Estatistica_aulas_17_18__Estimadores

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Estatística
Prof Paulo Renato A. Firmino
praf62@gmail.com
Aulas 17-18
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Inferência Indutiva - Estimadores
• Usualmente, a cada realização de um procedimento amostral uma 
amostra diferente das anteriores será definida
ƒ Amostras são essencialmente aleatórias
• Um estimador é uma função de uma amostra aleatória
ƒ É destinado a inferir sobre um parâmetro populacional
ƒ Como relaciona-se a amostras (essencialmente aleatórias) ele é uma 
função de VAs observáveis
• Considera-se (Xi, i=1, 2, ..., n) uma amostra aleatória (cada Xi é uma VA)
• Ele é uma variável aleatória
ƒ Exemplo: A média amostral é uma VA
ƒ Estimativa: é o valor assumido pelo estimador diante das observações
• Função dos valores amostrados (observados)
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=
∑
=
n
X
X
n
1i
i
3
Inferência Indutiva - Estimadores
Amostra 1
1x
Amostra 2
2x
Amostra 3
3x
Amostra k
kx
...
xx
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Inferência Indutiva – Estimadores
Exercício 2
• Recorra a sua calculadora para montar três amostras aleatórias
simples envolvendo (n=) 4 colegas de classe, cada uma. O 
propósito será estudar a variável “proporção amostral de 
mulheres”.
1. Qual amostra de proporções você obteve?
2. Qual é a média desta amostra?
3. Qual é a proporção de mulheres da amostra envolvendo todos
os colegas selecionados?
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Inferência Indutiva – Qualidade de Estimadores
ƒ A qualidade de um estimador é medida através de outras 
funções estatísticas
1. T é dito um estimador centrado (não-viesado) para um parâmetro θ se 
E(T) = θ
ƒ Exemplo: A média amostral é um estimador centrado para μ: 
• .
n
X
X
n
1i
i∑
==
( ) μ=XE
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Inferência Indutiva – Estimadores Importantes
• Dentre os estimadores mais importantes, destacam-se
ƒ Média e Variância amostrais
1. Média amostral
ƒ Para uma amostra aleatória de tamanho n, X1, X2, ..., Xn
(como dependem de sorteio, são variáveis):
ƒ Note que a proporção amostral é uma média, 
onde Xi~Binomial(n=1, p)
ƒ Sabe-se que 
ƒ Se E(Xi) = μ:
ƒ Se X1, X2, ..., Xn são independentes, com V(Xi) = σ2:
n
X
X
n
1i
i∑
==
( ) μ=XE ( )
n
XV
2σ=
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=
∑
=
n
X
pˆ
n
1i
i
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Inferência Indutiva – Estimadores Importantes
2. Variância amostral
ƒ S2 é um estimador centrado para a variância populacional, σ2
• E(S2) = σ2
• O estimador não é centrado para σ2
• E(T) = 
1n
)XX(
S
n
1i
2
i
2
−
−
=
∑
=
n
)XX(
T
n
1i
2
i∑
=
−
=
22
n
1n σ≠σ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
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Inferência Indutiva – Distribuição Amostral de 
Estimadores
ƒ Modela a variabilidade do estimador
ƒ É a distribuição de probabilidades do estimador
ƒ Qual é a distribuição da média amostral?
ƒ E da proporção amostral?
ƒ Qual é a distribuição da variância amostral?
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Inferência Indutiva – Estimadores
Média & Teorema Central do Limite (TCL)
• Quando o tamanho da amostra (n) cresce, tende a se 
distribuir normalmente, com média μ e variância σ2/n
ƒ Supõe-se que a amostra aleatória (X1, X2, ..., Xn) é tal que 
• X1, X2, ..., Xn são VAs independentes entre si
• E(Xi)= μ
• V(Xi) = σ2
ƒ Veja que se Xi ~ Binomial (n=1, p), então a proporção 
amostral tenderá a uma Normal com média p e variância 
p·(1-p)/n quando n crescer
X
( )pˆ
P( < c)= pnorm(c, mean=µ, sd=σ/√n)X
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Inferência Indutiva – Estimadores
Média & TCL: Exercício 3
1. Considere que a proporção de mulheres em uma turma seja de 50%. Qual
é a probabilidade de que, em uma amostra de 25 alunos da turma, a 
proporção amostral de mulheres seja: (a) Inferior a 30%? (b) Superior a 
40%? (c) Algo entre 60% e 70%?
2. Considere que a porcentagem de brasileiros que votam em B seja de 46%. 
Qual é a probabilidade de que, em uma amostra de 3265 eleitores, a 
proporção de votantes em B seja: (a) Inferior a 30%? (b) Superior a 40%? 
(c) Algo entre 60% e 70%?
3. O governo de um país assegura que, em média, o custo da cesta básica é
de R$300.00, sob um desvio-padrão de R$50.00. Qual é a probabilidade
de que o custo médio da cesta de uma amostra com 30 cidades seja: (a) 
Superior a R$400.00? (b) Menor que R$200.00? (c) Entre R$100.00 e R$ 
350.00?
4. Um frabricante de lâmpadas assegura que o tempo de vida destas segue 
uma distribuição normal com media de 6000 horas e desvio-padrão de 
1000 horas. Qual é a probabilidade de que o tempo de vida médio de uma
amostra com 100 lâmpadas seja: (a) Inferior a 5500 horas? (b) Superior a 
8000 horas? (c) Algo entre 5000 horas e 7000 horas?
5. Quais suposições embasam as análises acima?
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Inferência Indutiva – Estimadores
Média: Distribuição t-Student
• Estudando a média, caso σ2 seja desconhecida
ƒ Usa-se sua respectiva estimativa provinda de uma amostra (s2)
ƒ Considera-se a distribuição t-Student ao invés da Normal
• Distribuição t-Student
ƒ A distribuição t-Student é uma aproximação da Normal-
padrão (com média zero e variância um)
• Onde é necessário estimar a variânciaσ2
• Sua principal utilidade se dá na modelagem de estimadores de medidas 
de posição tais como a média amostral
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ƒ Ωx = {x real}
ƒ .
ƒ k – graus de liberdade para X (k > 2)
ƒ Se k for inteiro positivo: Γ(k) = (k-1)!
ƒ E(X) = 0 e V(X) = k / (k-2)
ƒ Assim como a Normal, a t faz uso de valores tabelados
Inferência Indutiva – Estimadores
Média: Distribuição t-Student
P(X<x) = pt(x, df=k)
• Supondo 
• Utilizando o estimador da variância amostral (S2) de σ2: 
• A princípio, tem-se n (≡tamanho da amostra) graus de liberdade para 
um dado estimador
ƒ Contudo, perde-se um grau de liberdade por cada estimador adicional 
requerido
• T baseia-se em S
)1n(t~
n
S
XT −μ−=
( ) )1,0(N~
n
XZ,N~X 2i σ
μ−=⇒σμ
Inferência Indutiva – Estimadores
Média: Distribuição t-Student
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Inferência Indutiva – Estimadores
Média & Distribuição t-Student: Exercício 4
1. Um frabricante assegura que o tempo de vida médio de suas lâmpadas é de 
6000 horas. A partir de uma amostra com 25 lâmpadas, estima-se um 
desvio-padrão de 1000 horas e questiona-se sobre a probabilidade de que o 
tempo de vida médio (de uma amostra com 25 lâmpadas) seja: (a) 
Inferior a 5500 horas? (b) Superior a 8000 horas? (c) Algo entre 
5000 horas e 7000 horas?
2. Estuda-se o custo da cesta básica de dado estado. De uma
amostra aleatória de 30 cidades, obteve-se um desvio-padrão de 
R$50.00. O governo assegura que, em média, o custo da cesta
básica é de R$300.00. Qual é a probabilidade de que o custo
médio de uma amostra com 30 cidades seja: (a) Superior a 
R$400.00? (b) Menor que R$200.00? (c) Entre R$100.00 e R$ 
350.00? 
3. Quais suposições embasam as análises acima?