Estatistica_aulas_31_32_RegressaoLinearSimples

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EstatEstatíística stica -- Prof. Paulo Renato A. Firmino Prof. Paulo Renato A. Firmino -- Aulas 29Aulas 29--30 30 -- Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples 1
Estatística
Prof. Paulo Renato A. Firmino
praf62@gmail.com
Aulas 29 - 30
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• Temos sempre estudado associações (heterogeneidade) entre variáveis 
(populações)
ƒ Por exemplo: Há associação entre 
1. O consumo de dada substância e a incidência de aborto?
2. A tecnologia da produção e a quantidade de leite produzida?
• Contudo, temos sempre envolvido variáveis categóricas/qualitativas 
(ou categorizadas)
• Estudaremos agora a associação entre variáveis quantitativas
Teste de hipóteses: Análise de 
Associação - Heterogeneidade
Variável categórica
consumo da substância (sim, não)
tipo de tecnologia (proposta ou tradicional)
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• Elabora um modelo matemático para representar a associação entre 
variáveis quantitativas
• Exemplo 1: Estuda-se a associação entre o peso de um animal (X) e o efeito 
sonífero de um sedativo (Y). 
Análise de Regressão
Indivíduo (i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Peso em kg (xi) 22.9 27.7 19.5 25.8 22.6 39.7 27.9 35.5 36.1 28.6 48.5 16.0
Tempo de sono
em min (yi)
34.0 25.5 35.7 29.5 31.7 25.1 35.9 24.6 27.5 27.1 26.9 39.2
 Ind. 9
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00 50.00
Peso (kg): x
T
e
m
p
o
 
s
o
n
o
 
(
m
i
n
)
:
 
y
 
f(x)
g(x)
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• Do Exemplo 1: Estuda-se a associação entre o peso de um 
animal (X) e o efeito sonífero de um sedativo (Y). 
• Qual é a reta que melhor se ajusta aos dados?
ƒ f(xi) = a + bxi
ƒ Para cada xi teremos um erro: 
Yi = f(xi) + ei → ei = f(xi) - Yi
Análise de Regressão Linear
 Ind. 9
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00 50.00
Peso (kg): x
T
e
m
p
o
 
s
o
n
o
 
(
m
i
n
)
:
 
y
 
f(x)
e9
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• Do Exemplo 1: Estuda-se a associação entre o peso de um 
animal (X) e o efeito sonífero de um sedativo (Y). 
• Qual é a reta que melhor se ajusta aos dados?
ƒ f(xi) = a + bxi
ƒ Para cada xi teremos um erro: Yi = f(xi) + ei→ ei = Yi- f(xi) 
ƒ De um conjunto de observações (xi, yi), i=1, .., n
• A melhor reta pode ser aquela que minimiza ∑ei2= ∑(yi -a-bxi)2
Análise de Regressão Linear-
Método dos Mínimos Quadrados
 Ind. 9
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00 50.00
Peso (kg): x
T
e
m
p
o
 
s
o
n
o
 
(
m
i
n
)
:
 
y
 
f(x)
e9
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Análise de Regressão Linear-
Método dos Mínimos Quadrados
n
xby
xbya
n
1i
i
n
1i
i ∑∑
==
⋅−
=⋅−= 2n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
ii
xxn
yxyxn
b
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅
=
∑∑
∑∑∑
==
===
• Do Exemplo 1: Estuda-se a associação entre o peso de um 
animal (X) e o efeito sonífero de um sedativo (Y). 
• Qual é a reta que melhor se ajusta aos dados?
ƒ f(xi) = a + bxi
ƒ Para cada xi teremos um erro: Yi = f(xi) + ei→ ei = Yi- f(xi) 
ƒ De um conjunto de observações (xi, yi), i=1, .., n
• A melhor reta pode ser aquela que minimiza ∑ei2= ∑(yi -a-bxi)2
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• Do Exemplo 1: Estuda-se a associação entre o peso de um animal (X) e o efeito sonífero de um sedativo (Y)
Análise de Regressão Linear-
Método dos Mínimos Quadrados
Ind. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
xi 22.9 27.7 19.5 25.8 22.6 39.7 27.9 35.5 36.1 28.6 48.5 16.0
yi 34.0 25.5 35.7 29.5 31.7 25.1 35.9 24.6 27.5 27.1 26.9 39.2
xi2 523.48 769.99 380.49 667.18 509.75 1,575.65 779.44 1,257.91 1,306.03 818.36 2,352.16 256.97 
xiyi 778.29 708.52 696.22 761.60 715.62 997.97 1,001.20 873.98 992.46 775.77 1,306.58 628.79 
( ) 4.09.3504.1119712
8.3629.35001.1023712
xxn
yxyxn
b 22n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
ii
−=−⋅
⋅−⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅
=
∑∑
∑∑∑
==
===
01.10237yx
n
1i
ii =⋅∑
=
9.350x
n
1i
i =∑
=
8.362y
n
1i
i =∑
=
4.11197x
n
1i
2
i =∑
=
86.41
12
9.350)4.0(8.362
n
xby
xbya
n
1i
i
n
1i
i
=⋅−−=
⋅−
=⋅−=
∑∑
==
lm()
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• Do Exemplo 1: Estuda-se a associação entre o peso de um animal 
(X) e o efeito sonífero de um sedativo (Y)
ƒ Qual seria o tempo esperado de efeito sedativo para um animal 
que pese 45 kg?
• Resposta: f(45) = 41.86 – 0.4·45 = 23.86 min
Análise de Regressão Linear-
Método dos Mínimos Quadrados
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Observações importantes
• Supõe-se que ei é um erro aleatório associado à iª observação
ƒ Ele representa uma infinidade de fatores que influenciam Y, 
além de X
• Tais fatores não são considerados pelo modelo f(x)
ƒ Supõe-se que a média dos erros é zero: E(ei) = 0
ƒ Supôe-se que os erros são independentes entre si
• X é considerada como uma variável que se pode controlar
ƒ Para cada valor assumido por X, x, a média de Y é dada por 
E[Y|x]= α+β·x
• De posse de uma amostra, uma estimativa para E(Y|xi) é
ŷi=f(xi)=a+b·xi
• Recomenda-se usar o modelo f(x) apenas para valores de x 
pertencentes ao intervalo de observações
ƒ De fato, não há informação sobre a associação entre X e Y fora 
deste intervalo
Análise de Regressão Linear
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Análise de Regressão Linear-
Método dos Mínimos Quadrados
• Exercícios
1. Obtenha a reta que melhor representa a associação entre a 
quantidade consumida de dado fruto em mg, X, e a 
proporção de abortos em vacas (Y). A tabela ao lado exibe 
os resultados de experimentos realizados em 4 grupos de 
animais. 334
123
2 12
1 01
Proporção
de abortos
(Y)
Exposição
em mg (X)Grupo
2. A seguir apresenta-se a série de precipitações de chuva de uma dada localidade, ao 
longo de algumas semanas, em unidades de 10 ml (xt). (a) Construa um modelo 
linear que permita estimar a precipitação na semana t (xt) a partir da precipitação 
observada na semana anterior (xt-1). Trata-se de um modelo auto-regressivo. (b) 
Verifique, via histograma e teste de hipóteses, se os resíduos gerados seguem uma 
distribuição normal, com média zero. (c) Verifique, via gráfico de pares, se os 
resíduos são independentes das precipitações observadas.
23.324.224.923.71916.71710.53.82.9Precipitaçãoem unidades de 10 ml (xt)
10987654321Semana (t)
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Análise de Regressão Linear-
Método dos Mínimos Quadrados
• Exercícios
3. Obtenha a reta que melhor representa a associação 
entre a quantidade consumida de dado fruto em mg, 
X, e a proporção de abortos em vacas (Y). A tabela 
ao lado exibe os resultados de experimentos 
realizados em 10 grupos de animais.
Grupo Exposiçãoem mg (X)
Proporção
de abortos
(Y)
1 0 0.05 
2 50 0.10 
3 100 0.06 
4 150 0.12 
5 200 0.06 
6 250 0.10 
7 300 0.15 
8 350 0.11 
9 400 0.11 
10 450 0.16 
4. Elabore um problema de decisão na sua área que ainda não tenha sido discutido 
em sala cuja aplicação da análise de regressão possa ser util.