Matematica Básica [Eduardo Espinoza Ramos]

a (~q v -p)] 
+ ! +
0 el valor de verdad es V
F ¡ Vi 
♦
V
i
F
El valor de verdad es V
[(p -> q) - ( q a t)] < - - > [~p V (q A - t ) ]
+ ¡ + ¡ + : i : ¡ + : +
F ! V i v i F ! ! v! v
i1 i ♦ ♦ ! ♦
11 ! F V ¡ V
i
i
1
V V 111
V
i
V
▼
El valor de verdad es V
Si la proposición (~p a q ) » (~s v r) es falsa. Determinar cuál de las proposiciones
son verdaderas:
a) ~[(P------» q) > r] b) - ( - p a q) a [(-r v r) a s]
c) [(p v ~q) a p] v ~q
Solución
Determinaremos los valores de p, q, r, s
Lógica 45
por lo tanto
p es F , q es V 
s es V , r es F
a) 1(P-
+
F
->q)-
v
->r] b) [~(~ p a q)] a [(~r v r) a s]
♦
V
♦
F
V V
♦
V
F F
+ ¡ +
V¡ Fi
♦
V
♦
V
El valor de verdad es V
V
El valor de verdad F
c) [(p v ~q) a p] v ~q 
* ! +
F¡ F
♦ ! *
F ! F
♦
F
♦
F
0 E1 valor de verdad es F 
Por lo tanto únicamente es verdadero la a)
16) Determinar el esquema más simple de la proposición [(p a q) v (p a ~q)] v (~p a ~q)
Solución
[(p a q) v (p a ~q)] v (~p a ~q) por distribución respecto a a 
[((p a q) v p) a ((p a q) v ~q)] v (~p a ~q) por absorción 
(p a (~q v p)] v (~p a ~q) por conmutatividad en v
[p a (p v ~q)] v (~p a ~q) por absorción
p v (~p a ~q) por absorción 
p v - q
por lo tanto [(p a q) v (p a —q)] v (~p a -q ; = p v ~ q
46 Eduardo Espinoza Ramos
17) Hallar la proposición equivalente más simplificada del siguiente circuito lógico.
distribuidad respecto a a 
distribuida respecto a v 
por equivalencias
 p q—
Solución
La ftmción booleana del circuito dado es: [p v q v (~p a ~q)] a [(~p v q) a p] 
Simplificando la proposición obtenida se tiene:
[(P v q) v (~p a ~q)] a [(~p v q) a p)l
[(p v q v ~ p) a (p v q v ~q)] a [(~p v q) a p]
(V a V) a [(p a ~p) v (p a q)]
V a [F v (p a q)] = V v (p a q) = p a q
Por lo tanto la equivalencia es: [p v q v (~p a ~q)] v [(~p v q) a p] = p a q 
por lo tanto el circuito simplificado equivalente es:
O-------------------- P Q o
Determinar la menor expresión que representa al circuito dado:
 P -----------
 q -----------
~q ~P
Solución
La función booleana del circuito dado es: [p v (~q a ~p) v q] a -p 
ahora simplificamos la proposición obtenida
Lógica 47
[p v (~q a ~p) v q] a ~p s [p v q v ~p] a -p
= [(p v ~q) v q] a ~p 
= (V v q) a ~p = q a ~p 
Determinar la menor expresión que representa al circuito dado:
-------- p -------------------- q -
Solución
La función booleana del circuito dado es: [(~p a ~q) v (p a (~p v q))]
ahora simplificando la proposición obtenida
[(~p a -q ) v (p a (~p v q))] s [(~p a -q ) a (p a q)] = p <— > q
Deteiminar la menor expresión que representa el circuito dado:
r ------
Solución
La función booleana del circuito dado es: (p v q) a [(~q a (r v ~q)) v (p a q)] a r 
simplificando la proposición obtenida
(p v q) a [(—q a (r v ~ q» v (p a q)] a r = (p v q) a [~q v (q a p)] a r
= (p v q) a [ q v p] a r 
EE [p V (q A ~q)] A r 
= ( p v F ) A r = p A r
48 Eduardo Espinoza Ramos
Determinar los circuitos lógicos que representan los siguientes esquemas moleculares,
a) ~ [p----- > - (q v r ) ]
Solución
Simplificando se tiene:
~[p----- > ~(q v r)] s ~[~p v ~(q v r)] ° I
= p a (q v r)
b) (~p)<— »(p--- >~q)
Solución
(~p) <— » (p ----- > -q ) = (~p) <— > (-p v -q )
= (~p a (~p v -q ) v (p a (p a q)) 
o-------------
= (~P) v (p)
c) ( p v q ) -----» [ ( ~ p v q ) ----- > (p a q>]
Solución
(p v q )-----> [(~p v q )----- » (p a q)] = ~(p v q ) v [~(~p v q) v (p a q)]
= ~(p v q) v [(p a -q ) v (p a q)]
s (-p a -q ) v p 
= (p V ~q)
~q
Lógica 49
1.30. EJERCICIOS PROPUESTOS.-
Determinar cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones:
a) 5 + 7 = 1 6 - 4 b) 3 x 6 = 1 5 + 1 y 4 - 2 * 2 3 x 5
c) ¿El silencio es fundamental para estudiar?
d) ¡Estudia lógica simbólica!
e) Nosotros estudiamos en la Universidad Peruana.
f) Los hombres no pueden vivir sin oxígeno.
g) ¡Arriba Callao!
h ) 5 + x = 7 i ) 2 + x * 3 + x 
© Determine cuáles de los siguientes enunciados son enunciados abiertos:
a) x es hermano de y b) 28 <15
c) x + y + z * 1 d ) 9 x + 3 > 1 2
e) Tenga calma, no se impaciente
g) x es ingeniero y Juan es matemático.
h) La UNAC sobresalió en el deporte en el 2000.
© ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas?
a) Sí 3 + 3 = 6, entonces 4 = 4
b) Si 5(7) = 35, entonces 10 - 3 = 13
c) Si 1 9 - 7 = 3. entonces 4(5+ 3) = 32
d) Si 2 = 3 entonces 8 es un número primo.
e) Si 3(7) es un número natural, entonces 17 es un número primo.
f) Si x = 2, entonces 3x = 6
50 Eduardo Espinoza Ramos
( ! ) Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) (3 + 5 = 8) v (5 - 3 = 4) b) (3 + 8 = 11) v (7 - 3 > 1)
c) ( 5 - 3 = 8)------ > ( 1 - 7 = 6) d) (4 + 6 = 9) <— > ( 5 - 2 = 4)
( ? ) Dados las siguientes proposiciones: p: 5 > 10
q: si x 2 +1 = 0, entonces x es un número real
r: “El punto medio de un segmento, equidista de los extremos del segmento” 
t: Sí x + 3 = 0, entonces x = -3
Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
a) [ ( pAq) ---- > r] a ~t b) [(p <— > q) > ~ r A t ] v ( p v r )
( ó ) Si P{ x ) : x 2 -1 6 = 0: q(x): x - 12 = 0, r (x ) : x 2 >9 . Hallar el valor de verdad de:
a) [p(2) a ~q(2)] <— > r(4)
b) [~p(4)------> r(5)] v ~q(4)
c) t(p (l) a p(3)) <— > (r(2) v p(3)]------> [~(p(2) v q(2))]
( 7) Si P(x) : jc3 = 27 ; q{x) : x 2 = 9 ; r(x): x < 10. Hallar el valor de verdad de:
a) (p ( l)------> q( 12)] (r(-3) v -r(3)]
b) [p(0) a ~q(-1)] v [r(-5)------> (r(-6) v r(0)J
c) [(p(3) v p(2)) <— > (r(2) a ~q(3))] <— > [~q(3) v -p(-3)]
© Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:
a) (p<— > ~q) <— > (q >p) b) (p A -q )------> (~p vq )
c) [(p v -r ) a (p v r)] a [(q > p ) A ( q v p ) ] d) ~(p v -q ) a (-p v r)
e) ~[p a (~q------> p)] a [~(p <— > ~q)---- > (q v~p)]
Lógica 51
® Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:
a) (p a q) v (~p) => (p v q) b) (p q) r
c) (p => q) (q p) d) (C~P) v q) => (~q => ~p)
e) (p a r) => (~q v r) f) (p a q) v r <=> (~p v ~q) a (~r)
(lO) Hallar las tablas de verdad de las siguientes proposiciones:
a) p > ( p v ~q) b) [(p v ~q)------> ( q------> p)]
c) [ p v ( q > ~r)] a l( p v r) <— > ~q] d) ~ H p a q )-----------» ~q] v p
e) ~{[(p > q ) v ( q > r)j » (r »p)}
Deducir el valor de verdad de:
a) (p » r)----- >( ( p v q ) A~ q ] b) ( - p A - q ) v - q
c) [(~r v q) a q] <--------» [(~q v r) a si
(l2 ) Indicar cuál es la tabla de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
~[(p v q) a (-p v ~q)]
Determinar cuál de las siguientes proposiciones son tautología
a) [(p v ~q) a q] >p b) [ (pA q ) v q ] < — >q
c) [~p a (q a ~r)J <— > f(~p a q) v ~(p v r)]
(l4 ) Por medio de una tabla de valores, establecer, si cada una de los siguientes esquemas
moleculares es tautología, contingencia o contradictoria.
a) - [~ p ------ > ~(~q a ~p)J v ~(~p v - q ) b) [(p v ~q) a ~p] a (~q----- > p)
c) ~(p------ > q) <— > ~(~q----- ^~p)
d) lp > (q ------ »r)]<— > [ ( p A - r ) ----- »~q]
e) lp a (~q------ >p) ]A~[(p----->~q)------> (q v ~p)]
f) f-p a (q v —r)]-<---- > l(~p a q) v ~(p v r)]
52 Eduardo Espinóla Ramos
^ 5 ) Determinar mediante la tabla de verdad, cuáles de las siguientes proposiciones son:
tautologías, contradicciones o contingencias.
a) (p > q) a (q » p) b) [ ( p v q ) A - q ] ------>p
c) ~ [ ( p v p ) ---------->p]