Lista 4 de Cálculo I: Regra da Cadeia, Derivação Implícita e Funções Trigonométricas Inversas

Prévia do material em texto

Lista 4 de Ca´lculo I: Regra da Cadeia, Derivac¸a˜o
Impl´ıcita e Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Profa Roberta V. Garcia
Exerc´ıcios
1. Encontre a derivada da func¸a˜o.
(a) F (x) =
(
x4 + 3x2 − 2)5
(b) F (x) = 4
√
1 + 2x+ x3
(c) g(t) =
1
(t4 + 1)
3
(d) y = cos
(
a3 + x3
)
(e) y = xe−kx
(f) h(t) = (t+ 1)2/3
(
2t2 − 1)3
(g) y =
(
x2 + 1
x1 − 1
)3
(h) y =
√
1 + 2e3x
(i) y = 5−1/x
(j) y =
r√
r2 + 1
(k) F (t) = et sen 2t
(l) y = sen(tg 2x)
(m) y = 2senpix
(n) y = cos
(
1− e2x
1 + e2x
)
(o) y = cotg2(sen θ)
(p) f(t) = tg (et) + etg t
(q) f(t) = sen2
(
esen
2 t
)
(r) g(x) = (2rarx + n)
p
(s) y = cos
√
sen(tg pix)
(t) G(x) =
√
1− x2 arccosx
(u) y = x sen−1 x+
√
1− x2
(v) y = arccos
(
b+ a cosx
a+ b cosx
)
(w) f(x) = log10
(
x3 + 1
)
(x) h(x) = ln
(
x+
√
x2 − 1)
(y) y = xx
(z) y = xsen x
2. Encontre y′ e y′′ da func¸a˜o y = eαx senβx.
3. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = sen(senx) no ponto (pi, 0).
4. Seja r(x) = f(g(h(x))), onde h(1) = 2, g(2) = 3, h′(1) = 4, g′(2) = 5 e f ′(3) = 6. Encontre r′(1).
5. Mostre que a func¸a˜o y = e2x(A cos 3x+B sen 3x) satisfaz a equac¸a˜o diferencial y′′ − 4y′ + 13y = 0.
6. Encontre
dy
dx
por derivac¸a˜o impl´ıcita.
(a) x3 + y3 = 1
(b) x2 + xy − y2 = 4
(c) x4(x+ y) = y2(3x− y)
(d) x2y2 + x sen y = 4
(e) 4 cosx sen y = 1
(f) ex/y = x− y
(g) tg−1
(
x2y
)
= x+ xy2
(h) ey cosx = 1 + sen(xy)
7. Use a derivac¸a˜o impl´ıcita para encontrar uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y sen 2x = x cos 2y no
ponto
(
pi
2 ,
pi
4
)
.
8. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` hipe´rbole
x2
a2
− y
2
b2
= 1 no ponto (x0, y0).
9. Mostre que a soma das coordenadas das intersecc¸o˜es com os eixos x e y de qualquer reta tangente a` curva√
x+
√
y =
√
c e´ igual a c.
10. A Func¸a˜o de Bessel de ordem 0, y = J(x), satisfaz a equac¸a˜o diferencial xy′′ + y′ + xy = 0 para todos
os valores de x e seu valor em 0 e´ J(0) = 1.
(a) Encontre J ′(0).
(b) Use a derivac¸a˜o impl´ıcita para encontrar J ′′(0).
11. Um avia˜o esta´ voando paralelamente ao cha˜o, a uma altitude de 2 km e com uma velocidade escalar de
4 12 km/min. Se em dado instante o avia˜o passar exatamente sobre a Esta´tua da Liberdade, qual sera´ a
taxa de variac¸a˜o da distaˆncia sobre a linha de visa˜o entre o avia˜o e a esta´tua, 20 s mais tarde?
1
Exerc´ıcios que necessitam de apoio computacional
Para a resoluc¸a˜o dos exerc´ıcios abaixo, utilize uma ferramenta gra´fica como o Winplot ou o GeoGebra, por
exemplo. Como sugesta˜o, utilize-a tambe´m para confirmar suas respostas dos exerc´ıcios anteriores.
1. Sob certas circunstaˆncias, um boato se propaga de acordo com a equac¸a˜o
p(t) =
1
1 + ae−kt
onde p(t) e´ a proporc¸a˜o da populac¸a˜o que ja´ ouviu o boato no tempo t e a e k sa˜o constantes positivas.
(a) Encontre lim
t→∞ p(t).
(b) Encontre a taxa de propagac¸a˜o do boato.
(c) Fac¸a o gra´fico de p para o caso a = 10, k = 0.5, onde t e´ medido em horas.Use o gra´fico para estimar
quanto tempo sera´ necessa´rio para o boato atingir 80% da populac¸a˜o.
2. (a) A curva com equac¸a˜o y2 = x3 + 3x2 e´ denominada cu´bica de Tschirnhausen. Encontre uma
equac¸a˜o da reta tangente a essa curva no ponto (1,−2).
(b) Em que pontos essa curva tem uma tangente horizontal?
(c) Ilustre as partes (a) e (b) trac¸ando a curva e as retas tangentes sobre uma tela comum.
3. (a) Onde a reta normal a` elipse x2 − xy + y2 = 3 no ponto (−1, 1) intersecta a elipse uma segunda vez?
(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gra´fico da elipse e da reta normal.
2
Respostas
1. (a) F ′(x) = 10x
(
x4 + 3x2 − 2)4 (2x2 + 3)
(b) F ′(x) =
2 + 3x2
4 (1 + 2x+ x3)
3/4
(c) g′(t) = − 12t
3
(t4 + 1)
4
(d) y′ = −3x2 sen (a3 + x3)
(e) y′ = e−kx(−kx+ 1)
(f) h′(t) = 23 (t+1)
−1/3 (2t2 − 1)2 (20t2 + 18t− 1)
(g) y′ =
−12x (x2 + 1)2
(x2 − 1)4
(h) y′ =
3e3x√
1 + 2e3x
(i) y′ =
5−1/x(ln 5)
x2
(j) y′ =
(
r2 + 1
)−3/2
(k) F ′(t) = et sen 2t(2t cos 2t+ sen 2t)
(l) y′ = 2 cos(tg 2x) sec2(2x)
(m) y′ = 2senpix(pi ln 2) cospix
(n) y′ =
4e2x
(1 + e2x)
2 sen
(
1− e2x
1 + e2x
)
(o) y′ = −2 cos θ cotg(sen θ) cossec2(sen θ)
(p) f ′(t) = sen2(et)et + etg t sec2 t
(q) f ′(t) = 4 sen(esen
2 t) cos(esen
2 t)esen
2 t sen t cos t
(r) g′(x) = 2r2p(ln a) (2rarx + n)p−1 arx
(s) y′ =
−pi cos(tg pix) sec2(pix) sen√sen(tg pix)
2
√
sen(tg pix)
(t) G′(x) = −1− x arccosx√
1− x2
(u) y′ = sen−1 x
(v) y′ =
√
a2 − b2
a+ b cosx
(w) f ′(x) =
3x2
(x3 + 1) ln 10
(x) h′(x) =
1√
x2 − 1
(y) y′ = xx(1 + lnx)
(z) y′ = xsen x
( senx
x
+ cosx lnx
)
2. y′ = eαx(β cosβx+ α senβx)
y′′ = eαx
[(
α2 − β2) senβx+ 2αβ cosβx]
3. y = −x+ pi
4. r′(1) = 120
5.
6. (a) y′ = −x
2
y2
(b) y′ =
2x+ y
2y − x
(c) y′ =
3y2 − 5x4 − 4x3y
x4 + 3y2 − 6xy
(d) y′ =
−2xy2 − sen y
2x2y + x cos y
(e) y′ = tg x tg y
(f) y′ =
y
(
y − ex/y)
y2 − xex/y
(g) y′ =
1 + x4y2 + y2 + x4y4 − 2xy
x2 − 2xy − 2x5y3
(h) y′ =
ey senx+ y cos(xy)
ey cosx− x cos(xy)
7. y = 12x
8.
x0x
a2
− y0y
b2
= 1
9.
10. (a) J ′(0) = 0
(b) J ′′(0) = −1
2
11. 2, 7 km/min
3