Gabarito lista de exercicios extra - função trigonométrica

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LISTA DE EXERCICIOS - FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
1) Determine os valores das demais funções trigonométricas de um arco x quando: 
Relações conhecidas: 
1cos22  sen ,  22 sec1tg , 



cos
sen
tg 
, 




sentg
g
cos1
cot 
, 


cos
1
sec 
,  22 seccos1cot g e 


sen
1
seccos 
. 
 
a) 
2
1
senx
 e 


2
2
3
 x
. 
Solução. O arco é do 4º quadrante. Observando os sinais das funções neste intervalo, temos: 
 
i) cosx: 
2
3
4
3
cos
4
1
1cos1cos
2
1
1cos 22
2
22 





 xxxxxsen
 
 
ii) tgx: 
3
3
3
3
.
3
1
3
1
3
2
.
2
1
2
3
2
1
cos



x
senx
tgx 
 
iii) secx: 
3
32
3
3
.
3
2
3
2
2
3
1
cos
1
sec 
x
x
 
 
iv) cotgx: 
3
3
33
3
3
.
3
3
3
3
3
3
11
cot 


tgx
gx
 
 
v) cossecx: 
2
2
1
11
seccos 


senx
x
 
 
b) 
3
1
cos x
 e 
2
0

 x
. 
Solução. O arco é do 1º quadrante. Observando os sinais das funções neste intervalo, temos: 
 
i) senx: 
3
22
9
8
9
1
11
3
1
1cos 2
2
222 





 senxxsenxsenxxsen
 
 
ii) tgx: 22
1
3
.
3
22
3
1
3
22
cos

x
senx
tgx 
 
iii) secx: 
3
3
1
1
cos
1
sec 
x
x
 
 
iv) cotgx: 
4
2
2
2
.
22
1
22
11
cot 
tgx
gx
 
 
 
v) cossecx: 
4
23
2
2
.
22
3
22
3
3
22
11
seccos 
senx
x
 
 
 
c) 
2seccos x
 e 
2
3
  x
. 
Solução. O arco é do 3º quadrante. Observando os sinais das funções neste intervalo, temos: 
 
i) senx: 
2
2
2
2
.
2
1
2
1
seccos
1





x
senx
 
 
 
ii) cosx: 
2
2
4
2
cos
4
2
1cos1cos
2
2
1cos 22
2
22 







 xxxxxsen
 
 
 
iii) tgx: 1
2
2
2
2
cos




x
senx
tgx 
 
 
iv) secx: 
2
2
22
2
2
.
2
2
2
2
2
2
1
cos
1
sec 


x
x
 
 
 
v) cotgx: 
1
1
11
cot 
tgx
gx
 
 
 
d) 
3tgx
 e 
2
0

 x
. 
Solução. O arco é do 1º quadrante. Observando os sinais das funções neste intervalo, temos: 
 
i) secx:   24sec31sec31sec1sec 22222  xxxxtgx 
 
 
ii) cosx: 
2
1
sec
1
cos 
x
x
 
 
iii) senx: 
2
3
4
3
4
1
11
2
1
1cos 2
2
222 





 senxxsenxsenxxsen
 
 
 
iv) cossecx: 
3
32
3
3
.
3
2
3
2
2
3
11
seccos 
senx
x
 
 
 
v) cotgx: 
3
3
3
3
.
3
1
3
11
cot 
tgx
gx
 
 
2) Sendo 
5
4
cos x
 e 
2
0

 x
, calcule o valor de 
senxxsen 32 
. 
Solução. O arco é do 1º quadrante. Calculando o valor de senx e substituindo, temos: 
25
36
25
459
5
9
25
9
5
3
3
25
9
3:
5
3
25
9
25
16
11
5
4
1cos
2
2
2
222
















senxxsenLogo
senxxsenxsenxxsen
 
3) Sabendo que 
5
5
cos a
 e 


 a
2
, calcule o valor de 
  senasena  1.1
. 
Solução. O produto indicado é a diferença de quadrados do tipo (a + b) (a – b) = a2 – b2. O arco é do 2º 
quadrante. Temos: 
  
5
1
25
5
5
5
cos11.1
2
22 







 aasensenasena
. 
4) Dado 
2
2
cos x
 , com 
2
0

 x
, determine o valor de 
xx seccossec 
. 
Solução. O arco é do 1º quadrante. Substituindo as relações conhecidas e calculando a soma, temos: 
22
2
24
2
2
.
2
4
2
4
2
2
2
21
cos
1
seccossec
2
2
4
2
4
2
11
2
2
1cos 2
2
222










senxx
xx
senxxsenxsenxxsen
 
 
5) Se 
2
1
cos a
 e 
2
0

 a
, qual é o valor da expressão 
aa
senaa
y
cossec
seccos



? 
Solução. O arco é do 1º quadrante. Substituindo as relações conhecidas e calculando o quociente, temos: 
 
9
3
3
3
.
33
1
33
1
3
2
.
32
1
2
3
32
1
2
14
32
34
2
1
2
2
3
3
2
cos
cos
1
1
cossec
seccos
2
3
4
3
4
1
11
2
1
1cos 2
2
222




















a
a
sena
sena
aa
senaa
y
senaasenasenaasen
 
 
6) Simplifique as expressões: 
a) 
gx
xx
y
cot1
seccossec



 b) 
   gxtgxsenxxxxy cot.seccos.cossec 
 
Solução. Expressando os termos em senos e cossenos, temos: 
 
a) x
xxsenx
senx
xsenx
senx
xsenx
xsenx
senx
xsenx
xsenx
xsenx
senx
x
senxxy sec
cos
1
cos.cos
.
cos.
cos
cos
cos.
cos
cos
1
1
cos
1









 
 
 
 
b)  
  1cos
cos
cos
coscos
cos
.cos
cos
cos
.
cos
cos
cos
cos
.
cos
coscoscoscos
cos
.
cos
coscos1
cos
cos
cos
cos
coscos
1cos
cos
1
cos
cos
1
22
2222
22222222





































 











 
































xxseny
senx
xsenx
x
xxsen
senx
x
x
senx
xsenx
senx
x
x
senx
xsenx
xxsen
y
senx
x
x
senx
xsenx
xxsenxx
senx
x
x
senx
xsenx
xxsenxxsen
y
senx
x
x
senx
xsenx
senx
x
x
senx
xsenxsenx
x
x
senx
senx
senx
x
x
y
 
 
7) Determine o valor de 
xx
gx
A
secseccos
1cot



 , dado 
2
1
cos x
. 
Solução 1. Expressando A em senos e cossenos e substituindo o valor de cosx ao final, temos: 
 
2
1
cos
cos.
cos
cos.
.
cos
cos.
cos
cos
cos
11
1
cos
secseccos
1cot












 x
senx
xsenx
senxx
xsenx
senx
senxx
xsenx
senxx
senx
senxx
xsenx
senx
x
xx
gx
A 
Solução 2. Calculando os valores das funções e substituindo na expressão, temos: 
i) 
2
3
4
3
1
2
1
1cos
2
222 





 senxxsenxxsen
 
 
ii) 
3
32
3
3
.
3
2
3
2
seccos x
 
 
 
iii) 
3
3
3
3
.
3
1
3
1
3
2
.
2
1
2
3
2
1
cos
cot 
senx
x
gx 
 
iv) 
2
cos
1
sec 
x
x
 
 
 
Logo, 
  2
1
332
33
632
33
632
3
.
3
33
3
632
3
33
2
3
32
1
3
3















A 
 
8) Dado 
3
1
senx
 , com 


 x
2
, determine o valor de 
gxcot
. 
Solução. O arco é do 2º quadrante. Substituindo as relações conhecidas, temos: 
22
1
3
.
3
22
3
1
3
22
cos
cot
322
9
8
cos
9
1
1cos1cos
3
1
1cos 2
2
22










senx
x
gx
xxxxxsen
 
9) Para 
2
1
cos x
, qual é o valor da expressão 
x
xgx
senxx
y sec
sec.cot
seccos



? 
Solução 1. Expressando A em senos e cossenos e substituindo o valor de cosx ao final, temos: 
 
4
9
1
2
.
8
9
2
1
8
9
2
1
1
8
1
2
1
1
2
1
cos
1cos
1
.
cos.
1cos
1
cos.
1cos
1
cos.
1cos
1
cos.
11
cos
1
.
cos
cos
1
.
cos1
sec.cot
sec.cotseccos
sec
sec.cot
seccos
3
33
322
22



























y
x
xsenx
xsenx
x
senx
xsenx
x
senx
xsenxsenx
x
senx
xsenxsenx
xsen
y
xsenx
x
xsenx
x
senx
senx
xgx
xgxsenxx
x
xgx
senxx
y
 
 
Solução 2. Calculando os valores das funções e substituindo na expressão, temos: 
i) 
2
3
4
3
1
2
1
1cos
2
222 





 senxxsenxxsen
 
 
ii) 
3
32
3
3
.
3
2
3
2
seccos x
 iii) 
3
3
3
3
.
3
1
3
1
3
2
.
2
1
2
3
2
1
cos
cot 
senx
x
gx 
 
iv) 
2
cos
1
sec 
x
x
 
 
 
Logo, 
4
9
4
81
2
4
1
2
312
33
2
32
3
.
6
3
2
3
32
6
3
2
3
32
6
3334
2
2.
3
3
2
3
3
32






A 
 
10) Calcule o valor de 
xsenxy cos.
 sabendo que 
2cot  gxtgx
. 
Solução. Desenvolvendo a soma mostrada em senos e cossenos substituindo depois em “y”, temos: 
2
1
cos.
2
1
coscos212
cos.
cos
2
cos
cos
2cot
22




xsenxy
xsenxxsenx
xsenx
xxsen
senx
x
x
senx
gxtgx
 
 
11) Escreva a expressão 
xtgxsenxy cos2. 
 em função de 
xcos
. 
Solução. Expressando todos os termos em cossenos, temos: 
x
x
y
x
xx
x
xxsen
x
x
xsen
x
x
senx
senxxtgxsenxy
cos
cos1
cos
cos2cos1
cos
cos2
cos2
cos
cos2
cos
.cos2.
2
22222






 
 
 
12) Se 
xsenxm cos
 e 
xsenxn cos
, prove que 
222  nm
. 
Solução. Calculando os quadrados de “m” e “n” e efetuando a soma, temos: 
 
 
211cos.21cos.21
cos.21cos.2coscoscos.2cos
cos.21cos.2coscoscos.2cos
22
222222
222222








xsenxxsenxnm
xsenxxsenxxxsenxxsenxxsenxsenxn
xsenxxsenxxxsenxxsenxxsenxsenxm
 
 
13) Se 
t
x
senx
tgx 
cos
, escreva a expressão 
xxsen
xsenxxsen
y
22
2
cos
cos.



 em função de t. (Sugestão: use a fatoração no 
numerador e denominador da fração. 
Solução 1. Colocando em evidência senx no numerador e expressando o denominador como produto da soma 
pela diferença, temos: 
 
     1
cos
cos
cos
.
cos
cos.cos.cos
cos
cos
cos.
22
2


















t
t
x
x
x
senx
x
senx
xsenx
senx
xsenxxsenx
xsenxsenx
xxsen
xsenxxsen
y 
OBS: Dividindo todos os termos de 
 xsenx
senx
cos
 por cosx, não alteramos o resultado. Observe ainda que cosx 
é diferente de zero, pois tgx = t (existe), possibilitando, assim, a divisão. 
 
Solução 2. Escrevendo 
xtsenx cos.
 e substituindo na expressão, temos: 
   
 
 
 
 
   11.1
1
1
1
1cos
1cos
coscos.
cos.cos.
coscos.
cos.coscos.
cos
cos.
222
2
222
222
222
22
22
2




















t
t
tt
tt
y
t
tt
tx
txt
xxt
xtxt
xxt
xxtxt
xxsen
xsenxxsen
y
 
OBS: Foi possível cancelar cos
2
x no numerador e denominador, pois é diferente de zero (tgx existe).