Gabarito P-1 C do 1sem2012

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Nº sequencial 
 
DISC: NA 2121 CÁLCULO II 
I 
P-1 C DATA: 02/ abr / 2012 
NOME: TURMA: 
ASS.: NOTA: 
Instruções Gerais: A duração da prova é de 80 minutos. Não é permitida a consulta e nem o uso de calculadoras e 
 celulares. O valor de cada questão é 2.0 pontos. Respostas à tinta. 
 
 
1ª questão: Calcular a área da superfície obtida pela 2ª questão: Calcular ∫ 
rotação, em torno do eixo x, da curva dada por f(x) = , 
com x ∈ [ ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº 
f’(x) = 3𝑥 
 
𝑆𝑥 = 2𝜋 ∫ 𝑥
 + 3𝑥 𝑑𝑥
1
0
 
 
𝑆𝑥 = 2𝜋 ∫ + 9𝑥4 𝑥
 𝑑𝑥
1
0
 
 
t = 1+9𝑥4 
1.dt= 36𝑥 𝑑𝑥 
𝑥 𝑑𝑥 = 
𝑑𝑡
 6
 
 
𝑆𝑥 = 2𝜋 ∫ 𝑡 
𝑑𝑡
 6
 
 
𝑆𝑥 = 
𝜋
18
 
 
 
 𝑡
 
 
 
𝑆𝑥 = 
𝜋
 7
 + 9𝑥4 
 
 
 
 
 
 
𝑆𝑥 = 
𝜋
 7
 
 
− 
 
 
 
𝑆𝑥 = 
𝜋
 7
 − 𝑢 𝑎 
 
u = x du = 1.dx 
dv = 𝑒 𝑥𝑑𝑥 v = 
𝑒2𝑥
 
 
 
∫𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
 
∫ 𝑥 𝑒 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 
𝑒2𝑥
 
− ∫
𝑒2𝑥
 
 𝑑𝑥 
 
I = 
𝑥
 
𝑒 𝑥 − 
1
 
 
𝑒2𝑥
 
 + C 
 
I = 
𝑥
 
𝑒 𝑥 − 
𝑒2𝑥
4
 + C 
 
I = 
𝑒2𝑥
4
 2𝑥 − + C 
 
 
NA 2121 P-1C DO 1º SEMESTRE 2012 NA 2121 
2 
 
 
3ª questão: Calcular ∫
 
 2 6 
 4ª questão: Calcular ∫
 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Fatoração do denominador: 
 
𝑥 − 6𝑥 + 5 = 
x = 
6±4
 
 
𝑥1 = 
𝑥 = 5
 
a𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥 
𝑥 − 6𝑥 + 5 = 𝑥 − 𝑥 − 5 
 
b) Decomposição em frações parciais: 
 
𝑥 
 𝑥 1 𝑥 
 = 
𝐴
𝑥 1
 + 
𝐵
𝑥 
 
 
𝑥 
 𝑥 1 𝑥 
 = 
𝐴 𝑥 𝐵 𝑥 1 
 𝑥 1 𝑥 
 
 
A( x – 5 ) + B( x – 1 ) = x + 3 
(A + B).x + ( −5A – B ) = 1x + 3 
 
 𝐴 + 𝐵 = 
−5𝐴− 𝐵 = 3
 A = −1 B = 2 
 
𝑥 
 𝑥 1 𝑥 
 = 
 1
𝑥 1
 + 
 
𝑥 
 
 
 
c) Cálculo das integrais: 
 
I = ∫
 1
𝑥 1
𝑑𝑥 + ∫
 
𝑥 
𝑑𝑥 
 
I = − ln 𝑥 − + 2 ln 𝑥 − 5 + C 
 
I = ln 
 𝑥 2
𝑥 1
 + C 
 
𝑡 = 𝑥 +  x = 𝑡 − 
 1.dx = 2t.dt 
 
I = ∫
 𝑡2
𝑡2 1
 2𝑡 𝑑𝑡 
 
I = 2∫
𝑡2
𝑡2 1
 𝑑𝑡 
 
Divisão de polinômios: 
 
 𝑡 𝑡 − A B 
−𝑡 + 1 R Q 
 1 
 
𝐴
𝐵
 = 𝑄 + 
𝑅
𝐵
 
 
𝑡2
𝑡2 1
= +
1
𝑡2 1
 
 
I = 2∫ +
1
𝑡2 1
 𝑑𝑥 tabela nº13 
 
I = 2 𝑡 +
1
 
ln 
𝑡 1
𝑡 1
 + C 
 
I = 2 𝑥 + + ln 
 𝑥 1 1
 𝑥 1 1
 + C 
NA 2121 P-1C DO 1º SEMESTRE 2012 NA 2121 
3 
 
 
 
5ª questão: Esboçar a região do 1º quadrante limitada pelas RASCUNHO 
curvas y = , y = 2−x e y = 0. Calcular a área da região. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pontos de intersecção 
𝑦 = 𝑥 
𝑦 = 2 − 𝑥
 
𝑥 = 2 − 𝑥 
𝑥 + 𝑥 − 2 = 
x = 
 1± 
 
 
x=1 ou x= −2 
 
 
A = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 2 − 𝑥 𝑑𝑥
 
1
1
0
 
 
A = 
𝑥3
 
 
 
 
 + 2𝑥 −
𝑥2
 
 
2
 
 
 
A = 
1
 
 + ( 4 – 2 ) − 2 −
1
 
 
 
A = 
1
 
 + 2 − 2 + 
1
 
 
 
A = 
 
6
 = 
 
6
 𝑢 𝑎 
0 1 2 
1 
y = 𝑥 
y =2−x 
y = 0