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Matematica Básica [Eduardo Espinoza Ramos]

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) ~(p v -p )
En efecto tenemos:
©
© (p > q ) A ( p A ~ q )
P ~P P A ' P
V F F
F V F
Es una contradicción
Lógica 11
©
p ~P ~ (p v ~p)
V F F V
F V F V
Es una contradicción 
© „ ^ ,
P q (p — »q) A (pA~q)
V V V F F
V F F F V
F V V F F
F F V F F
Es una contradicción.
c) CONTINGENCIA.- Son proposiciones compuestas que no son ni tautología ni
contradicciones, es decir, son proposiciones que en algunos 
casos es F, y en otros es V.
Ejemplos de Contingencia.-
( D P* © P AC1
© (p— >q)— >p
En efecto tenemos:
©
Es una contingencia
© ------------
P q p Aq
V V V
V F F
F V F
F F F
Es una contingencia
12 Eduardo Espinoza Ramos
®
p q (P ->q) *P
V V V V V
V F F V V
F V V F F
F F V F F
Es una contingencia
1.11. IMPLICACIÓN LÓGICA Y EQUIVALENCIA LÓGICA.-
i) A toda proposición condicional p —» q que sea tautología le llamaremos implicación
lógica (o simplemente implicación) en éste caso a la condicional denotaremos por
p =>q
Ejemplo de Implicación lógica se tiene: [((~p) v q) a ~q] => ~p
puesto que:
P q [((~p) v q) A ~q] => -p
V V V F F V F
V F F F V V F
F V V F F V V
F F V V V V V
X __ /
Es una tautología. Por lo tanto es una implicación lógica.
ii) A toda bicondicional p <-» q que sea tautología se le llama equivalencia lógica (o
simplemente equivalencia) y en éste caso a la bicondicional denotaremos por p<=> q.
Ejemplo de equivalencia lógica se tiene: [p a (p v q)] <=> p
puesto que: ______________________________
P q [p A (P v q)] <=> p
V V V V V V V
V F V V V V V
F V F F V V F
F F F F F V F
____
Es una tautología. Por lo tanto es una equivalencia lógica.
Lógica 13
1.12. PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES.-
Cuando sus tablas de verdad de dos proposiciones p y q son idénticos se denominan 
equivalentes (o lógicamente equivalentes) en este caso se simboliza en la forma p=q.
Ejemplo.- Las proposiciones (p > q) y (~ q ----- > ~p) sort lógicamente equivalentes.
puesto que sus tablas de verdad son idénticos. En efecto:
p q p — >q -.q----- > p
V V V F V F
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
‘ Idénticos'
- >q = ~ q > _ p
OBSERVACION.-
© La equivalencia de este ejemplo es muy importante, porque viene a ser la base del 
llamado método de demostración por Reducción al absurdo, en una forma indirecta 
de un proceso de demostración que se va utilizar en el desarrollo del curso.
© Un par de proposiciones equivalentes p ee q resulta siempre una equivalencia 
lógica p « q y viceversa, por esta razón cuando se tiene una equivalencia lógica 
entre p y q, también se dice p = q.
1.13. PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O TAUTOLÓGICAS.-
Las llamadas leyes lógicas o principios lógicos viene a ser formas preposicionales 
tautológicas de carácter general y que a partir de estas leyes lógicas se puede generar otras 
tautológicas y también cualquier tautología se puede reducir a una de las leyes lógicas, 
entre las principales leyes lógicas mencionaremos.
14 Eduardo Espinoza Ramos
Io LOS TRES PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS.-
Ley de identidad.
í P >Pí “una proposición sólo son idénticos así mismo”
[P < >P
® Ley no contradicción.
~(p a -p ) “una proposición no puede ser verdadero y falso a la vez”
© Ley del Tercio excluido.
p v -p “una proposición es verdadero o es falso no hay una tercera posibilidad" 
2o EIJIVALENCIAS NOTABLES.- 
© Ley de la doble negación.
~(~p) = p “la negación de la negación es una afirmación”
© Ley de la Idempotencia.
a) p a p = p b) p v p ^ p
© Leyes conmutativas.
a) ( p a q) = (q a p) b) ( p v q ) E ( q v p)
c) p <— >q = q<— >p
© Leyes Asociativa.
a) p a (q a r) s (p a q) a r b) p v (q v r) = (p v q) v r
c) p <— > (q <-----» r) = (p <— > q) <— > r
© Leyes Distributivas
a) p a (q v r) s (p a q) v (p a r) b) p v (q a r) = (p v q) a (p v r)
c) p » (q a r) = (p » q) a (p ----->r)
d) p > l q v r ) E ( p - > q ) v ( p ------> r)
Lógica 15
© Leyes De Morgan.
a) ~(p a q) = ~p v ~q b) ~(p v q) = ~ p a ~q
© Leyes del Condicional.
a) p > q e - p v q b) - ( p --- >q) = p A ~ q
© Las Leyes del Bicondicional.-
a) (p<— ► q) = (p -> q ) A ( q >p)
b) (p <— > q) s (p a q) v (~p v -q )
© Leyes De La Absorción.
a) p a (p v q) = p b p a (~p v q) = p a q
c) p v (p a q) = p d p v (~p a q) = p v q
@ Leyes De Transposición.
a) (p » q ) s ~ q >- p b) (p<— > q) = ~q <— > -p
© Leyes De Exportación.
a) ( p A q ) »r = p > (q > r)
b) (P i a p 2 a . . . a p n) ---------->r = { p x a P 2 a ... a p n — i ) ------------K p n >r)
( l2 ) Elementos Neutros para la Conjunción y Disyunción.
a) p a V s p. V neutro de la conjunción.
b) p v F ^ p , F neutro de la Disyunción.
(O ) También:
a) (p v q) a (p v -q ) = p b) (p a q) v (p a ~q) = p
OBSERVACIÓN.- Estas Leyes son muy útiles para simplificar los problemas, puesto 
que es válido reeinplazai una proposición por su equivalente sin 
alterar el resultado.
16 Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.- Simplificar las proposiciones siguientes aplicando las leyes lógicas.
( 1 ) l ( p v - q ) A q ) >p
Solución
l(p v ~q) A q ]------ > p = ~[(p v ~q) A q] v p
- [—(p v -q ) v -q ] v p
= l—(p v ~q)J v (p v -q )
E P v ~q
( 2) —[—(p a q ) > ~ q ] v q
Solución
~l~(p a q ) > -q ] v q s [ - (p a q) a - (—q)] v q por (7b)
= ~t(P a q) v (-q)] v q por (6a) 
s [~(p a q) a —(—q)] v q por (6b)
= [(-p v -q ) a q] v q = q v ((-p v ~q) a q) por (3b) 
s qv [q a (~p v ~q)] = q por (9b)
© Comprobar que las tres proposiciones siguientes son equivalentes:
a) _ [(q v _ p) v (q a (r v ~p))]
b) (p a -q ) a [~q v (~r v p)]
c) ~(~q------>--~p) a [q > - ( p ---- > r)]
Determinar si (a) y (b) son proposiciones equivalentes:
a) p » ( r v ~ q )
b) (q ---- > ~p) v (~r — ^ -p )
Dejamos el desarrollo de este ejercicio al lector.
Lógica 17
( j ) [ ( (~P)Aq)------> (r a ~r)l A~q
Solución
[((~p) a q ) > (r a ~r>] a ~q = [((~p) a q ) > F] a ~q
= [~ ((—P) a q) v F] a -q
= [(P v -q ) v F] a -q
= (P v ~q) a q = q
Ejemplo.- Determinar si a) y b) son proposiciones equivalentes:
a) p > ( r v ~q) b) (q------> - p ) v ( - r ----- > ~p)
Solución
Determinaremos la equivalencia mediante la tabla de verdad.
p q r (r v -p ) ^ fP fq > p) v t~r- -> ' PJ
V V V V V V F V V
V V F V F F F F F
V F V V V V V V V
V F F V V V V V F
F V V F V V V V V
F V F F V F V V V
F F V F V V V V V
F F F F V V V V V
... (2)
Idénticos ^
1________________________________ J
Otra manera es mediante la simplificación.
a) p > ( r v ~q ) = ( ~ p ) v ( r v ~ q )
b) (q----- > ~p) v (~ r------> ~p) = (~q v ~pj v r v ~p)
= (~q) v (~p v ~p) v r 
= (-q) v (~p) v r 
= (~p) v (r v ~q)
Luego de (1) y (2) se tiene: a) = b)
18 Eduardo Espinoza Ramos
1.14. LA INFERENCIA LÓGICA O ARGUMENTO LÓGICO.-
A1 proceso de pasar de un conjunto de premisas a una conclusión se denomina inferencia 
lógica o Argumento lógico.
La inferencia lógica es una condicional de la forma:
Í P i * P i a . . . a p „ ) >q . . . ( a )
donde las proposiciones P \ , P i , —. p n son llamadas premisas y que originan como 
consecuencia otra proposición q llamada conclusión.
OBSERVACIÓN.- Una inferencia lógica puede ser una tautología, una contingencia o 
una contradicción y por lo tanto se tiene:
Si la condicional (a) es una tautología se denomina argumento válido o inferencia 
válida.
Si la condicional (a ) no es una tautología se denomina FALACIA.
Ahora veremos como se determina el valor de verdad de un argumento lógico.
1.15. DEFINICIÓN.-
E1 argumento (a) es verdadero si q es verdadero cuándo todas las premisas p ¡, p 2,...,