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Matematica Básica [Eduardo Espinoza Ramos]

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> 0 A [0(x) > 0) A P(x) < Q n (jc)]
Ejemplo.- Resolver las siguientes inecuaciones
( T ) Vx2 — 14jc + 13 > x —3
Solución
y]x2 -14x + 1 3 > x - 3 <=> x2 -1 4 x + 13> 0 A [ x - 3 < 0 V 
(x2 —14jc+13 > 0 A x 2 -1 4 x + 13> (x —3)2)]
•> -> 1 <=> jc~ - 1 4 jc + 13 > 0 a [jc < 3 v ( jT — 14jc + 13 > 0 a jc - “ )]
Sistema de Números Reales 193
7 1<=> x —14a + 13>0 a [jc< 3 v .ve< —00,1] u [13,oo > a j c < —]
2
? 1<=> at ~14jc + 13 > 0 a [jc< 3 v jc< —]
2
«=> .v2 -1 4 x + 13> 0 A jc<3
<=> ( x - 1 3 ) ( x - 1 ) > 0 A x £ 3
<=> x € <-oo,l] u [13,+oo> A x < 3 x e <-oo,l]
@ Vjc2 —14jc + 1 3 < jc + 1
Solución
Aplicando la parte b) del Io caso:
Vjc2 —14jc + 13 < jc + 1 <=>(jc2 — 14jc + 13> O A [jc + 1>0) A (jc2 -1 4 jc + 13< (jc + 1)2])
<=> ( ( x - 1 3 ) u - l ) > 0 AL JC > —1) A ((JC —13)(jc —n < (JC + 1)2])
3
<=> ((jc — 13)(jc — 1)>0 A [jc> — 1) A J O — ]
4
3
<=> x e < -l,l] u [l3,+oo> A j o — ]
4
3<^> jc e < —,1] u[13,+oo>
4
Solución
Aplicando la parte b), del 3o caso: y¡P(x) + j Q (x ) > O <=> P(x) > O A Q(x) > O
194 Eduardo Espinoza Ramos
<=> (x - 4)(x - 1) > O, x * 1 A ( 5 - x)(x + 3) > O, x * 3
<=> (x - 4)(x - 1) > O, x * 1 A (x - 5)(x + 3) < 0. x * -3
 \ / \ / \ / \ /--------
_± ____:___ y___ ±____► a ±__ _____:___ v___±___ ►
-3
x e <-oo,l> U [4,°°> A x e <-3,5]
- o • -
- e --------------------------- © --3 1 4 5
O ------------------------------------------------------------------- - #
La solución es: x e <-3,l> U [4,5]
OBSERVACIÓN.- Si n es un numero positivo impar, entonces:
© !¡¡P(x)S^Q(x) « s P(x)SQ(x> © ^JP(x) < ?jQ<x) o P (x)<Q (x)
© n fñ x ) > y¡Q(x) « P(x) > Q(x) © yjp(x) > ^Q(x) <=> P(x) > Q(x)
EiemDlo.- Resolver la inecuación ... . ..-------- > O
Solución
El conjunto de referencia o conjunto universal se obtiene del radical par y diferente de 
cero: x 2 -1 > 0 , dé donde jc~ > 1 => x > l v x < - l x e <-oo,-l> u <l,+oo>
luego el radical par resulta positivo y puede simplificar quedando la inecuación
I j J ^ x > O, que de acuerdo a las observaciones, las expresiones del subradical tiene el
mismo signo > O, de donde : < O ------- i — ^ ^ ------—
jc + 5 x + 5
x e <-5,3>
Sistema de Números Reales 195
Luego la solución de la inecuación es: x e <-5,3> o (<-°°,-l> u <l,+°°>)
x e <-5,-l> u <1,3>
Ejemplo.- Resolver la inecuación syjx2 - 9 .U 3 +8x 2 + 4jc — 48) ^ 
(jc + 4)5(jc3 — 13jc + 12)
Solución
De acuerdo a las observaciones indicadas se tiene que slx2 - 9 tiene el mismo signo que 
x 2 - 9 y que (jc + 4 )5 tiene el mismo signo que x + 4, por lo tanto la inecuación dada 
resulta equivalente a la inecuación:
—— 9)(x + 8jc + 4 jc—48) ^ q factorizando el numerador y el denominador 
(jc + 4 )(jc — 13jc + 12)
(jc + 3 )( jc -3 )( jc -2 )(jc + 6)(j: + 4) ^ (x + 3)( jc - 2)( jc + 6 )(x + 4) ^ Q ^ ^ ^
( jc + 4)( jc —1)( jc + 4)( jc — 3) (jc + 4 )2(jc —1)
 \ / \ / \ / \ / \ /— - -
(jc+ 3)( JC - 2)(jc + 6)( JC+ 4) ^ n — :— g-----------±— g------------:— g---------±— g---------:----------8-----------------------—
x _l “ u -6 -4 -3 1 2
x u [-6,-4] u [-3,1> u [2,+oo> - {3}
OBSERVACIÓN.- Si n es un numero positivo par, entonces:
@ ¡¡¡POc) < y]Q{x) « 0 < P(x) < Q(x) ( 2 ) t fPÜ) < !^Q(x) <=> 0 <P(x)< Q(x)
Ejemplo.- > \ fx
Solución
Aplicando la observación a) se tiene:
V Jc +
- 2 x 32 —2jc<=> 0 < jc<-
2 jc + 2
32-2.V
<=> X > 0 A x < :
x + 2
196 Eduardo Espinoza Ramos
« X > O A A - 32 2 X < 0
x + 2
X > O A
x + 4 a —32
x + 2
(a + 8 )(a -4 ) 
x + 2
<=> x > O a x e <-<*>,-8] u < - 2 ,4 ]
< 0
<=> x > 0 < 0
 \ r ■
-±— 8—
-8 -2
x e [0.4]
3.33. EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
© Resolver la inecuación cuadrática: - 4 x ~ + 4a + 3 > 0
Solución
La inecuación dada expresaremos en la forma: 4a2 — 4a - 3 < 0 
factorizando (2x + l)(2x - 3) < 0, aplicando la propiedad de números reales:
(2x + l)(2x - 3) < 0 <=> (2x + 1 > 0 A 2x - 3 < 0) V (2x + 1 < 0 A 2x - 3 > 0)
1 3 1 3<=> ( a > — A A< — ) V ( A< A A> —)
2 2 2 2
o-
- o
V
— o o --------
- \ ►
- 1/2 3/2 -1/2 (> 3/2
1 3La solución es: x e < — ,—>
9 9
Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raíces la ecuación 4a“ - 4 a - 3 = 0 , de
donde r. = - —, r-, = —
- 1/2 3/2
Como la inecuación es de la forma 4a2 - 4 a - 3 < 0 , la solución es la unión de los
intenalos donde aparece el signo {-), es decir: 1 3a e < — :
2 2
Sistema de Números Reales 197
©
©
A-5 + 8.V 4 + 1 2a-3 - x 2 - 8 a — 12 > O
Solución
Aplicaremos el criterio de las raíces de la ecuación: a5 + 8 a4 +12a3 - a 2 - 8 a -1 2 = 0
La ecuación que queda es: 
a 2 + a + 1 = 0 , cuyas raíces 
-1 L u i ­són: r = -
Luego las raíces reales son: r, = —6 , r2 = — 2 , r 3 = 1
 \ / \ /-----------\ r -
 :___ a____±___ )¿____ v__
-6 -2 1
Como la inecuación es de la forma P(x) > 0. la solución es la unión de los intervalos
x e <-6,-2> u < !,+ «>donde aparece el signo (+), es decir:
1 2a4 - 56a 3 + 89a2 - 56a +12 < 0
Solución
Encontrando las raíces de la ecuación
12a4 - 5 6 a3 + 89a2 - 5 6 a + 12 = 0 dividiendo entre a 2
12 a2 —56a + 89 —— + ^ - = 0 => 12(a2 + 4 t) - 5 6 ( a + - ) + 89 = 0
A A " A " A
Sea z = a + — = > z 2 = a 2 + - \ - + 2 => x2 + A r = z2 - 2
..(1 )
Reemplazando en la ecuación (1) se tiene:
12 (z2 - 2 ) - 56z + 89 = 0 , entonces: 12z2 -5 6 z + 65 = 0 => (6 z -1 3 ) (2 z -5 ) = 0
198 Eduardo Espinoza Ramos
de donde z = — , z = —
6 2
13 1 13 3 2para z = — => x + — = — => 6x 2 -13jc + 6 = 0 , de donde r¡= — , r2 = —
6 x 6 2 3
para z = — => x + — = — => 2jc2 — 5jc + 2 = 0 , de donde r, = —, r¿ =2
2 x 2 2
ordenando las raíces en la recta numérica
- - - \ / \ / - - - - \ / V r ~ Z ~+ \! M + M M +
1/2 2/3 3/2 2
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos 
donde aparece el signo (-), es decir: 1 2 3x e > u < —,2 >
2 3 2
© x(2x + l)(x — 2)(2x - 3) > 63
Solución
Hallaremos las raíces de la ecuación:
x(2x + 1 )(x - 2)(2x - 3) - 63 = 0, entonces x(2x - 3)(2x + 1 )(x - 2) - 63 = 0
(2jc2 - 3a)(2a2 - 3x - 2) - 63 = 0
Sea z = 2jc2 - 3 jc => z ( z - 2 ) -6 3 = 0
z 2 - 2 z - 6 3 - 0 => (z -9 )(z + 7) = 0 , de donde z = 9, z = -7, entonces:
.j , 3
Para z = 9 =^> 9 = 2x -3 x => 2x - 3x - 9 = 0 , de donde: r. = — , r2 = 3
2
, 3± 471
Para z - - 7 => - 7 = 2x~ -3 x => 2x - 3 x + 7 = 0 , de donde: r =
— \ / \ r ~ ~
+ \/ ~ V +
-3/2
Sistema de Números Reales 199
©
Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos 
donde aparecen el signo (+), es decir: x e < — >u<3,+®o> 
2
a jc —3 
l - x - 2 - x
Solución
La inecuación dada se escribe en la forma:
x J t - 3 
1 - jc ~ 2 -jc
< 0 jc(2 - jc) - (x - 3 )(1 - jc) 
(1 -jc )(2 -jc )
< 0 , simplificando
- 2 A-+ 3 
( 1 - jc)(2 —jc)
< 0 2a - 3 
(a —1)(a —2)
> 0 , entonces la inecuación
2a - 3 > 0 , es equivalente a la inecuación
(A — 1)(A — 2)
(2x - 3)(x - l)(x - 2) > 0 para x * 1,2 encontrando las raíces de la ecuación
(2x - 3)(x - l)(x - 2) = 0, se tiene: r, = 1 , r2 = - , r3 = 2
\ /---------- \ r~
v + m__
-\ /------
 ±_
3/2
P( a)como la inecuación es de la forma > 0 , la solución es la unión de los intervalos
Qix)
donde aparecen el signo (+), es decir: A 6 < 1 ,-) U < 2 ,+ o o > 
2
© A +
A -2 A + l <
3 A
Solución
La inecuación dada se escribe en la forma:
200 Eduardo Espinoza Ramos
x - 2 x + 1 x ( x - 2 ) - (x + l) (x + 3)----------------< 0 => —---------- ------ -------- < 0 , simplificando
jc + 3 x x(x + 3)
—6jc—3 2 x + l 2jc + 1 _ , ,-----------< 0 => > 0 . entonces la inecuación