Gabarito - prova 1 - Noite

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciências e Tecnologia
ECT 1301 - Probabilidade e Estatística
Prof. Sandro Bruno do Nascimento Lopes
Prova 1 - Noite 2015.1
GABARITO
1. (2, 0 pontos) De acordo com o departamento de polícia de uma região, menos
de 20% dos moradores da região sofreram algum assalto. Para constatar esta
afirmação, um grupo de com 147 moradores foi selecionado de maneira aleatória,
e destes 26 afirmaram que já sofreram assalto. Teste a afirmação da polícia com
nível de significância de 10%.
No problema, pede-se para estabelecer e concluir sobre a afirmativa de que menos de 20% dos
moradores da região sofreram algum assalto. Neste caso, estabelece-se um teste de hipóteses
sobre o valor da proporção populacional (que é o parâmetro mais adequado para descrever o
valor de percentagem tratado no problema).
Inicialmente, são definidas hipóteses do teste. Como a afirmativa de referência de que menos
de 20% dos moradores da região sofreram algum assalto, tem-se que:{
H0 : p = 0, 2;
H1 : p > 0, 2.
De forma que se trata de um teste de proporção unicaudal superior. Neste caso, é utilizada
como estatística de teste o teste Z para proporções, dado por:
z = pˆ− p√
p(1− p)
n
Para tanto, é preciso verificar se o teste pode ser utilizado. Isto é feito conferindo se np ≥ 5
e n(1− p) ≥ 5. Para o teste, uma amostra com 147 moradores da região foi estabelecida, de
forma que:
• n = 147 moradores;
• p = 0, 2;
• np = 147 ∗ 0, 2 = 29, 4 ≥ 5;
• n(1− p) = 147 ∗ (1− 0, 2) = 147 ∗ 0, 8 = 117, 6 ≥ 5
Sendo possível o uso do teste Z neste caso, a abordagem utilizada será por valor crítico,
Sendo necessário estabelecer a região de rejeição. Para o teste Z unicaudal superior, a região
de rejeição é dada por (−∞;−z1−α]. Desta maneira, é necessário estabelecer o valor crítico
z1−α. Como o nível de significância estabelecido é α = 10% = 0, 10, tem-se que:
• 1− α = 1− 0, 1 = 0, 9;
• z1−α = z0,9 ≈ 1, 28;
• Região de rejeição: (−∞;−1, 28].
1
Definida, a região de rejeição, calcula-se a estatística de teste z, sabendo que, de uma grupo
selecionado de 147 moradores, 26 disseram já ter sofrido assalto.
• Proporção amostral: pˆ = 26147 ≈ 0, 1769
• Estatística de teste:
z0 =
pˆ− p√
p(1− p)
n
= 0, 1769− 0, 2√
0, 2(1− 0, 2)
147
= −0, 0231√0, 2 ∗ 0, 8
147
= −0, 0231√0, 16
147
≈ −0, 02310, 0330 ≈ −0, 7
Como o valor da estatística de teste z = −0, 7 pertence a região de rejeição (−∞;−1, 28],
então não rejeita-se a hipótese H0 em favor de H1. Isto significa que não existem evidências
fortes o suficiente para afirmar que menos de 20% dos moradores da região sofreram algum
assalto.
2. (2, 0 pontos) O tempo de espera de um metrô em uma estação pode ser modelado
com tendo distribuição exponencial com tempo médio de 15 minutos.
(a) (0, 5 ponto) Qual a probabilidade de um metrô chegar nos próximos 10 mi-
nutos?
É dito no problema que a variável aleatória em questão X = { O tempo de espera de
um metrô em uma estação } possui distribuição exponencial com valor médio dado por
E(X) = 15 minutos. Como o valor médio é o inverso do parâmetro λ da distribuição,
tem-se que:
E(X) = 1
λ
→ 15 = 1
λ
→ λ = 115 → λ ≈ 0, 0667
Portanto, é possível afirmar que X ∼ Exp
( 1
15
)
. Sabe-se que, para uma distribuição
exponencial, a função densidade de probabilidade f(x) é dada por:
F (x) =
{
1− e−λx, x ≥ 0;
0, caso contrário
Para este problema, portanto, tem-se que:
F (x) =
{
1− e− 115x, x ≥ 0;
0, caso contrário
Pede-se para calcular a probabilidade de um metrô chegar nos próximos 10 minutos.
Este valor pode ser expresso como P (X ≤ 10) e é dado por:
P (X ≤ 10) = F (10) = 1− e− 115∗10 = 1− e− 1015
≈ 1− e−0,6667 ≈ 1− 0, 5134 = 0, 4866
2
Portanto, a probabilidade de um de um metrô chegar nos próximos 10 minutos é de,
aproximadamente, 48, 66%
(b) (0, 75 ponto) Qual é o tempo de espera máximo para 75% dos passageiros?
O que se pede neste problema é o valor do tempo de espera xp máximo para 75% dos
passageiros. Isto significa que o valor de xp deve ser tal que 75% dos tempos de espera
sejam iguais ou menores do que ele, ou P (X ≤ xp) = 0, 75. Consequentemente:
P (X ≤ xp) = 0, 75→ F (xp) = 0, 75→ 1− e− 115∗xp = 0, 75
→ e−xp15 = 1− 0, 75→ e−xp15 = 0, 25→ −xp15 = ln 0, 25→
− xp15 ≈ −1, 3863→ xp = −1, 3863 ∗ (−15)→ xp = 20, 7945
Logo, o tempo de espera máximo para 75% dos passageiros e de, aproximadamente,
20, 7945 minutos ou 20 minutos e 48 segundos.
(c) (0, 75 ponto) Sabendo que já se passaram 1 hora sem que nenhum metrô
tenha passado nesta estação, qual a probabilidade de ter que se esperar, no
máximo, mais 20 minutos para a chegada de um metrô?
Pede-se, neste caso, para determinar a probabilidade de se esperar, no máximo, mais 20
minutos para a chegada de um metrô, sabendo já se passaram 1 hora (60 minutos) sem
que nenhum metrô tenha passado nesta estação. Esta probabilidade pode ser expressa
como P (X < 60 + 20|X > 60) e, de acordo com o princípio da falta de memória da
distribuição exponencial, pode ser calculada como:
P (X < 60 + 20|X > 60) = P (X < 20) = F (20) = 1− e− 115∗20
1− e− 2015 ≈ 1− e−1,3333 ≈ 1− 0, 2636 = 0, 7364
Portanto, a probabilidade de se esperar, no máximo, mais 20 minutos para a chegada de
um metrô, sabendo já se passaram 1 hora sem que nenhum metrô tenha passado nesta
estação, é de, aproximadamente, 73, 64%.
3. (2, 0 pontos) A espessura X de um modelo de cano de PVC, em milímetros,
fabricado por um empresa pode ser expressa através da seguinte função densidade
de probabilidade f(x):
f(x) =

x3
580 , 3 ≤ x ≤ 7
0, caso contrário
(a) (1, 0 ponto) Determine a função de distribuição acumulada F (x) e calcule a
probabilidade da espessura de um cano selecionado ser menor que 5 milíme-
tros;
A variável do problema em questão é X = { A espessura de um modelo de cano de PVC
3
} é a função densidade de probabilidade f(x) é dada como:
f(x) =

x3
580 , 3 ≤ x ≤ 7
0, caso contrário
Expandindo a função f(x) no intervalo (−∞;∞), tem-se que:
f(x) =

0, x < 3;
x3
580 , 3 ≤ x ≤ 7
0, x > 7.
Sabe-se que a função de distribuição acumulada F (x) pode ser definida a partir da função
densidade de probabilidade f(x) a partir da expressão:
F (x) =
∫ x
−∞
f(u)du
Como f(x) é dividida em três intervalos contínuos (x < 3, 3 ≤ x ≤ 7 e x > 7), é
necessário avaliar cada parte separadamente:
• Para x < 3:
F (x) =
∫ x
−∞
f(u)du =
∫ x
−∞
0 du = 0
• Para 3 ≤ x ≤ 7:
F (x) =
∫ x
−∞
f(u)du =
∫ 3
−∞
0 du+
∫ x
3
u3
580 du = 0 +
1
580
∫ x
3
u3 du
= 1580
[
u4
4
]∣∣∣∣∣
x
3
= 1580
[(
x4
4
)
−
(
34
4
)]
= 1580
[(
x4
4
)
−
(81
4
)]
= 1580
[
x4 − 81
4
]
= x
4 − 81
2.320
• Para x > 7:
F (x) =
∫ x
−∞
f(u)du =
∫ 7
−∞
f(u)du+
∫ x
7
0 du
= F (7) + 0 = 7
4 − 81
2.320 =
2.410− 81
2.320
= 2.3202.320 = 1
Portanto, a função de distribuição acumulada F (x) é dada por:
F (x) =

0, x < 3;
x4 − 81
2.320 , 3 ≤ x ≤ 7;
1, x > 7
O problema pede, ainda, para determinar a probabilidade da espessura de um cano
selecionado ser menor que 5 milímetros. Com relação a variável aleatória em questão,
4
este problema pode ser reescrito como P (X < 5). Através da função de distribuição
acumulada, tem-se que:
P (X < 5) = F (5) = 5
4 − 81
2.320 =
625− 81
2.320
= 5442.320 = 0, 2344
Portanto, a probabilidade de da espessura de um cano selecionado ser menor que 5
milímetros é de 23, 44%.
(b) (1, 0 ponto) Sabendo que a vazão V , em litros, de água suportada por canos
deste modelo pode ser expressa por V = 5.800X2, determine a vazão média
suportada pelos canos produzidos por esta empresa.
Nesta questão, deseja-se calcular a vazão média suportada pelos canos produzidos por
esta empresa. Estavazão média pode ser expressa matematicamente como E(V ), onde
V é a vazão suportada pelos canos, e que está relacionada com a espessura X dos
canos através da expressão V = 5.800X2. Logo, é correto afirmar que V = h(X) e,
consequentemente:
E(V ) =
∫ ∞
−∞
h(x)f(x) dx =
∫ ∞
−∞
5.800x2f(x) dx =
=
∫ 7
3
5.800x2
(
x3
580
)
dx =
∫ 7
3
(5.800
580
)
x5 dx
= 10
∫ 7
3
x5 dx = 10
[
x6
6
]∣∣∣∣∣
7
3
= 10
[
76
6 −
36
6
]
= 10
[117.649
6 −
729
6
]
= 10
[116.920
6
]
≈ 10 ∗ 19.486, 6667 = 194.866, 667
Logo, a vazão média suportada pelos canos produzidos por esta empresa é de, aproxi-
madamente, 194.866, 667 litros.
4. (2, 0 pontos) O comprimento dos rebites produzidos por uma fábrica possui dis-
tribuição normal com valor médio de 33, 5 centímetros e desvio-padrão de 1, 2
centímetros.
(a) (0, 5 ponto) Determine a probabilidade de um rebite produzido por esta fá-
brica ter comprimento dado entre 31 e 34 centímetros;
De acordo com o problema, existe uma variável aleatóriaX = { Comprimento dos rebites
produzidos por uma fábrica }, que possui distribuição normal, com valor médio mu =
33, 5 centímetros e desvio-padrão σ = 1, 2 centímetros. Ou seja, X ∼ N(33, 5; 1, 22).
Como a distribuição de X é expressa por uma distribuição normal não-padrão, define-se
o escore-Z Z associada a ela da seguinte forma:
Z = X − µ
σ
= X − 33, 51, 2
5
Neste item, pede-se para calcular a probabilidade de um rebite produzido por esta fábrica
ter comprimento dado entre 31 e 34 centímetros. Matematicamente, esta informação
pode ser expressa como P (31 < X < 34) e é dada por:
P (31 < X < 34) = P
(31− 33, 5
1, 2 < Z <
34− 33, 5
1, 2
)
= P
(−2, 5
1, 2 < Z <
0, 5
1, 2
)
≈ P (−2, 0833 < Z < 0, 4167) ≈ P (−2, 08 < Z < 0, 42)
= Φ(0, 42)− Φ(−2, 08) = 0, 6628− 0, 0188 = 0, 6440
Logo, a probabilidade de um rebite produzido por esta fábrica ter comprimento dado
entre 31 e 34 centímetros é de, aproximadamente, 64, 40%.
(b) (0, 75 ponto) Qual é o comprimento mínimo de 70% dos rebites fabricados?
Nesta questão, pede-se para definir o comprimento mínimo de 70% dos rebites fabricados.
Em termos da variável aleatória em questão, o que se deseja é obter um valor de X,
denominado xp, para o qual 70% do rebites tenha comprimento igual ou maior, ou seja,
P (X ≥ xp) = 0, 70.
Reescrevendo o problema em função da variável Z, deseja-se estabelecer zp para o qual
P (Z ≥ zp) = 0, 70. Consequentemente:
P (Z ≥ zp) = 0, 70→ 1− Φ(zp) = 0, 70→ Φ(zp) = 1− 0, 70
Φ(zp) = 0, 30→ zp ≈ −0, 52
O valor da resistência xp é expresso através da expressão Z =
X − 33, 5
1, 2 :
zp =
xp − 33, 5
1, 2 → −0, 52 =
xp − 33, 5
1, 2
→ xp − 33, 5 = −0, 52 ∗ 1, 2→ xp − 33, 5 = −0, 624
→ xp = 33, 5− 0, 624→ xp = 32, 876 cm
Portanto, o valor do comprimento mínimo de 70% dos rebites fabricados é de 32, 876
centímetros.
(c) (0, 75 ponto) O emprego de um rebite é determinado de acordo com o com-
primento deste. Estabeleceu-se que os rebites com mais de 35 centímetros
são destinados exclusivamente a construção civil, rebites com menos de 32
centímetros são empregados exclusivamente na indústria automobilística, e
rebites fora deste dois intervalos são empregados em outras áreas que não
sejam construção civil ou indústria automobilística. Determine, então, a
probabilidade de um rebite selecionado aleatoriamente ser empregado para
a construção civil ou para a indústria automobilística.
Nesta questão, pede-se para estabelecer a probabilidade de um rebite selecionado alea-
toriamente servir para a construção civil ou para a indústria automobilística. De acordo
com as informações do problema, é possível afirmar que:
• Para um rebite ser aplicado na construção civil, ele precisa ter um comprimento
maior do que 35 centímetros. Matematicamente, isto significa que X > 35;
6
• Para um rebite ser aplicado na indústria automotiva, ele precisa ter um comprimento
menor do que 32 centímetros. Matematicamente, isto significa que X < 32;
• Os dois conjuntos definidos (X > 35 e X < 32) não possuem intersecção, pois não
possuem intervalo de valores em comum. Logo, estes dois conjuntos são considerados
disjuntos.
Como a probabilidade de interesse é por um rebite que seja empregado na construção
civil ou na indústria automotiva, deseja-se avaliar P (X > 35 ∪X < 32). Como os dois
conjuntos são disjuntos, tem-se que:
P (X > 35 ∪X < 32) = P (X > 35) + P (X < 32)
= P
(
Z >
35− 33, 5
1, 2
)
+ P
(
Z <
32− 33, 5
1, 2
)
= P
(
Z >
1, 5
1, 2
)
+ P
(
Z <
−1, 5
1, 2
)
= P (Z > 1, 25) + P (Z < −1, 25)
= [1− Φ(1, 25)] + Φ(−1, 25) = [1− 0, 8944] + 0, 1056
= 0, 1056 + 0, 1056 = 0, 2112
Portanto, a probabilidade de um rebite selecionado aleatoriamente ser empregado para
a construção civil ou para a indústria automobilística é de, aproximadamente, 21, 12%.
5. (2, 0 pontos) A análise de desempenho médio dos alunos de uma grande escola foi
levantada. Para tanto, realizou-se um teste com 51 alunos escolhidos aleatoria-
mente, e constatou-se um desempenho médio de 570 pontos, e desvio padrão de
83 pontos. Determine o Intervalo de Confiança, com nível de confiança de 95%,
para o desempenho médio dos alunos da escola.
O problema pede para estabelecer um Intervalo de Confiança para o desempenho médio dos
alunos da escola. Como se trata de um valor médio (desempenho médio), este Intervalo de
Confiança pode ser considerado referente a média populacional µ.
No problema é fornecido um valor de desvio-padrão referente a uma amostra com 51 alunos.
Neste caso, o Intervalo de Confiança de interesse é dado como:[
x− tα
2 ,n−1
(
s√
n
)
;x+ tα
2 ,n−1
(
s√
n
)]
Para estabelecer o Intervalo de Confiança como sendo o apresentado anteriormente, é preciso
garantir que a média amostral tenha distribuição aproximadamente normal. Isto pode ser
feito verificando se a variável aleatória que descreve a população possui distribuição normal,
ou o tamanho da amostra utilizada é suficientemente grande para considerar a aplicação do
Teorema do Limite Central. Para este exemplo, a segunda condição é satisfeita, visto que a
amostra utilizada tem tamanho n = 51 elementos, e a regra para a aplicação do Teorema do
Limite Central é que n > 30.
Com esta definição, torna-se necessário definir o valor crítico tα
2 ,n−1, sabendo que o nível de
confiança desejado é de 95% e o tamanho da amostra é n = 51:
• n− 1 = 51− 1 = 50;
7
• (1− α) ∗ 100% = 95%
• 1− α = 0, 95;
• α = 0, 05.
• α2 =
0, 05
2 = 0, 025
• tα
2 ,n−1 = t0,025,50 = 2, 009
É informado no problema que, para um teste realizado com um conjunto de 51 alunos, o
desempenho média foi de 570 pontos e o desvio-padrão de 83 pontos. Portanto, o intervalo
de confiança será: [
x− tα
2 ,n−1
(
s√
n
)
;x+ tα
2 ,n−1
(
s√
n
)]
[
570− 2, 009
( 83√
51
)
; 570 + 2, 009
( 83√
51
)]
[570− 2, 009 (11, 6223) ; 570 + 2, 009 (11, 6223)]
[570− 23, 3492; 570 + 23, 3492]
[546, 6508; 593, 3492]
O intervalo de confiança definido para o desempenho médio dos alunos da escola é dado por
[546, 6508; 593, 3492].
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