A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
59 pág.
Teoria dos Números - Livro-Texto - Unidade II

Pré-visualização | Página 1 de 8

76
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 G
er
al
do
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
14
/1
2/
20
11
Unidade II
5 MÉTODO DA INDUÇÃO, CONCEITOS DE DIVISÃO E NÚMEROS PRIMOS
5.1 Introdução
Milies e Coelho (2001) comentam o fato de que as ciências naturais frequentemente utilizam o método 
denominado “indução empírica” para formular leis relacionadas a determinados fenômenos da realidade, 
a partir de um grande número de observações particulares. Para eles, esse tipo de procedimento não é 
considerado como demonstração logicamente verdadeira, mas é possível ser satisfatório. Mas, em verdade, 
sua validade frequentemente está relacionada à evolução dos equipamentos dos quais os cientistas 
dispõem e está sujeita a modificações. Os autores argumentam a favor do método, quando comentam 
sobre a validade da afirmação de que um corpo liberado ao seu próprio peso, no vácuo, na superfície 
da Terra, cai segundo a vertical local. No entanto, as histórias da física e da química, por exemplo, estão 
repletas de exemplos de mudanças decorrentes das condições instrumentais dos cientistas.
A validade de um teorema matemático, no entanto, observam Milies e Coelho (2001), estabelece‑se 
de forma diferente. Uma afirmação ser verdadeira, em um grande número de situações particulares, 
não permite afirmar que ela seja válida. Nascimento e Feitosa (2009) introduzem a indução matemática 
como um princípio postulado por Peano, que resolve tal problema para os números naturais. Ou seja, se 
uma propriedade é verificada para o zero, e sempre verificada para um número natural n, também pode 
ser verificada para seu sucessor n+1, então a propriedade é verificada para todos os números naturais.
 Lembrete
Dada a ordem (A, <), todo subconjunto B de A, não vazio, tem elemento 
mínimo. Nesse caso, (A, <) é uma boa ordem.
Seja um conjunto A, não vazio, e contido em Z. Se A é um conjunto 
limitado inferiormente, então existe um elemento m ∈ A, tal que m< x, ∀x 
∈ A. O elemento m é então denominado de mínimo de A.
5.2 Princípio da Indução (PI)
Seja m ∈ N, e seja o conjunto A = {x ∈ N : m < x}. Considere que P(n) é uma propriedade sobre 
n ∈ N tal que:
i) P(m) é verdadeira.
77
Re
vi
sã
o:
 G
er
al
do
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
14
/1
2/
20
11
Teoria dos números
ii) Se n ∈ A e P(n) é verdadeira, então P(n+1) é verdadeira.
 iii) Então P(n) é verdadeira para todo n ∈ A.
 Saiba mais
O estudante interessado em lógica formal e provas encontrará bons 
materiais no site do grupo CLE – Centro de Lógica, Epistemologia e História 
da Ciência. Disponível em: <http://www.cle.unicamp.br/principal/grupoglta/
index.php?pag=publicacoes.php>. Acesso em: 9 dez. 2011.
Exemplo 1
Mostrar que a expressão
1 2
1
2
+ + + = +... ( )n n n
É verdadeira para todo n > 1.
Solução:
i) Para n = 1 e substituindo na forma geral:
1
11 1
2
= +( )
1
12
2
= ( )
Logo, 1=1
ii) Como P(n) é verdadeira, então P(n+1) deve ser verdadeira:
1 2
1
2
+ + + = +... ( )n n n ,
Escrevendo um termo a mais (o anterior a n) na expressão acima não a alteramos:
1 2 1
1
2
+ + + − + = +... ( ) ( )n n n n
78
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 G
er
al
do
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
14
/1
2/
20
11
 Observação
A expressão acima é uma progressão aritmética de razão 1:
r = 2‑1 = 1
Como o último termo é n, para obtermos o penúltimo termo faremos: n‑1.
Para P(n+1) temos:
1 2 1 1 1
1 1 1
2
+ + + + − + + = + + +... [( ) ] ( ) ( )[( ) ]n n n n
1 2 1 1 1
1 1 1
2
+ + + + − + + = + + +... ( ) ( )[ ]n n n n
1 2 1
1 2
2
+ + + + + = + +... ( ) ( )( )n n n n
Fazendo de outra forma
Somando um termo a mais (an+1) a ambos os membros da igualdade inicial a ser verificada, ou seja, 
somando n+1 a ambos os membros da igualdade:
1 2 1
1
2
1+ + + + + = + + +... ( ) ( ) ( )n n n n n
1 2 1
1 2 1
2
+ + + + + = + + +... ( ) ( ) ( )n n n n n
1 2 1
2 2
2
2
+ + + + + = + + +... ( ) ( )n n n n n
1 2 1
3 2
2
2
+ + + + + = + +... ( )n n n n
Como n2 + 3n + 2 = (n + 1) (n +2)
79
Re
vi
sã
o:
 G
er
al
do
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
14
/1
2/
20
11
Teoria dos números
1 2 1
1 2
2
+ + + + + = + +... ( ) ( )( )n n n n
Portanto,
1 2 1
1 2
2
+ + + + + = + +... ( ) ( )( )n n n n
É a fórmula para P(n+1).
Exemplo 2
Verificar a validade do termo geral, por indução, de uma progressão aritmética utilizada em livros 
do ensino médio:
an = a1 + (n –1) . r
Resolução
Consideremos a progressão aritmética dada por (a1, a2, ..., an, ...) de razão r que representa a diferença 
entre um dos termos da progressão aritmética e o termo imediatamente anterior. Assim:
a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r
 Observação
O número que multiplica a razão corresponde ao índice que indica a 
posição do termo na progressão aritmética a menos de uma unidade. Ou 
seja:
3 = 4 –1
an = an–1 + r = a1 + (n – 2) r + r = a1 + nr – 2r + r = a1 + nr – r = a1 + (n –1) r
80
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 G
er
al
do
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
14
/1
2/
20
11
an+1 = an + r = a1 + (n –1) r + r = a1 + nr – r + r = a1 + nr
an+1 = a1 + nr
Aplicando o princípio de indução:
i) Para n=1:
a1 = a1 + (1 – 1) . r
a1 = a1
ii) Considerando que o termo geral vale para n, então é preciso testar para n+1.
an+1 = a1 + [(n + 1) – 1] . r
an+1 = a1 + [n + 1 – 1] . r
Logo, a fórmula vale para n+1.
an+1 = a1 + nr
 Observação
Os princípios da indução são utilizados para verificar algumas fórmulas 
de progressões aritméticas e geométricas. No entanto, é necessário tomar 
cuidado com sua aplicação, uma vez que a aplicação incorreta de conceitos 
pode levar a resultados enganosos.
5.3 Princípio forte da indução (PFI)
 Observação
Esse princípio da indução matemática é a propriedade fundamental 
dos números naturais, observa Ávila (2009). Ela é consequência direta do 
último dos cinco postulados que o matemático Giuseppe Peano utilizou na 
construção de números naturais.
Seja m ∈ N, e seja o conjunto A = {x ∈ N : m < x}. Considere que P(n) é uma propriedade sobre 
n ∈ N tal que:
81
Re
vi
sã
o:
 G
er
al
do
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
14
/1
2/
20
11
Teoria dos números
i) P(m) é verdadeira.
ii) Para todos n, r ∈ A , com m < r < n sempre que P(r) é verdadeira tem‑se que P(n) é verdadeira.
(iii) Então P(n) é verdadeira para todo n ∈ A.
 Lembrete
É preciso ter cuidado com o princípio de Indução Matemática, que exige 
que se provem duas proposições separadamente.
Ávila (2009, p.13) comenta que Pierre de Fermat imaginava que os números da forma:
F n
n
( ) = +2 12
Fossem todos primos, qualquer que fosse o
n > 0
Um momento de reflexão para o futuro professor
Teste para valores de n variando de 0 a 4 e terá os resultados 3, 5, 17, 257 e 65.537. O princípio de 
indução não é aplicável neste caso, uma vez que não há forma de relacionar F(n) com F(n+1). Como os 
cinco primeiros números obtidos são primos, Fermat conjecturou que F(n) é primo para todo n. Mas foi 
apenas uma conjuntura porque bastou Leonardo Euler, no século seguinte, calcular F(5) e verificar que 
o resultado é um número composto. Estava dado o contraexemplo à conjectura de Fermat. Os números 
com a forma anterior ficaram conhecidos como “primos de Fermat”.
 Observação
 Mesmo que o quinto termo não tivesse resultado em um contraexemplo, 
não seria possível afirmar que Fermat estava certo uma vez que testar sua 
afirmação seria uma tarefa sempre interminável, visto que os número 
Naturais não são limitados superiormente.
Demonstração de teoremas (Ávila, 2009, p. 11‑12).
1) Teorema 1. Dados quatro números reais a, b, c, d, podemos afirmar que:
a
b
c
d
a b
b
c d
d
= ⇒ + = +
82
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 G
er
al
do
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
14
/1
2/
20
11
Demonstração: basta notar que:
Multiplicando ambos os lados da igualdade por d.b:
a
b
c
d
a
b
db
c
d
db ad b c= ⇔ = ⇔ =. . . . . (1)
Multiplicando ambos os lados da igualdade por b/c:
a
b
c
d
a
b

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.