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Matematica Básica [Eduardo Espinoza Ramos]

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factorizando se tiene:
(x - 30)(x - 35) < 0, aplicando puntos críticos
 \ / \ /------------
 ± V : v + h
30 35
La solución es 30 < x < 35
Luego para obtener una utilidad de al menos $ 2,500 al mes, el fabricante debe producir y
vender cualesquiera unidades de 30 a 35.
® Una compañía de publicidad determina que el costo por publicar cada ejemplar de una 
cierta revista es de $ 1.50. El ingreso recibido de los distribuidores es de $ 1.40 por 
revista. El ingreso por publicidad es de 10% del ingreso recibido de los distribuidores por 
todos los ejemplares vendidos por arriba de 10,000 ¿Cuál es el número mínimo de 
revistas que deben ser vendidas de modo que la compañía obtenga utilidades?
Solución
Sea q = número de revistas vendidas
El ingreso total recibido de los distribuidores es 1.40q y el recibido por publicidad es 
(0.10)[( 1.40)(q - 10,000)] el costo total de la publicación es 1.50q 
como utilidad = ingreso - costo > 0
1.40q + (0.10)[( 1.40)(q - 10,000)] - 1,50q > 0 => 1.4q + 0.14 q - 1 4 0 0 - 1.5q > 0
0.04q - 1400 > 0 => 0.04q>1400 => q > 35,000
318 Eduardo Espinoza Ramos
por lo tanto el número total de revistas debe ser mayor que 35,000, es decir que al menos 
35,001 ejemplares deben ser vendidos para garantizar utilidades.
D Un peluquero atiende un promedio de 100 clientes a la semana y íes cobra $ 3 por corte 
por cada incremento de $ 0.5 en la tarifa, el peluquero pierde 10 clientes ¿Qué precio 
deberá fijar de modo que los ingresos semanales no sean menores de los que él obtiene 
por una tarifa de $ 3?
Solución
Sea x = el número de incremento de $ 0.5 en la tarifa por encima de $ 3
$ (3 + 0.5x) = el precio del corte
100 - lOx = número de clientes por semana.
Ingreso total a la semana = (número de clientes) precio del corte 
= (100 - 10x)(3 + 0.5x) dólares 
el ingreso correspondiente a 100 clientes son de 100 x $ 3 = 300 
luego los nuevos ingresos semanales deben ser al menos 300 dólares, es decu-:
(100 - 10x)(3 + 0.5x) > 300, simplificando x ( x - 4 ) < 0 , aplicando puntos críticos
 \ / \ /------------
 ± y :___ y___ ±_____
0 4
por lo tanto la solución es 0 < x < 4
esto quiere decir que debería subir a lo más 4 x 0.5 = $ 2
El peluquero debería cobrar una tarifa máxima d e $ 3 + $ 2 = $ 5 por corte, para obtener 
al menos los mismo ingresos que los correspondientes a 100 clientes cobrándoles $ 3 por 
corte.
|3.43. EJERCICIOS PROPUESTOS.-
© Determine el costo mínimo C (en dólares) dado que 5(C - 25) > 1.75 + 2.5C
Rpta. $ 50.70
Sistema de Números Reales 319
Determine la ganancia máxima P (en dólares) dado que: 6(P — 2500) < 4(P + 2400)
Rpta. $ 12,300
( 5 ) Determine el costo mínimo C (en dólares) dado que: 2(1,5C + 80) < 2Í2.5C - 20)
Rpta. $ 100
( í ) Detennine la ganancia máxima P (en dólares) dado que: 12(2P - 320) < 4(3P + 240)
Rpta. $ 400
© La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $ 20 y un
costo unitario de $ 15. Si los costos fijos son de $ 600,000, determine el número mínimo 
de unidades que deben ser vendidos para que la compañía tenga utilidades.
©
Rpta. Al menos 120,001
El administrador de una fabrica debe decidir si deberán producir sus propios empaques, 
que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a $ 1.10 cada uno. La 
fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en $ 800 al 
mes y el costo del material y de mano de obra será de $ 0.60 por cada empaque ¿Cuántos 
empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión de fabricar sus propios 
empaques? Rpta. Producir al menos 1601 empaques al mes
® La publicidad indica que cierto auto rinde 20 millas por galón en la ciudad y 27 millas por 
galón en la carretera, y que la capacidad del tanque de gasolina es de 18.1 galones. 
Suponga que existen las condiciones ideales de manejo y determine la distancia que 
puede recorrer un auto de estas características con el tanque lleno.
Rpta. [362,488.7]
Una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre los costos de comprar y 
rentar un automóvil. Ella puede rentar un automóvil por $ 400 mensual (con una base 
anual). Bajo este plan el costo por milla (gasolina y aceite) es de $ 0.10. Si comprarse el 
cano, el gasto fijo anual sería de $ 3,000 más $ 0.18 por milla ¿Cuál es el menor número 
de millas que deberá conducir por año para que la renta no sea más cara que la compra?
Rpta. 22,500
320 Eduardo Espinoza Ramos
( 5 ) Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $ 30 cada una.
Tiene costos fijos de $ 12.000 aTmes; y además, le cuesta $ 22 producir artículo ¿Cuántas 
unidades debe producir y vender al mes la compañía para obtener utilidades?
Rpta. más de 1,500
(lO) La comisión mensual de un agente de ventas es de 15% de las ventas por arriba de
$ 12,000. Si su objetivo es lograr una comisión de al menos $ 3,000 por mes ¿Cuál es el 
volumen mínimo de ventas que debe alcanzar? Rpta. S 32.000
© El costo unitario de publicación de una revista es de $ 0.65 se vende al distribuidor en
$ 0.60 cada una, y la cantidad que recibe por publicidad es el 10% de la recibida por todas 
las revistas vendidas arriba de las 10,000. Encuentre el menor número de revistas que 
pueden ser publicadas sin pérdida, esto es, que la utilidad > 0 (suponga que toda la 
emisión será vendida) Rpta. 60,000
(12) Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias corteas para el
ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $ 2.50 cada unidad. La 
fabricación de las correas por la empresa incrementará sus costos fijos en $ 1,500 al mes, 
pero sólo le costará $ 1.70 fabricar cada correa ¿Cuántas correas debe utilizar la empresa 
cada mes para justificar la fabricación de sus propias correas?
Rpta. más de 1,875
13) Una compañía invierte $ 30,000 de sus fondos excedentes a dos tasas de interés anual: 5 y
6.75%. Desea una ganancia anual que no sea menor al 6.5% ¿Cuál es la menor cantidad 
de dinero que debe invertir a la tasa de 6.75 por ciento? Rpta. $ 25,714.29
^ 4) La fabricante de cierto artículo ha estimado que su ganancia en miles de dólares está dado
por la expresión - 6x2 + 30jc- 10 donde x (miles) es el número de unidades producidas. 
¿Qué nivel de producción el permitirá obtener una ganancia de al menos $ 14,000?
Rpta. Entre 1,000 y 4,000 unidades
^ 5) Una pelota se lanza hacia arriba, de modo que su altura después de t segundo es
128f-16r2 + 4 pies. Determine el tiempo durante el cuál la pelota está arriba de una 
altura de 196 pies. Rpta. 4 segundos
Sistema de Números Reales 321
^ ó ) El costo de publicar cada ejemplar de la revista semanal compra y venta es de $ 0.35. Los
ingresos del representante de ventas, ^on de $ 0.30 por ejemplar y los ingresos de la 
publicidad corresponden al 20% de los ingresos obtenidos por ventas que exceden los
2,000 ejemplares ¿Cuántas copias deberá publicar y vender cada semana para obtener 
ingresos semanales del al menos $ 1,000? R pta. 112,000, o más
(Ít ) L’n fabricante tiene 2,500 unidades de un producto cuyo precio unitario es de $ 4. El
próximo mes el precio por unidad se incrementará en $ 0.50. El fabricante quiere que el 
ingreso total recibido por la venta de las 2,500 unidades no sea menor que $ 10,750 ¿Cuál 
es el número máximo de unidades que puede ser vendido este mes?
Rpta. 1,000
(18) Al precio de P por unidad, x unidades de cierto artículo pueden venderse al mes en el
mercado, con P = 600 - 5x ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con objeto de 
obtener ingresos por los menos de $ 18,000? Rpta. 60 unidades
(19) Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $ 25 cada una. El costo C
(en dólares) de producir x unidades cada semana está dado por C = 3,000+ 20x- Q. l x 2 
¿Cuántas