
 
 
 
9𝑥2
 √ 𝑥3
 = 
 𝑥2
√ 𝑥3
 
 
L = 1 + 
 𝑥2
√ 𝑥3
 
 
0
 𝑑𝑥 = √1 + 𝑥 𝑑𝑥
 
0
 
 
 𝑡 = 1 + 𝑥 
 2t.dt = 3dx 
 dx = 
 𝑡𝑑𝑡
 
 
 
L = √𝑡 
 𝑡𝑑𝑡
 
 = 
 
 
 𝑡 𝑑𝑡 
 
L = 
 
 
 
𝑡3
 
 
 
L = 
 
9
 √1 + 𝑥 
 
 
2
0
 
 
L = 
 
9
 √7 
 
 − √1 
 
 
 
L = 
 
9
 7√7 − 1 𝑢. 𝑐. 
 
 
𝑉𝑥 = 𝜋 2
 𝑑𝑥 − 𝜋 2𝑥 𝑑𝑥
1
0
1
0
 
 
𝑉𝑥 = 𝜋 4 − 4𝑥
6 𝑑𝑥
1
0
 
 
𝑉𝑥 = 4𝜋 𝑥 −
𝑥7
7
 
1
0
 
 
𝑉𝑥 = 4𝜋 1 −
1
7
 
 
𝑉𝑥 = 
 4𝜋
7
 𝑢. 𝑣. 
MA 2121 P-1 A DO 1º SEMESTRE DE 2012 MA 2121 
2 
 
 
 
3ª questão: Calcule 4ª questão: Calcule 
 
 2 4 7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u = 𝑒 𝑥 du = 2𝑒 𝑥𝑑𝑥 
dv = cosx.dx v = senx 
 
 𝑢.𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣.𝑑𝑢 
 
 𝑒 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 2. 𝑒 𝑥𝑑𝑥 
 
I = 𝑒 𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2 𝑒 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 
 
u = 𝑒 𝑥 du = 2𝑒 𝑥𝑑𝑥 
dv = senx.dx v = −cosx 
 
I = 𝑒 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2 −𝑒 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − −𝑐𝑜𝑠𝑥. 2𝑒 𝑥𝑑𝑥 
 
I = 𝑒 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑒 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 4 𝑒 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 
 
I = 𝑒 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑒 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 4I 
 
5I = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
I = 
𝑒2𝑥
5
 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 
a𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥 +
𝑏
 𝑎
 
 
−
∆
4𝑎2
 
 
𝑥 + 4𝑥 + 7 = 𝑥 +
4
 
 
 
−
 −1 
4
 = 𝑥 + 2 + 
 
I = 
𝑑𝑥
 𝑥 2 
 
 
t = x+ 2 1.dt = 1.dx 
 
I = 
𝑑𝑡
𝑡2 
 [ tabela nº 11 ] 
 
I = 
1
√ 
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 
𝑡
√ 
 + 𝐶 
 
I = 
1
√ 
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 
𝑥 
√ 
 + 𝐶 
 
MA 2121 P-1 A DO 1º SEMESTRE DE 2012 MA 2121 
3 
 
 
 
5ª questão: Esboce a região do 1º quadrante limitada pelas RASCUNHO 
curvas y = , 3x+y=4 e y = 4. Calcule a área da região. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x= 𝑦 
4 
2 
1 
1 
x= 
4−𝑦
 
 
Pontos de intersecção 
𝑦 = 𝑥 
𝑦 = 4 − 𝑥
 
 
𝑥 = 4 − 𝑥 
𝑥 + 𝑥 − 4 = 0 
x= 
− ±5
 
 
x = 1 ou x = −4 
 
 
A = 𝑦 − 
4−𝑦
 
 
4
1
𝑑𝑦 
 
A = 
 
 
𝑦
 
 − 
4
 
𝑦 + 
𝑦2
6
 
4
1
 
 
A = 
 
 
 𝑦 
 
− 
4
 
𝑦 + 
𝑦2
6
 
4
1
 
 
A = 
16
 
− 
16
 
+ 
16
6
 − 
 
 
−
4
 
+
1
6
 
 
A = 
19
6
 𝑢.𝑎. 
y = 4