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Lista 7 de Cálculo II: Máximos e Mínimos

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Lista 7 de Cálculo I I: Máximos e Mínimos
ProfaRob erta V. Garcia
Exercícios
1. Encontrar, se existirem, os p ontos de extremos relativos das funções:
(a) f(x, y ) = x3+y26x2+y1.
(b) f(x, y ) = 1
x64
y+xy .
(c) f(x, y ) = sen(x+y) + sen(x) + sen(y);06x62π,06y62π.
(d) f(x, y ) = exsen(y).
2. Seja g:RRuma função derivável e sem raízes. Determine os p ontos críticos e o tip o de ponto crítico
da função f(x, y ) = Z(x1)2
0
g(t)dt +Z(y1)2
0
g(t)dt, se:
(a) g(0) >0.
(b) g(0) <0.
3. Determinar os extremos globais da função dada, na região indicada.
(a) f(x, y ) = x+ 2y; no retângulo de vértices (1,2),(1,2),(1,2) e(1,2).
(b) f(x, y ) = px2+y2+ 1; no cículo x2+y261.
(c) f(x, y ) = x2+y22x2y; no triângulo de vértices (0,0),(3,0) e(0,3).
(d) f(x, y ) = x22xy + 2y2;A={(x, y )R||x|+|y|61}.
4. Determine os valores de apara os quais a função f(x, y )=2ax4+y2ax22y
(a) tem exatamente um p onto de sela e dois p ontos de mínimo lo cal.
(b) tem exatamente dois p ontos de sela e um mínimo lo cal.
(c) Existe aRpara o qual a função tenha ao menos um máximo lo cal?
(d) Existe aRpara o qual a função tenha mais de 3 p ontos críticos?
5. Um disco tem a forma do círculo x2+y261. Sup ondo que a temperatura nos p ontos do disco é dada
p or T(x, y ) = x2x+ 2y2, determinar os p ontos mais quentes e mais frios do disco.
6. Ache o p onto no plano 3x+ 2yz= 5, que está mais próximo do ponto (1,2,3), e determine a distância
mínima.
7. Ache os p ontos da curva de intersecção do elipsoide x2+ 4y2+ 4z2= 4 com o plano x4yz= 0 que
estão mais próximos da origem e determine a distância mínima.
8. Uma injeção de xmg da droga Aeymg da droga Bcausa uma resp osta de Runidades, e R=x2y3(cxy),
onde cé uma constante p ositiva. Que quantidade de cada droga causará a resp osta máxima?
9. Determine a curva de nível de f(x, y) = x2+ 16y2que seja tangente à curva xy = 1,x > 0ey > 0. Qual
o p onto de tangência?
10. Determine os valores de máximo das funçõ es sujeitas às restrições:
(a) f(x, y ) = exy ;x3+y3= 16.
(b) f(x, y , z ) = x+ 2y+z;x2+ 2y2+z2= 4.
(c) f(x, y , z ) = y z +xy ;xy = 1,y2+z2= 1.
1

11. Determine os volumes máximo e mínimo da caixa retangular cuja sup erfície tem 1500 cm2e cuja soma
dos comprimentos das arestas é 200 cm.
12. O plano x+y+ 2z= 2 intercepta o paraboloide z=x2+y2em uma elipse. Determine os p ontos que
estão mais próximos e mais longe da origem.
13. Método dos mínimos quadrados. Dados npares de números (a1, b1),(a2, b2), . . . ,(an, bn), com n>3, em
geral não existirá uma função afim f(x) = αx +βcujo gráfico passe p or todos os np ontos. Entretanto,
p o demos determinar fde modo que a soma dos quadrados dos erros f(ai)biseja mínima. Pois b em,
determine αeβpara que a soma
E(α, β ) =
n
X
i=1
[f(ai)bi]2
seja mínima.
Exercícios que necessitam de ap oio computacional
Para a resolução dos exercícios abaixo, utilize uma ferramenta gráfica como o Winplot ou o GeoGebra, p or
exemplo. Como sugestão, utilize-a também para confirmar suas resp ostas dos exercícios anteriores.
1. Para as funçõ es de uma variável, é imp ossível uma função contínua ter dois p ontos de máximo lo cal e
nenhum de mínimo lo cal. Para as funçõ es de duas variáveis, esse caso existe. Mostre que a função
f(x, y ) = x212x2yx12
só tem dois p ontos críticos, ambos de máximo lo cal. Em seguida, utilize um computador com uma escolha
conveniente de domínio e p onto de vista para ver como isso é possível.
2. (a) Na mesma tela, trace o círculo x2+y2= 1 e diversas curvas da forma x2+y=caté que vo cê
encontre duas que ap enas toquem o círculo. Qual o significado dos valores de cdessas duas curvas?
(b) Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores extremos de f(x, y ) = x2+ysujeita
à restrição x2+y2= 1. Compare sua resp osta com a da parte (a).
3. O plano 4x3y+ 8z= 5 intercepta o cone z2=x2+y2em uma elipse.
(a) Faça os gráficos do cone, do plano e da elipse.
(b) Use os multiplicadores de Lagrange para achar os p ontos mais alto e mais baixo da elipse.
2

Resp ostas
1. (a) Mín. rel.: f4,1
2=133
4.
(b) Máx. rel.: f1
4,16=12.
(c) Máx. rel.: fπ
3,π
3=33
2; Mín. rel.: f5π
3,5π
3=33
2.
(d) Não p ossui pontos de máximo e de mínimo relativos.
2. (1,1)
(a) Ponto de mínimo.
(b) Ponto de máximo.
3. (a) Mín.: (1,2); Máx.: (1,2).
(b) Mín.: (0,0); Máx.: (x, y )|x2+y2= 1
(c) Mín.: (1,1); Máx.: (0,3),(3,0).
(d) Mín.: f(0,0) = 0; Máx.: f(0,±1) = 2.
4. (a) a > 0.
(b) a < 0.
(c) Não.
(d) a= 0.
5. Tmáx 1
2,±3
2!eTmín 1
2,0.
6. 41
4,5
7,33
14 ;914
14 .
7. 0,1
17 ,4
17 e0,1
17 ,4
17 ;1.
8. 1
3cmg de droga Ae1
2cmg de droga B.
9. x2+ 16y2= 8; o p onto de tangência é 2,1
2.
10. (a) Máx.: f(2,2) = e4.
(b) Máx.: f(1,1,1) = 4; Mín.: f(1,1,1) = 4.
(c) Máx.: f±2,±1
2,±1
2=3
2; Mín.: f±2,±1
2,1
2=1
2
11. Máx.: f 50 + 1010
3,50 510
3,50 510
3!=87500 + 250010
27 ;
Mín.: f 50 1010
3,50 + 510
3,50 + 510
3!=87500 250010
27 .
12. Mais próximo 1
2,1
2,1
2; mais longe (1,1,2).
13. E(α, β ) =
n
X
i=1
[αai+βbi]2;
∂ E
∂ α =
n
X
i=1
2ai[αai+βbi]e∂ E
∂ β =
n
X
i=1
2[αai+βbi].
(α, β )é a solução do sistema
α
n
X
i=1
a2
i+β
n
X
i=1
ai=
n
X
i=1
aibi
α
n
X
i=1
ai+=
n
X
i=1
bi
.
3