Matematica Básica [Eduardo Espinoza Ramos]

p n 
son verdaderos, en cualquier otro caso el argumento (a) es falso.
NOTACIÓN.- También el argumento (a ) se denota por:
P \ ,P 2T - -P n >0 ™(P)
Ejemplo.- Determinar si p v q es una consecuencia válida de ~p »~q,~q----->r, ~r
Solución
En este problema las premisas ~ p -----> ~q, ~ q > r, ~r y la conclusión es p v q, por lo
tanto se debe demostrar que (~ p ----- > ~q) a (~ q ----- > r) a ~ r » p v q es una
tautología.
Lógica 19
p q r t( P -> ~q) a (~q - » r ) J a [-~r—— > (p V q)]
V V V V V V F F V V
V V F V V V V V V V
V F V V V V F F V V
V F F V F F F V V V
F V V F F V F F V V
F V F F F V F V V V
F F V V V V F F V F
F F F V F F F V V F
T * .
Es una tautología
Como es una tautología es una inferencia válida.
1.16. TEOREMA.-
Si el argumento (a ) es válida y las premisas p , , p 2,..., p,, son verdaderas, entonces la 
conclusión q es verdadera.
Demostración
Si el argumento (a) es válido, la condicional p, a p 2 a . . . a p n >q es una tautología
en que (p , a / j 2 a - a P«) es verdadera (puesto que cada p , , p 2,..., p„ son verdaderos) 
de donde se tiene que la única posibilidad para la conclusión q es que sea verdadera, pues 
si fuese falsa, la condicional seria falsa y la inferencia no seria válida, contradiciendo la 
hipótesis.
OBSERVACIÓN.- Una inferencia no se modifica si una o varias de las proposiciones 
componentes p , , p 2 p „ , q se reemplaza por otra u otras que sean equivalentes.
NOTACIÓN.- Al argumento (p , a p 2 a . . . a p „ ) ------ >q, también se denota en la
forma siguiente:
P\
P i
P3
Pn
q
20 Eduardo Espinoza Ramos
Ejemplo.- Demostrar que el argumento es válido.
P
p— >q 
• • q
Solución
Se debe demostrar que la condicional
[p a (p -----» q)]------ > q es una tautología
[p a (p ----->q)] -»q — [p a (p > q ) ] v q
= [ ~ p v ~ ( p > q ) ] v q
= (~P v q) v ~(~p v q)
= (~p v q) v (p a -q ) 
s ~(p a ~q) v (p a ~q) = V es tautología 
También puede haberse demostrado con la tabla de verdad.
Es una tautología
1.17. INFERENCIAS VÁLIDAS NOTABLES.-
© Ley De Módus Pones.- [(p-----» q) a q] => q
también se simboliza p ---- > q
_P________
.-. q
Ley De Módus Tollens.- [(p-----> q) a (~q)] => (~p)
también se simboliza p > q
Lógica 21
( 5 ) Ley Del Silogismo Hipotético, [(p----- » q) a (q > r)] => (p > r)
También se simboliza: p ----- » q
q — * r
p > r
© Ley Del Silogismo Disyuntivo, [(p v q) a (~p)] => q
También se simboliza: p v q
~P
q
Ley Del Dilema Constructivo, [(p----- > q) a (r > s) a (p v r)] => (q v s)
También se simboliza:--------- p ----- » q
r » s
p v r 
q v s
© Ley De Simplificación.
a ) p A q = > p b) p a q => q
También se simboliza:
P P
q _____________________q___
de p q
1.18. EL MÉTODO ABREVIADO.-
E1 desarrollo de la tabla de valores de la inferencia (p , a p 2 a ...a p n) >q es muy
laborioso cuando se desea saber su validez, esto se puede evitar mediante el “método 
abreviado” que es fácil de manejar y de gran precisión.
El método abreviado consiste en analizar la única posibilidad de ser falsa la 
implicación p » q, es decir:
22 Eduardo Espinoza Ramos
O sea que la implicación es falsa F sólo cuando el antecedente es verdadero V y el 
consecuente falsa F.
Ahora haremos un análisis a la inferencia, (p , a p 2 a . . . a p n )------ »q
mediante los siguientes pasos:
I o Asignar el valor de verdad V a cada una de las premisas p , , p 2,—, p„ y falso F a la 
conclusión, como el antecedente es verdadero y por ser una conjunción n premisas 
entonces cada premisa p , , p 2 p„ es verdadera es decir:
(p , a p 2 a ... a p n ) --------------------------»q
' * '
2° Deducir el valor de cada una de las variables proporcionales teniendo en cuenta las 
reglas a , v , », ~ que se pueden presentar en cada premisa.
3° Si cada una de las variables proporcionales tiene un sólo valor, entonces la 
inferencia no es válida, es decir no hay implicación puesto que la conjunción de 
premisas es V y la conclusión es F.
4° Si una variable proporcional llega tener dos valores a la vez (V y F), entonces 
quedará demostrado que no es posible que la conjunción de premisas es V y la 
conclusión es F, por lo tanto hay implicación y la inferencia es válida.
Ejemplo. Analizar la inferencia [(p----- »q) a ( r »~s) a (~q v ~s)]----- > (~p v ~r)
Solución
[(p i— »q) a (r -T—> ~s) a (~q y ~s)]----------- > (~p v ~r)
v v W ! i
Lógica 23
Analizando la conclusión (~p v -r)
~p v ~r 
F ▲ Á F
p es F I p es V
de donde .
r es F r es V
ahora analizaremos cada premisa 
p -j- > q de donde p es V
V4_ ( ^ V
r ------j-— > ~s de donde r esV
▲ ▼ V ~s es V entonces S es F.
( y ) ^
-q v s de donde - q es V
A s es F entonces q es F
 1 F
como se puede apreciar que q es V por una parte y q es F por otra parte, lo cual es una 
contradicción por lo tanto la inferencia es válida.
Ejemplo.- Analizar la inferencia [(p----->q) a (~p > r) a (p v ~p)]------> (p v r)
Solución
[(p----- > q) a (~p > r) a (p v ~p)]------------ > (p v r)
l i l i 
▼ ▼ T I I
I I
v. v V v . T T
F'
Analizando la conclusión p v r
p es F
p v r de donde , 
y 1 - es F
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Ahora analizamos cada una de las premisas.
P ■> q de donde p es F 
▲ q es V
~P- p ------------»r■» r de donde -p es F entonces p es V
como podemos apreciar p es F por una parte 
p es V por otra parte 
lo cual es una contradicción, por lo tanto la inferencia es válida.
Ejemplo.- Analizar la inferencia: [(~p <— » (~q v r)) a ( r----- » s)]----- » (s ------» -p )
Solución
[(~p <— > (~q v r)) a ( r ----- > s)] * ( s ----- > -p )
▼
V
V
Analizando la conclusión s » ~p
s ~p de donde entonces p es V
Ahora analizamos cada una de las premisas.
~p <---------- » (~q v r) ~q v r
de donde
Lógica 25
-> s de donde
r es F 
s es F
FT ▼ 
L - &
Corno se tiene una contradicción. Luego la inferencia no tiene validez.
1.19. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN.-
En la demostración de teoremas y proposiciones que se presentan en el álgebra y el 
análisis se aplican ordenadamente los pasos lógicos agotando todas las premisas 
(antecedentes o hipótesis) para verificar la conclusión (consecuente o tesis).
Existen dos formas o métodos de demostración matemática, la directa y la indirecta.
1.20. FORMA O MÉTODO DIRECTO DE DEMOSTRACIÓN.-
En la tabla de verdad de la implicación p > q.
Si p es falso, la proposición p > q es válida cualquiera que sea el valor de q, entonces
no se tendrá nada que demostrar, es decir que interesan los casos de antecedente 
verdadero.
Sí a partir de la verdad de p o de un conjunto de premisas de la forma.
se deduce la verdad de la conclusión de q, se dice que se ha usado una demostración 
directa.
Ejemplo.- Mediante el método directo comprobar la validez de la inferencia lógica.
(P i a p 2 a ... a p n) ------ >q (1)
[~p a (p v q)] > q
Solución
[~p a (p v q)] » q = ~[~p a (p v q)] v q
= lp v ~(p v q ) ] v q
= ( p v q ) v ~(p v q)
V
- tautología.
26 Eduardo Espinoza Ramos
1.21. FORMA O MÉTODO INDIRECTO DE DEMOSTRACIÓN.-
A esta forma de demostración también se denomina demostración por contradicción o por 
reducción al absurdo, este método consiste es negar la conclusión q y considerarla como 
una premisa, y a una de las premisas p x, p 2 p n negarla digamos a p 1 y construir el 
siguiente argumento lógico
( ( —q) A P 2 A - A Pn ) --------- * ~ P \ — ( 2)
ahora probaremos que el argumento lógico(2) es equivalente al argumento lógico (1).
((—q) A P2 A - A P „ ) > ~ P i = ~ [~ q a P2 a - a p J v ~ P i
= [ q v - f t v - v - p „ ] v - p i 
= [ - p , V - p 2 V ... V - ] V q
=