q2ad2resolucao-2051-1

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AD2 – Questa˜o 2 – Gabarito
Em cada item determine o que se pede.
a) (1.0 pt) Sabe-se que o lucro de uma empresa e´ dado pela relac¸a˜o L = R−C, onde L representa o
lucro, R a receita total e C o custo total da produc¸a˜o. Em uma empresa que produziu x unidades
de um produto, verificou-se que R = 600x− x2 e C = x2 − 200x. Nestas condic¸o˜es:
i) Obtenha a expressa˜o em x que define o lucro dessa empresa.
ii) Considerando que essa empresa teve um lucro nulo, qual foi a quantidade de unidades que
ela produziu?
iii) Qual o significado da situac¸a˜o considerada no item ii) em termos da receita R e do custo C?
Soluc¸a˜o:
i)
L = R − C = (600x− x2)− (x2 − 200x)
= 600x− x2 − x2 + 200x
= −2x2 + 800x.
ii)
L = 0 ⇐⇒ −2x2 + 800x = 0
⇐⇒ 2x2 − 800x = 0
⇐⇒ x2 − 400x = 0
⇐⇒ x(x− 400) = 0
⇐⇒ x = 0 ou x− 400 = 0
⇐⇒ x = 0 ou x = 400.
Como essa empresa produziu x unidades, x 6= 0. Consequentemente, com lucro nulo essa
empresa produziu 400 unidades do produto.
iii) O significado e´ que a receita total R e´ igual ao custo total C. De fato, pois para x = 400
R = 600(400)− 4002 = 240000− 160000 = 80000 reais,
bem como
C = 4002 − 200(400) = 160000− 80000 = 80000 reais.
b) (1,5 pt) Obtenha o conjunto soluc¸a˜o das seguintes equac¸o˜es:
i) |x2 − 6x| = 9
ii) 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0
Soluc¸a˜o:
i) |x2 − 6x| = 9⇐⇒ x2 − 6x = ±9.
Me´todos Determin´ısticos I AD2 - questa˜o 2 2
1o Caso:
x2 − 6x = 9 ⇐⇒ x2 − 6x− 9 = 0
⇐⇒ x = 6±
√
36 + 36
2
=
6±√2(36)
2
=
6± 6√2
2
= 3± 3
√
2
⇐⇒ x1 = 3− 3
√
2, x2 = 3 + 3
√
2.
2o Caso:
x2 − 6x = −9 ⇐⇒ x2 − 6x+ 9 = 0
⇐⇒ x = 6±
√
36 − 36
2
=
6
2
= 3
⇐⇒ x1 = x2 = 3.
Logo, S = {3− 3√2, 3 + 3√2, 3}.
ii) 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0.
Lembre-se que |x2| = |x · x| = |x| · |x|.
1o Caso: x > 0
Enta˜o |x| = x e |x2| = |x| · |x| = x · x = x2.
Da´ı, 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0⇐⇒ 2x2 + 3x− 2 = 0. Logo,
x =
−3±√9 + 16
4
=
−3±√25
4
=
−3± 5
4
,
Isto e´, x =
−3 + 5
4
=
1
2
ou x =
−3− 5
4
= −2
Como x > 0, a resposta deste item e´ x =
1
2
.
2o Caso: x < 0
Enta˜o |x| = −x e |x2| = |x| · |x| = (−x) · (−x) = (−x)2.
Da´ı, 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0⇐⇒ 2(−x)2 + 3(−x)− 2 = 0⇐⇒ 2x2 − 3x− 2 = 0.
Logo,
x =
3±√25
4
=
3± 5
4
,
Isto e´, x =
3 + 5
4
= 2 ou x =
3− 5
4
= −1
2
Como x < 0, a resposta deste item e´ x = −1
2
.
Consequentemente, S =
{
−1
2
,
1
2
}
.
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