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Matematica Básica [Eduardo Espinoza Ramos]

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de verdad de p, r, q, s.
56) De la falsedad de la proposición: (p —» ~q) v (~r —» s) determinar el valor de verdad de
los esquemas moleculares.
a) (~p a ~q) v -q b) (~r vq)<-> (~q v r) a s c ) (p q) (p v q) a ~q
57) De la falsedad de (p => ~q) v (~r => ~s). hallar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones.
a) ~(~q v -s ) => ~p b) ~(~r a s) => (-p => q) c ) p => ~(q => ~(s => r))
58 Eduardo Espinoza Ramos
(58) Hallar los valores de verdad de: p, q, r si: [(~p v q) v (r => q)] a [(~p v q) => (q a ~p)] 
es falso.
(59) Si la proposición: [~(p => q) a (~r v s)] => r es falso, halle los valores de verdad de: p, q
yr-
(óO) Si: ~p v [(p a r) => (r <=> q)] es falso, halle el valor de verdad de: [(p => q) v r] <=> (p a r)
(ó l) Si [—(p =* q) a -r] =* [p a (q v r)] es falsa, halle los valores de verdad de: p, q y r.
(ó í) De la proposición compuesta: ~[(p a q a r) => s] => (~p v s) se conoce que es falso,
señale el valor de: p, q, r y s.
( S ) Si la proposición “s” es falsa, y el siguiente esquema: (~p a q) <=> [(q => r) v (p a ~ s ) ] es
una tautología, hallar los valores de verdad de p, q y r.
Demostrar si las siguientes fórmulas son lógicamente equivalentes:
a) P a q = ~(p v q) b) p A ~ p = ~[(p v p ) « p ]
c) -q v p = ~(~p a q) = ~p <=> (p => ~q)
d) —[(p a q) a ~r] s ~[(~p a -q ) a (p v r)]
e) ~ (p = > q ) = ~ p « q = p «=> - q = ~ (~p «=> ~q)
(6S) Probar que son equivalentes p => q y (~p) v q
Probar la equivalencia de las siguientes proposiciones:
a) -(p => q) y p a (~q) b) - (p a q) y (~p) v (-q )
c) ~(p v q) y (~p) a -q d) p => q y - q => -p
e) (p q) a (q => r) y p = > r
(67) Demostrar que las bicondicionales siguientes son equivalencias lógicas.
a) (p > q ) « ( ~ p ) v q
b) (p<— » q ) « ( p ----- > q) a (q >p) c ) ( p A q ) v p « p
d) (p v q) a p <=> p e) ~(p----- > q) <=> (p a -q)
Lógica 59
(68) Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados considerando como universo a 
los números reales.
a) {Vxe R / x 3 — x} b) { 3 x e R / 2 x = x}
c) {3xe R / x 2 + 3x —2 = 0} d) {3xe R / x 2 — 2x + 5 = 0)
e) { V x e R / 2x + 3x = 5x} f) {3xe R / 2 x 2 + x = 15}
g) { V x e R / x - 3 < x } h) { V x e R / x + 3 < 6 }
i) {3 x e R / x + 3 <6} j) {Vxe R / x 2 -10< 8}
Evaluar ~{~(p v ~q)} <=> {~[(r a p) — -> (p A --p)]} sí: p : {Vxe R / x ° = 1}
q-. {3xe Q / 3 x 2 — x -5 } ; r : {3 x e Z / x 2 - 2 x — l = —l, \¡4 = jc}
70) Sean las proposiciones p : {Vxe £ ) / ^ + j t > 0 } , q: {3 x e I / x + 0 = 7t},
r : {Vxe R / x 2 +1 = 0}. Hallar el valor de [(p > q) a r] <=> ~q
( 7 ^ De las siguientes proposiciones, hallar el valor de verdad.
a ) ( V x € R / | x | = x ) a ( 3 x é R / x + 1 í x )
b) (-3 x e R / x 2 * x ) v ( ~ V x e z / x + l * x - l )
c) (~ V x e N / 1 x | * 0 )----- > (~3 x e Q / 1 x | * 0)
(72) ¿Cuáles son equivalencias lógicas?
a ) ~(q--------> ~p) o ( q v p ) b) [(~p a ~q) v ~q] <=> [(p v q) a q]
c) ~ (p--------> q) <=> [(p v q) a ~q]
(73) Sea U el conjunto universal y p, q, r las proposiciones:
U = {-10,-9 80}, U c Z (números enteros) ; p: {Vxe Í7, 3 y e U / x - x 2 <-2y}
60 Eduardo Espinoza Ramos
q: { 3 y e U , V x e U / x - 5 y < 3 x - y } ; r : { V z e í / , 3 v e í / , 3 x e U / x + y < 
Evaluar (~p v r) <— > (p a -q )
(7 ^ Determinar el valor de cada uno de las siguientes proposiciones:
a ) { 3 ; c e Z t x 2 = jc} b ) { V x e Z / x - 7 < x }
c ) ( 3 x e Z / x + 5 = 5 } d ) { V x e Z / x + 8 > x }
e ) | V x e Z / r 2 > jc} f ) { V x e Z / x + l = x }
^ 5) Si U = (x e R / 2 < x < 10) y p: (Vxe í / ) (3 y e í/)(V ze U ) / - x - y > - < z 2 ,
q : (Vjce U ) ( 3 z e í/)(3 z e U ) ( x + y < z2), hallar el valor de verdad de (~pv~q) => (pAq)
Si U = {1 , 2 , 3 , . . . , 9 9 } , determinar cuáles de los siguientes proposiciones son verdaderos, 
a ) { 3 x e U / x + 5 = 2 x } b) { V x e U / x + l e U )
c ) { 3 x e U / | x - 8 | > 5 } d ) { V x e U / 2 0 - 3 x < 0 }
(¿n) Hallar el valor de verdad de la fórmula, [(p v q)----- » (~r v ~w)] <=> (q » r) sí
p \ 3 x e Q / x + 3 = y ¡ 2 + 3 , q: 3 x e I / x + 0 = 7t 
r : V x e N / x + 2 . 5 = 5 , w : 3 x e Q / x + 0 = y¡2
(78) Hallar el valor de verdad de: [(~p a - q ) ------» (r v q)] a [~(p a q) <— » r]
Sí U = ( x e Z / - 1 0 0 < x < 1 0 0 } ; p: ( V x e U ) ( 3 y e U ) ( V z e U ) ( x + y - z > 3 0 )
q: ( V x e U ) ( V y e U ) ( V z e D ) ( 2 x + z - 4 y < 8 0 0 ) 
r : ( 3 x e U ) ( V y e U ) ( 3 z e U ) ( 5 x < z - y + 5 0 )
(79) Si x puede tomar cualquier valor 1, 2 , 3 , demostrar mediante contraejemplos la falsedad de
las siguientes proposiciones.
a ) { ( V x ) / jc2 = jc} b ) { 3 x / x = 2 x }
Lógica 61
c) { V x / x + 2 = 5} d) { V x / x + l > 3 }
e) ~ { 3 x / x 2 =4} f) {3 x / x > 4J
(80) Si x, y pueden ser cualquiera de los números 1 y 2, determine el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones:
a) (3 x)(V y)(x < y + 2) b) (V x)(3 y)( x + y < 5)
c) ((Vx)(Vy)(x2 + y 2 <1) d) (Vx)(3y)(x2 > y)
e) (3 x)(3 y)(x + y = 2)
(81) Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si U = {1,2,3) es el 
universo y sí x, y e U
a) 3x, 3 y / x 2 < y + 1 b) Vx , 3 y / x 2 + y 2 <12
c) Vx, V y / x 2 + y 2 <12 d) 3 x ,3 y , V z / x 2 + y 2 < 2z2
e) 3 x , V y , 3 z / x 2 + y 2 < 2 z 2, z e U
( S ) Determinar el valor lógico de las siguientes proposiciones.
a) 3 x e f ? / x 2 + l = 0 b) 3 x e t f / x 2 = l
c) (V x e R)(V y e R ) / x + y = 7 d) ( V x e z)(3 y e z / x - y > 0 )
(83) Sean A= {1,2,3.4), B = {1,4,5.8) ¿cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas?
a) 3 x,y e A / x + y > z, V z e B b) ~[V x e A, 3 y e B / x > y ]
c) V x e B, 3 y e A / x - y e A d) V r e A , V y e B / x + y < 1 0
(84) Si A = {0,1,2,3,4} hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) P: 3 x e A / 2x + 1 = 5 b) q : \/ n e Z + / 3n es divisible por 3
c) r : 3 x e R / x 2 + 7 < 0 d) S : V x e Q / x 2 > x
62 Eduardo Espinoza Ramos
(85) Si M = {-1,1,2,7} cual es el valor de verdad, de las siguientes proposiciones:
a) V x e M, 3 y e M / x2 > y
c) 3 x e M , 3 y e M / ( x < 3 ) v (y2 > 2)
b) 3 x e M, V y e M / x > y > 0
Dadas las proposiciones P: 3 xe Z/(4x + 2)(3x - 7) = 0; q: V xe Z / (x2 > 0) v (x -1 ) < 0 , 
r: 3 x e N / (4x + 2)(3x - 7) = 0, señale el valor de verdad de p, q, r y además 
f(p a q) =* (p v r)] =* r
Sea M = {0,1,2,3} el dominio de x e y, señale el valor de verdad de:
a) V x , 3 y / ( x 2 - y 2 <10) v (x2 < y + l)
b) V x, V y / (x2 - y 2 > -10) a (x2 > y +1)
Negar las siguientes proposiciones para el conjunto z.
a) V x e z / x + l > x
c) 3 x e z / x 2 = x
Negar las siguientes proposiciones.
a) 3 x / x + 7 < y
c) (3 x / p(x))------ > (Vy / ~p(y))
e) 3 x / q(x)_ 5x + 7 < 10
Negar los enunciados del ejercicio 56)
Negar los siguientes enunciados,
a) {3 x / p(x) v ~q(x)}
c) {V x, 3 y / x.y = 0}
e) {(3 y)(p(x))-------> (V x)(~q(x))}
b) 3 x e z / x + l = 0
d) V x e z / x 2 -1 > 0
b) (V x / p(x)) a (3 y / q(y))
d) (p v - q ) ----- > (p a ~r)
f) 3 x / 5 x + 8 < 4
b) | V x / p ( x ) >q(x)}
d) {(V x)(p(x)) a (3 x)(q(x))}
f) {(3 x)( ~p{x)) v (V x)(q(x))}
Lógica 63
g) (3x, 3 y / p(x) v~q(y)} h) {V x, 3 y /p (x ,y )------->q(y)}
i) {3x, 3y / p(x) a qfy)} j) {Vx, 3u, Vz/p(x,y,z)}
(92) Negar cada una de las proposiciones siguientes:
a) ( 3 x / x + 7 > 2 ) b) ( V x / x + 0 = x)
c) {Vx/x2 +7 > x 2 +3} d) { 3 x / ~ ( x * x ) J
e) ~ { Vx / x 2 =x} f) ~ { 3 x / x + 3 = x]
($3) Negar las proposiciones del ejercicio 52) y verificar que