P1_NM6120_1S_2013_gabarito

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NÚMERO SEQUENCIAL (LISTA DE PRESENÇA) >> 
DISC: Nº NM6120 - FUND. DA TRANSMISSÃO DE CALOR P1 DATA: 06/04/13 [11h00] sábado 
NOME: GABARITO DA PROVA DE COR AMARELA / COR BRANCA NOTA: 
ASS.: TURMA: 
Instruções Gerais: 
 
- Prova SEM consulta; - É PROIBIDO empréstimo de material; 
- Tempo de prova 70 minutos; - Resolva e responda no LOCAL INDICADO; 
- A INTERPRETAÇÃO FAZ PARTE DA PROVA; - Resultados sem justificativa serão ANULADOS; 
- É permitido o uso de UMA calculadora; 1111º º º º SEM/SEM/SEM/SEM/11113333 
 
[Ex.1 – valor 3,5 pontos] No Alasca um carro fica exposto durante o período noturno a condições 
climáticas que conduzem a formação de uma camada constante de gelo (2 mm de espessura) na 
superfície do teto do veículo. Pela manhã o dono do automóvel recolhe o mesmo para o interior de uma 
garagem fechada. No recinto há um sistema de controle de temperatura (aquecimento) ambiental. 
Sabendo que a temperatura do ar no interior da garagem e das paredes internas da mesma se mantém, 
respectivamente, a 25ºC e a -3ºC (com valores constantes ao longo do tempo) determine o tempo para o 
completo derretimento da camada de gelo do teto. Como hipótese simplificadora admita que a superfície 
inferior da chapa do teto do veículo esteja isolada termicamente. Dados: calor latente de fusão do gelo 
333,7 kJ/kg, densidade do gelo: 920 kg/m3; emissividade da superfície do gelo: 0,95, coeficiente de 
transferência de calor por convecção com o ar: 30 W/m2K e temperatura da superfície do gelo no 
momento em que o carro entra na garagem de 0ºC. 
 
Resolução: 
Para a superfície do gelo: 
Taxa de transferência de calor ganha por 
convecção: 
( )30 25 0 750cq A A= ⋅ ⋅ − = 
Taxa de transferência de calor perdida por 
radiação: ( )8 4 40,95 5,67 10 273 270
12,936
r
r
q A
q A
−
= ⋅ ⋅ ⋅ −
=
 
 
Assim: 
750 12,936
333700737,06 920 0,002
833,046
dhA A m
dt
A A
t
t s
− =
= ⋅ ⋅
∆
∆ =
 
 
 
 
Diferença: Temperatura das paredes internas da 
garagem: -10ºC e coeficiente de transferência 
de calor por convecção de 15 W/m2K 
Para a superfície do gelo: 
Taxa de transferência de calor ganha por 
convecção: 
( )15 25 0 375cq A A= ⋅ ⋅ − = 
Taxa de transferência de calor perdida por 
radiação: ( )8 4 40,95 5,67 10 273 263
41,487
r
r
q A
q A
−
= ⋅ ⋅ ⋅ −
=
 
 
Assim: 
375 41,487
333700333,512 920 0,002
1841
dhA A m
dt
A A
t
t s
− =
= ⋅ ⋅
∆
∆ =
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTA: 
1841t s∆ =
 
_________________ 
 
RESPOSTA: 
833,046t s∆ =
 
_________________ 
 
Nº 
 
 
[Ex.2 – valor 1,5 pontos item a, 3,0 pontos item b, 2,0 pontos item c] Uma placa plana de espessura L 
= 0,2 m está sujeita à radiação de micro-ondas, causando um aquecimento volumétrico não homogêneo 
(semelhante à geração interna de calor). Sabe-se que a distribuição de temperaturas na placa obedece a 
seguinte expressão: 
3
225500 0,5 2550 20
1,2
xT x x
 
= − − + + 
 
 
onde: T é a temperatura em ºC e x é uma coordenada em metros. O sistema de coordenadas é orientado 
de forma que em x = 0 m está a face esquerda da placa e a face direita da placa está em x = L = 0,2 m. 
Uma das faces da placa está perfeitamente isolada. Admitindo regime permanente e troca de calor 
unidimensional na direção x determine para a placa de material homogêneo e condutividade térmica 2 
W/mK: 
(a) Qual das faces está isolada (esquerda x = 0 m ou direita x = 0,2 m). Justifique. 
(b) Qual é a equação para a taxa de geração volumétrica de calor (encontre uma função do tipo 
( )G Gq q x=ɺ ɺ , ou seja, a taxa de geração volumétrica [W/m3] em função da coordenada x); 
(c) Sabendo que a face NÃO isolada está em contato com um fluido e que se estabelece um coeficiente 
de transferência de calor por convecção de 1000 W/m2K, determine qual é a temperatura do fluido. 
 
Resolução: Para ambas as provas 
 
Equação de Fourier para a placa na direção x: 
232 25500 2550
1,2k
dT xq kA A x
dx
  
= − = − − − +  
  
 
Na superfície isolada: 
 
( )( )2
2
2
2
,
0 2 25500 2,5 2550
63750 25500 2550 0
0,4 0,04 0
0,4 0,4 4 0,04
2
0,2
k
I II
q A x x
x x
x x
x
x m
= = − − − +
− + =
− + =
± − ⋅
=
=
 
Portanto, o isolamento está na face direita. 
 
 
Equação da condução para coordenadas cartesianas, transferência de calor unidimensional em regime 
permanente: 
( )
2325500 2550 0
1,2
625500 1 0
1,2 2
51000 1 5
G
G
G
d x q
x
dx k
x q
q x
  
− − + + =  
  
 
− − + = 
 
= −
ɺ
ɺ
ɺ
 
 
 
Na face esquerda a taxa de transferência de calor é de: 
23 02 25500 0 2550 5100
1,2k
q A A
  ⋅
= − − − + = −  
  
 
Para o0 20x T C= → = 
( )
o
5100 1000 20
14,9
f
f
A A T
T C
= −
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS: 
item a: 
facedireita 
____________________ 
 
item b: 
( )50000 1 5Gq x= −ɺ
____________________ 
 
item c: 
o14,9fT C=
____________________ 
 
 
FORMULÁRIO: 
 
q m h= ∆ɺ E mc T= ∆ 
k
dTq k A
dx
= − 
( )4 41 1 1 2rq A T Tε σ= − 
C Cq h A T= ∆ 
Tq
R
∆
=
∑
 
C rh h h= + 
( )
( )
4 4
1 2
1 2
r
T T
h
T T
ε σ −
=
−
 
2 2 2
2 2 2
1GqT T T T
x y z k tα
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
ɺ
 
2 2
2 2 2
1 1 1GqT T T Tr
r r r r z k tφ α
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
+ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
ɺ
 
2
2
2 2 2 2
1 1 1 1GqT T T Tr sen
r r r r sen r sen k t
θ
θ θ θ θ φ α
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
+ + + =   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
ɺ
 
Constante de Stefan-Boltzmann: 8 82 4 2 45,67.10 0,1714.10 o
W BTU
m K h ft Rσ
− −
= = 
Resistência à Convecção: 1C
C
R
h A
= 
Resistência à Radiação: 1
r
r
R
h A
= 
Resistência à Condução 
Parede plana k
LR
k A
= 
Parede cilíndrica ( )0ln /
2
i
k
r r
R
L kpi
= 
Parede esférica 0
04
i
k
i
r rR
k r rpi
−
= 
Área Superficial da esfera = 24 Rpi 
Volume da esfera = 34
3
Rpi 
Raio crítico de isolamento cilindro = / Ck h 
Raio crítico de isolamento esfera = 2 / Ck h 
 
_ _ _ _q taxa de transferência de calor Q= = ɺ