lista 1 e 2 int a termodin

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Introdução à Termodinâmica
Luiz Eduardo Luz Ribeiro 
Mat.: 2019.1.01086.11
Lista 1
1 - 
Idéia-chave: Todos os objetos variam de tamanho quando a temperatura varia.
Uma variação ΔL de qualquer dilatação linear L é dada por: ΔL = Lo . α . ΔT.
Enquanto a variação ΔV do volume de um sólido ou liquido é dada por: ΔV = Vo . β . ΔT.
Então, o volume da esfera e alumínio varia segundo a relação:
ΔVV = Vo . β . ΔVT , onde: Vo = (4/3) (π.r³)
ΔVV = (4/3) (π.(10 ¹)³) . ⁻¹)³) . 3 . 2,3 . 10 ⁵⁻¹)³) . . (40 – 15) β = 3 . α = 3 . 2,3 . 10 ⁵ °C⁻¹C ¹⁻¹)³) . ⁻¹)³) . 
ΔVV = (4/3) (π.(10 ³) . ⁻¹)³) . 3 . 2,3 . 10 ⁵⁻¹)³) . . (40 – 15) ΔVT = 40 °C⁻¹C – 15 °C⁻¹C
ΔVV = 4π . 10 ³ ⁻¹)³) . . 2,3 . 10 ⁵⁻¹)³) . . 25 r = 10,0 cm = 1,0 . 10 ¹ m ⁻¹)³) . 
ΔVV = π . 10² . 10 ³ . 2,3 . 10 ⁵⁻¹)³) . ⁻¹)³) . 
ΔVV = π . 10 ¹ ⁻¹)³) . . 2,3 . 10 ⁵ ⁻¹)³) . = 2,3 . 10 π cm³⁻⁶ π cm³
2 -
Neste caso há uma variação linear: ΔL = Lo . α . ΔT, onde consideramos uma variação de 
temperatura ΔT para a barra inteira, mas analisa-se a variação ΔL para cada material que compõe a
barra, separadamente:
Latão: ΔLL = LoL . αL . ΔT , onde: LoL= 20,0 cm
 ΔLL = 2,0 . 10 ¹ . ⁻¹ . 1,9 . 10 ⁵⁻¹ . . ΔT α L= 1,9 . 10 ⁵ ºC ¹⁻¹ . ⁻¹ . 
 ΔLL = 3,8 . 10 . ⁻¹ . ⁶ . ΔT m
Aço: ΔLA= LoA . αA . ΔT , onde: LoA= 20,0 cm
 ΔLA = 10 ¹ . ⁻¹ . 1,1 . 10 ⁵⁻¹ . . ΔT α A= 1,1 . 10 ⁵ ºC ¹⁻¹ . ⁻¹ . 
 ΔLA = 1,1 . 10⁻¹ . ⁶ . . ΔT m
Agora, volta-se a analisar a barra como um único objeto:
A variação linear ΔLB da barra será a soma das variações das barras de aço e latão:
ΔLB = ΔLA + ΔLL
 = 3,8 . 10 . ⁻¹ . ⁶ . ΔT + 1,1 . 10⁻¹ . ⁶ . . ΔT
 = 4,9 . 10 . ⁻¹ . ⁶ . ΔT
ΔLB = LoB . αB . ΔT , onde: ΔLB = 4,9 . 10 . ⁻¹ . ⁶ . ΔT m
αB = Δ L B = 4,9 . 10 . ⁻¹ . ⁶ . Δ T LoB = 30,0 cm = 0,3 . 10 ¹ m⁻¹ . 
 LoB . ΔT 3,0 . 10 ¹ . ⁻¹ . ΔT 
αB = 1,63 . 10 ⁵ °C ¹⁻⁵ °C⁻¹ ⁻⁵ °C⁻¹
3 -
A idéia é usar conceitos geométricos para encontrar o valor de R.
No “caminho”, algumas medidas serão encontradas usando conceitos de calorimetria.
Analisando as dilatações do latão (ΔLL) e do aço (ΔLA):
ΔLL = LoL . αL . ΔTL ΔLA = LoA . αA . ΔTA
LL - LoL = LoL . αL . ΔTL LA - LoA = LoA . αA . ΔTA
LL = LoL + LoL . αL . ΔTL LA = LoA + LoA . αA . ΔTA
LL = LoL (1+ αL . ΔTL) LA = LoA (1+ αA . ΔTA)
Os valores LL e LA correspondem ao comprimento de arco que se relaciona com o raio R e o ângulo 
θ.
 LL LA
 R R
 R -d R - d
 θ θ
LL= R . θ LA= (R - d) . θ
 θ= LL / R θ= LA / (R - d)
Daí:
LL / R = LA / (R – d)
LL . (R – d) = R . LA
LL . R – LL . d = R . LA
R . (LL - LL) = LL . d 
R = (LL . d) / (LL - LL) = 10,0 m
Para encontrar o valor de y, toma-se o triângulo:
 
 R² = (R – y)² + Lo² 
 Lo R R² = R² – 2 . R . y + y² + Lo² 
 y² – 2 . R . y + Lo² = 0
 y = 2.R + (4 . R² – 4 . Lo²)¹/² /2
 R-y y = R +(4 . R² – 4 . Lo²)¹/² 
 y = R +(R² . Lo²)¹/² 
4 -
a) O Período (P) do pêndulo pode ser calculado através de: 
Po= 2π √(lo /2) /g , onde: Po = 1,0 s
 g = 9,81 m/s²
1 = 2π √(l /2)/9,81
lo/2 = 0,24849 m
Analisanndo o atraso do relógio de acordo com o Período:
No inverno: O relógio adianta 55,0 s / semana.
Por Período ele atrasa:
1 semana _________ 55 s
1 s ______________ x s
7 . 24 . 60 . 60 s ___ 55 s
1 s ______________ x s
x = 55 / 7 . 24 . 60 . 60 = 0,0000909 s (=ΔPinv.)
.: Pinv = 1,0 s + 0,0000909 s
Agora, usando a fórmula do Período, encontra-se l/2 para o inverno:
Pinv = 2π √(l /2)inv /9,81
(l/2)inv = 0,24853 m
E a variação ΔL no inverno:
ΔLinv = (l/2)inv - lo/2 
 = 0,24853 – 0,24849
 = 0,00004 m
No inverno, a cada Período do pêndulo, o relógio adianta 0,0000909 s.
Com isso, sabe-se que o período do pêndulo no inverno é: Pinv = 1,0000909 s.
Daí, a partir do Período, descobre-se o novo “tamanho” do pêndulo: (l/2)inv = 0,24853 m.
ΔL = Lo . α . ΔT , onde: Δlinv = 0,00004 m
α = ΔL / Lo . ΔT Lo = 0,24849
 ΔT = (10 – To)
No verão: O relógio atrasa 60,0 s / semana.
Por Período ele atrasa:
1 semana _________ 60 s
1 s ______________ x s
7 . 24 . 60 . 60 s ___ 60 s
1 s ______________ x s
x = 60 / 7 . 24 . 60 . 60 = 0,00009920 s (=Δpver.)
.: Pver. = 1,0 s - 0,00009920 s = 0,9999008 s
Agora, usando a fórmula do Período, encontra-se l/2 para o verão:
Pver = 2π √(l /2)ver /9,81
0,9999008 = 2π √(l /2)ver /9,81
(l/2)ver = 0,24844 m
E a variação ΔL no verão:
ΔLver = (l/2)ver - lo/2 
 = 0,24844 – 0,24849
 = 0,00005 m
No verão, assim como no inverno:
ΔL = Lo . α . ΔT , onde: Δlver = 0,00005 m
α = ΔL / Lo . ΔT Lo = 0,24849
 ΔT = (30 – To)
Resolvendo as duas equações como um sistema:
0,00004 = 0,2489 . α . (10 – To)
0,00005 = 0,2489 . α . (30 – To)
0,00001 = 0,2489 . α . 20
α = 0,00001 / (20 . 0,2489) = 0,0000020 cal g °C ¹⁻⁵ °C⁻¹
5 - 
Antes da dilatação:
l = 2 . l1 – l2
l2 = 2 . l1 – l (1)
Depois da dilatação:
l = 2 . l1f – l2f
l2f = 2 . l1f – l (2)
Substituindo (1) em (2):
l1f = l1 . (1 + 1,1 . 10 ⁵ . ⁻¹ . ΔT)
l2f = l2 . (1 + 2,3 . 10 ⁵ . ⁻¹ . ΔT)https://www.google.com/search?q=ara+construir+um+term
%C3%B4metro+de+leitura+f%C3%A1cil%2C+do+ponto+de+vista+pr%C3%A1tico+
%28Problema+7%29%2C
(2 . l1 - l) . (1 + 2,3 . 10 ⁵ . ⁻¹ . ΔT) = 2 . l1 + 2,2 . l1 . 10 ⁵ . ⁻¹ . ΔT – l
4,6 . l1 – 2,3 . l = 2,2 . l1
l1 = 23 .l / 24
Então:
l1 = 23 / 48 = 47,9 cm
l2 = 45,8 cm
6 -
a) ΔV = Vo . β . ΔT 
 V - Vo = Vo . β .(T – To)
 V = Vo + Vo . β .(T – To)
 V = Vo (1+ β .(T – To))
Quando uma porção de um liquido sofre dilatação, sua densidade diminui, mas sua massa continua
a mesma.
mT = mTo (a massa à temperatura final é a mesma à temperatura final)
Daí, pode-se escrever:
ρ . V = ρo . Vo , onde V = Vo (1+ β .(T – To))
ρ . Vo (1+ β .(T – To)) = ρo . Vo
ρ / ρo = 1 / 1+ β .(T – To) (1)
b) As diferenças de pressão são:
ΔP1 = P1 – Patm = ρo . g . ho
ΔP2 = P2 - Patm= ρ . g . h
Como as alturas são as mesmas, P1 = P2 = P
Δ P1 = Δ P2
ρo . g . ho = ρ . g . h
ρo . ho = ρ . h
ρ / ρo = ho / h
Substituindo em (1), onde ρ / ρo = 1 / 1+ β .(T – To):
1 / 1+ β .(T – To) = ho / h
β = (h - ho) / ho .(T - To)
Conclusão importante: Este resultado só depende das alturas do liquido nos recipientes, ou seja, 
não depende da forma do recipiente que contém o liquido.
c) Substituindo os valores na equação do resultado anterior:
β = (h - ho) / ho .(T – To) , onde: To= 0 ºC
 = (1,03 – 1,0) / 1,0 .(20 – 0) T= 20 °C
 = 1,5 . 10 ³ °C ¹⁻⁵ °C⁻¹ ⁻⁵ °C⁻¹ ho= 1,0 m
 h= 1,3 m
7-
a) ΔVV = Vo . β . ΔVT , onde: ΔV = Ab . Δh
 ΔVV = Vo . (β – 2α) Vo = Ab . ho
Ab . Δh = Ab . ho . (β – 2α) 
Δh = ho . (β – 2α)
b) Para mostrar que este sistema não constitui um bom termômetro, espera-se que não haja variação
considerável de altura no cilindro.Δh = ho . (β – 2α) onde: α = 9,0 .10⁻¹ . ⁶ . 
 = 10 .(180 . 10 – 2,9 . 10 )⁻¹)³) . ⁶ – 2,9 . 10⁻⁶) ⁻¹)³) . ⁶ – 2,9 . 10⁻⁶) β = 1,8 . 10 ⁴⁻¹)³) . 
 = 1,62 .10 ³ cm ⁻⁵ °C⁻¹ ho = 10,0 cm
8-
a) h= ? (T>To)
ΔV = Vo . (β. 3α) . ΔT
 = h . (do/2)² . H
 h = 4.Vo . β. 3α ΔVV = Vo . β . ΔT .ΔT / π .do²
b) do² = 4 . Vo .(β. 3α ) . ΔT/ π .h
 = 4 . 0,2 . (180 – 27) . 10 / ⁻¹ . ⁶ . π . 1
 do = √4 . 0,2 .(180 – 27). 10⁻¹)³) . ⁶ . / π . 1 
 = 0,062 mm
9 -
As forças que atuam no bloco são a força Peso e o Empuxo.
Em equilibrio, as forças que atuam no bloco se anulam:
P=E
m . g = ρM . g. Vo
m = ρL . ao
m = (ao – Ho + ho) . ρM 
Ho = (ao – ho) - (ρL / ρM) . ao
Ho = 0,61 mm
Introdução à Termodinâmica
Lista 2
2 - 
A função que define a “capacidade térmica molar” é:
Cv = 464 . (T / Td)³ cal / mol . K , onde, para NaCl: Td = 281 K
A capacidade térmica média no intervalo de 10 K será a soma das capacidades térmicas, dividida 
por 10:
Cv = ∫
10
20
464 .(T /Td ) ³ .dt /10
 ∫
10
20
464 .(T /281) ³ .dt
 ∫
10
20
464 .T ³/281³ . dt
(464 /281³)∫
10
20
T ³. dt
 464 .(20 – 10 ) / 4.(281)⁴ – 10⁴) / 4.(281) ⁴ – 10⁴) / 4.(281) ³ 
 464 .(150000) / 4.(281)³ = 116 . 15 . 10³ / 281³ cal / mol . K
4 - 
a) C= 1,36 . 10³ W/m²
A área da Terra onde incide os raios solares é definida Ainc.
Ainc. = A .cosθ
C= Q / ΔT . A
Q= C . ΔT . A .cosθ
Infinitesimalmente:
dQ = C . ΔT . dA . Cosθ
Q = C . ΔT . ∫
0
A
cosθ .dA
Q = C . ΔT . A
Q = 1,36 . 10³ ΔT . A
b) 23% da energia solar incidente em um dia (Q) é utilizada para evaporar água e 71% da superfície
da terra é coberta por água:
(23 / 100) . (71 / 100) . Q = m . Lv
(23 / 100) . (71 / 100) . Q = ρ . V . Lv
(23 / 100) . (71 / 100) . Q = ρ . A . h . Lv
h = (23 / 100) . (71 / 100) . (Q / ρ . A . Lv)
13 -
Considerando uma superfície esférica concêntrica intermediária de raio r : (r1<r<r2) e escrevendo a 
lei de condução de calor dessa superficie:
Q= K . 4π . r² . (dt / dr)* *diferença de temperatura dt na região dr
 
A taxa de calor (K) é constante em qualquer ponto (r1<r<r2).
Integrando neste intervalo:
 Q .∫
r 1
r 2
dr /r ²=4 . K∫
t 1
t 2
dt
(1/r2) – (1/r1) = 4π . K . (t2 – t1)
Q = (dQ / dt)
 = 4π . K . (r1.r2).(t2 – t1) /(r1-r2)
16 -
O gelo avança, de cima pra baixo, em função da condutividade K do gelo, da sua densidade ρ e do 
calor latente de fusão L.
A idéia é, considerando a agregação de uma camada de espessura dv à camada já existente, de 
espessura x, e integrar em relação a x:
Q = K . (A / x) . t = m . h (quantidade de calor que passa por uma camada de espessura x)
A massa m ue se solidifica ocupa uma área A e tem espessura x.
m = ρ . V = ρ . A . x . dx
∫
t
¿
(K . t / ρ . L).dt
∫
0
l
x .dx = l² /2 = K . t (t – to) / ρ . L
 
 l = √2. K . ΔVT . t / ρ . L 
b) Usando a conclusão do ítem anterior:
I= √2. K . ΔVT . t / ρ . L
I = √2. 10 .60. 60 .4 .10⁻¹)³) . ³ /0,92. 80
 = 1,98 cm