Livro-Texto - Unidade I Teoria dos números

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Autora: Profa. Marisa Rezende Bernardes
Colaboradores: Profa. Valéria de Carvalho
 Profa. Mirtes Mariano
 Prof. Daniel Scodeler Raimundo
Teoria dos Números
Professora conteudista: Marisa Rezende Bernardes
Possui graduação em Engenharia Civil pela Universidade Estadual de Maringá (1980), licenciatura em Matemática 
pela Universidade Estadual de Maringá (1988), mestrado e doutorado pelo programa de pós‑graduação da Faculdade 
de Ciências da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, concluídos respectivamente em 2003 e 2009, 
e é vinculada ao Grupo de Pesquisa em História Oral e Educação Matemática (GHOEM). É professora da Universidade 
Paulista – UNIP, campus Bauru, desde 2003, ocupando atualmente a condição de titular.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
B521 Bernardes, Mariza Rezende
Teoria dos Números. / Marisa Rezende Bernardes. ‑ São Paulo: 
Editora Sol.
132 p. il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2‑067/11, ISSN 1517‑9230
1.Educação 2.Pedagogia 3.Matemática.Título
CDU 51
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona‑Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Sueli Brianezi Carvalho
Sumário
Teoria dos Números
APRESENTAçãO ......................................................................................................................................................7
INTRODUçãO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 ASPECTOS HISTÓRICOS DO CONCEITO DE NÚMERO .........................................................................11
1.1 Introdução ................................................................................................................................................11
1.2 Panorama cultural inicial ...................................................................................................................11
2 SENSAçãO NUMÉRICA E A FACULDADE ABSTRATA DE CONTAR ................................................ 17
2.1 O conceito de número em outras culturas ................................................................................ 18
2.1.1 Introdução ................................................................................................................................................. 18
2.1.2 Alguns sistemas de numeração ........................................................................................................ 21
3 COMO SE ESCREVEM OS NÚMEROS ....................................................................................................... 26
3.1 O sistema grego .................................................................................................................................... 27
3.2 O sistema romano ................................................................................................................................ 28
3.3 Numerais hindu‑árabes ..................................................................................................................... 29
3.4 A evolução da teoria dos números ............................................................................................... 30
3.4.1 Antecedentes ............................................................................................................................................ 30
3.4.2 Escola pitagórica ..................................................................................................................................... 30
3.4.3 Aritmética pitagórica ............................................................................................................................ 34
3.4.4 Os números figurados ........................................................................................................................... 35
3.4.5 Ternos pitagóricos .................................................................................................................................. 38
3.4.6 A descoberta das grandezas irracionais ......................................................................................... 40
4 INTRODUçãO .................................................................................................................................................... 41
4.1 Descrição de um conjunto................................................................................................................ 41
4.2 Pertinência entre elemento e conjunto ...................................................................................... 51
4.3 Partes de um conjunto ....................................................................................................................... 52
4.4 Operações sobre conjuntos .............................................................................................................. 52
4.5 União de conjuntos ............................................................................................................................. 52
4.6 Intersecção de conjuntos .................................................................................................................. 53
4.7 Diferença de dois conjuntos ............................................................................................................ 54
4.8 Complementação de conjuntos ..................................................................................................... 55
4.9 Relações ................................................................................................................................................... 56
4.9.1 Introdução ................................................................................................................................................. 56
4.9.2 Relação sobre um conjunto A ........................................................................................................... 59
4.9.3 Relações de equivalência ..................................................................................................................... 59
4.9.4 Classes de equivalência ........................................................................................................................ 63
4.9.5 Relações de ordem ................................................................................................................................. 63
4.10 Representação posicional dos inteiros ...................................................................................... 67
4.10.1 Introdução ............................................................................................................................................... 67
4.10.2 Representação posicional dos naturais e inteiros ................................................................... 68
4.11 Números inteiros: propriedades gerais e aplicações ............................................................69
4.11.1 Operações de adição e multiplicação ........................................................................................... 69
4.11.2 Princípio do menor número inteiro ............................................................................................... 71
Unidade II
5 MÉTODO DA INDUçãO, CONCEITOS DE DIVISãO E NÚMEROS PRIMOS ................................... 76
5.1 Introdução ............................................................................................................................................... 76
5.2 Princípio da Indução (PI) ................................................................................................................... 76
5.3 Princípio forte da indução (PFI) ...................................................................................................... 80
5.4 Múltiplos e divisores ........................................................................................................................... 83
5.5 Algoritmo da divisão de Euclides ................................................................................................... 85
5.5.1 Representação de inteiros em uma base ...................................................................................... 88
5.6 Números primos ................................................................................................................................... 95
6 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA .......................................................................................... 96
7 MAIOR DIVISOR COMUM E MENOR MÚLTIPLO COMUM; CONGRUÊNCIAS 
MÓDULO M EM Z; ARITMÉTICA MODULAR; EQUAçÕES DIOFANTINAS ....................................... 97
7.1 Introdução ............................................................................................................................................... 97
7.2 Maior divisor comum (MDC) .........................................................................................................101
7.3 Mínimo múltiplo comum – MMC ................................................................................................104
7.4 Congruências módulo m em Z – aritmética modular .........................................................105
7.4.1 Introdução ...............................................................................................................................................105
7.4.2 Congruências ..........................................................................................................................................105
7.4.3 Aritmética modular (aritmética módulo m) ..............................................................................113
8 EQUAçÕES DIOFANTINAS .......................................................................................................................... 114
8.1 Introdução ............................................................................................................................................. 114
8.2 Equações diofantinas lineares (a duas incógnitas) ............................................................... 114
8.3 Equações diofantinas lineares (a três incógnitas)................................................................. 117
7
APReseNTAção
Caro aluno, esta apresentação tem a função de expor de forma mais elaborada os objetivos da 
disciplina Teoria dos Números e sua vinculação com o projeto pedagógico e político do curso. É uma 
perspectiva que defende não ser concebível estudar qualquer disciplina de uma licenciatura como algo 
estanque, sem vinculação pedagógica com disciplinas específicas e muito menos utilizá‑la como mero 
atrativo inicial para conteúdos específicos. Esse texto tem, sobretudo na primeira unidade, a preocupação 
de apresentar uma forma de orientação aos futuros profissionais docentes em uma perspectiva que 
busca a construção de conceitos teóricos e uma discussão sobre a formação de conceitos empíricos a 
que os métodos didáticos da moda têm induzido. Além disso, o objetivo aqui proposto é sistematizar 
o conhecimento que a humanidade acumulou nesta área, mas sem perder de vista as análises dos 
contextos social, histórico e cultural que proporcionam a possibilidade de compreensão da ciência de 
modo mais abrangente e, em consequência, uma ação política mais efetiva na esfera da educação.
Outra perspectiva que este texto tem como premissa é o fato de ele ter sido elaborado para um 
curso de educação a distância. Esse é um posicionamento importante, uma vez que estabelece um 
ambiente de aprendizagem diferente daquele utilizado pelo ensino presencial e, portanto, tem exigências 
diferenciadas.
Essa modalidade de educação caracteriza‑se por ser uma prática educativa que exige do estudante, 
mais do que em outra modalidade, construir conhecimentos e participar efetivamente de seu próprio 
crescimento. Esse modelo implica, obviamente, um processo de ensino próprio, uma vez que modifica, 
ou mesmo suprime, o físico e a estrutura do ensino presencial. Assim, a função docente sofre um 
deslocamento, seu papel é descentralizado e a forma de atenção ao aluno está mais próxima do que se 
entende por pesquisa em meios acadêmicos. É um novo formato de ensino‑aprendizagem na graduação, 
no qual os estudantes, assim como aqueles que se iniciam em pesquisas acadêmicas, devem aprender 
a estudar sozinhos, buscar informações com base em indicações do docente responsável pelo curso 
(orientador) e serem capazes de fazer inferências na produção do seu conhecimento.
INTRodução
Em Eves (2004), foram introduzidos textos intitulados “Panoramas Culturais” com o objetivo de que 
o leitor aprenda que a matemática se desenvolveu de acordo com condições e necessidades históricas. 
Acredito que esta ressalva seja importante porque há na sociedade uma visão arraigada – e inúmeros 
trabalhos acadêmicos comprovam isso – de que a abordagem defendida pela imensa maioria dos 
professores de matemática (conscientemente ou não) é a abordagem internalista, que privilegia somente 
o conhecimento (do ponto de vista interno) da própria matemática. No entanto, os professores, mesmo 
defendendo à exaustão alguns pontos de vista (inclusive o internalista), têm uma vida que transcende a 
defesa de seus pontos de vista sobre a matemática.
Suas vidas em família, a relação com seus companheiros e filhos, com colegas de profissão, com 
amigos e parentes, acrescentam fatos novos ao que se sabe das relações individuais com a categoria 
docente e com a sociedade. Todos esses aspectos permitem uma reflexão sobre os condicionantes de 
práticas pedagógicas, o que coincide com a proposta do dispositivo estratégico de Foucault, segundo o 
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qual não se deve interrogar o discurso do outro segundo a ideologia no qual se inscreve: o discurso é 
muito mais. O discurso é o que se deve apreender a partir de posições assumidas, da fala, das práticas 
cotidianas e profissionais que denunciam os efeitos recíprocos do par saber‑poder e a sua integração 
estratégica na conjuntura de correlação de forças nos diversos confrontos produzidos na reprodução 
da vida (Bernardes, 2009). E, dentro dessa perspectiva, a matemática é uma forma de discurso e o 
panorama cultural da humanidade avaliza essa perspectiva.
Como este texto foi produzido para a modalidade EaD, as leituras indicadas estão em sua maioria 
disponíveis on‑line. Essa preocupação está relacionada ao fato de alguns alunos da Unip Interativa 
serem de regiões onde o acesso a determinados materiais impressos é difícil. Porém, isso não os isenta 
do compromisso de fazer pesquisas de materiais pertinentes à área de interesse das disciplinas em 
bibliotecas locais.
A divisão desse livro‑texto em duas unidades (e seus subtópicos), conforme o leitor poderá aferir 
no sumário, foi uma arbitrariedade da autora, já que o conteúdo aqui apresentado se desenvolveu 
de acordo com condições e necessidades históricas, ou seja, sua produção não foi linear e nem suas 
descobertas estiveram semprerelacionadas. Isso se deve ao fato de a história da matemática ser caótica, 
muitas vezes completamente anônima. Essa ressalva é importante porque nunca é demais lembrar que 
o desenvolvimento das diversas áreas da matemática nem sempre esteve pautado pela racionalidade e 
pelo modo defendido pelo positivismo, como assim defendem Bicudo & Garnica (2001):
Permitem que se aceite como ciência procedimentos que conduzam à 
construção do conhecimento sustentados em critérios de rigor que digam 
dos modos de obter dados, de analisá‑los, de interpretá‑los, de generalizar 
resultados obtidos, de construir argumentações e de dispor de argumentos 
contrários, incompletos e insatisfatórios de maneira a articulá‑los em torno 
de uma ideia sustentada pelo autor, explicitando sua lógica e convencendo 
o leitor quanto à sua plausibilidade (BICUDO & GARNICA, 2001, p. 16).
Outro aspecto que deve ser mencionado com clareza nesta introdução é a identificação da perspectiva 
a partir da qual foi desenvolvido este texto: ele está atrelado ao projeto pedagógico do curso, formador 
de professores em matemática. Porém, entrelaçada a essa diretriz fornecida pela instituição está a 
perspectiva atual da comunidade de educadores matemáticos. Na introdução do livro de Bicudo & 
Garnica (2001), há uma observação que nos mostra a complexidade atual do fazer docente, daqueles 
profissionais que trabalham tanto com pesquisas quanto com o ensino da matemática:
O amadurecimento de uma área faz‑se sentir pela zona de densidade que 
a envolve, quando são encontrados concepções, conceitos, questões que se 
superpõem, entrelaçam‑se, criando a impossibilidade de ver‑se com clareza 
do que e de qual perspectiva se fala. É essa a situação que percebemos na 
educação matemática, no momento (BICUDO & GARNICA, 2001, p. 09).
Essa forma de pensar caracteriza‑se por ser analítica, crítica, reflexiva e abrangente e, segundo a 
perspectiva aqui defendida, o caro leitor precisa desenvolver ferramentas para a gestação do futuro 
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professor e, com essa iniciativa, obter a liberdade de propor ações, intervenções e decisões em seu 
ambiente formativo e, posteriormente, profissional. É dessa forma que é possível contribuir efetivamente 
para o conhecimento do mundo cultural, científico, tecnológico, religioso, artístico, enfim, do mundo 
humano. Deverá analisar também a função do mecanismo que normalmente liga os estudantes e 
professores às crenças fortemente arraigadas ao pensamento dos dois grupos de que a matemática é 
independente do humano, portanto, independente dos âmbitos cultural e social. É uma pesquisa que 
sugere analisar e refletir propostas e ações educacionais nos diferentes contextos em que ocorrem. O 
futuro professor, ao educar o olhar sob essa perspectiva, não só terá condições de observar a escola, mas 
buscar a finalidade e a intenção dos procedimentos na área de educação.
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Unidade I
1 AsPeCTos HIsTÓRICos do CoNCeITo de NÚMeRo
1.1 Introdução
O estudante que já cursou a disciplina História da Matemática foi alertado para a tendência das novas 
gerações a negligenciar as manipulações conscientes ou inconscientes que o interesse, a afetividade, 
o desejo, a inibição e a censura exercem sobre a memória individual e, consequentemente, refletem 
na memória coletiva. Daí a necessidade de sempre se renovar o alerta para a importância do contexto 
histórico, mas não como mero atrativo inicial para conteúdos específicos.
1.2 Panorama cultural inicial
Quando o interesse é pela história da matemática, normalmente se arbitra seu início em função 
de outra arbitragem que é a divisão da história da humanidade em intervalos (Idade da Pedra, Idade 
Média, etc.). Para tanto, a opção é o início da narrativa a partir da Idade da Pedra e do movimento dos 
primeiros povos. Segundo Eves (2004) não é possível precisar ao certo tanto o início quanto o final da 
Idade da Pedra. Algumas culturas persistiram na Idade da Pedra em algumas partes do mundo até o 
século XIX ou XX. Apenas por uma convenção histórica, situa‑se o fim dessa fase aproximadamente 
em 3000 a.C., quando no Oriente Médio, na Índia e na China apareceram cidades com culturas capazes 
de fundir metais. Desse período o que se pode apreender de importante é a mudança de estilo de vida 
dos primeiros povos, face aos problemas climáticos e à escassez do tipo de alimento ao qual estavam 
acostumados.
Um momento de reflexão para o futuro professor
Eves (2004) faz uma observação curiosa que, no contexto de um curso de licenciatura, vale a pena 
ser comentada:
[...] Ou se deve recuar ainda mais no tempo e iniciar com os primeiros esforços 
tateantes feitos pelo homem pré‑histórico visando à sistematização das 
ideias de grandeza, forma e número? Ou se pode dizer que a matemática 
teve início em épocas pré‑humanas com a manifestação do senso numérico e 
reconhecimento de modelos, embora muito limitadamente, por parte de alguns 
animais, pássaros e insetos? Ou mesmo antes disso, nas relações numéricas e 
espaciais das plantas? Ou até antes, nas nebulosas espiraladas, nas trajetórias 
de planetas e cometas e na cristalização de minerais em épocas pré‑orgânicas? 
Ou será que a matemática, como acreditava Platão, sempre existiu, estando 
meramente a aguardar sua descoberta? (EVES, 2004).
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O comentário do autor é interessante porque ele reitera uma perspectiva que não pode passar 
despercebida ao futuro professor e deve ser explorada em contextos de ensino e aprendizagem 
fundamentais: a matemática é uma criação humana e a forma como ela é apropriada difere conforme o 
contexto em que é utilizada. A ideia é mostrar aos estudantes imagens como as apresentadas a seguir e 
incentivar uma problematização a respeito delas. Ou seja, as relações de diferentes áreas da matemática, 
perceptíveis aos alunos, já existiam ou os seres humanos as criaram para descrever a natureza? A 
matemática tem origem divina? Nas condições atuais, a escola perpetua a condição de disseminadora 
da forma de apropriação de conhecimentos organizados segundo a lógica formal. Uma reelaboração 
possível de métodos em relação à escola usual é propiciar oportunidades de análise dos conteúdos como 
proposta aos estudantes, levando‑os à formação de pensamento teórico.
Figura 1
–2–3–4 –1
–1
1
2
3
4
–2
–3
–4
1 2 3 4 5 60
0
Amor
Earth
ApolloAten
Figura 2 – Elipse de Kepler
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De fato, nos primórdios da sociedade humana, a ênfase da matemática primitiva ocorreu na 
aritmética e na mensuração, como uma ciência prática para assistir a atividades ligadas à agricultura 
e à engenharia. Mas foi exatamente esse contexto que criou as condições para que se desenvolvessem 
tendências no sentido da abstração. Uma forma de se perceber isso é o alerta de Ifrah (1996) em relação 
à importância de se diferenciar a forma como o número é concebido por diferentes grupos humanos, ou 
seja, as pessoas nem sempre são capazes de conceber qualquer número abstrato.
Essa questão da capacidade de seres humanos conseguirem ou não conceberem resultados 
abstratos, ou seja, não concretos, imagináveis – que será tratada adiante neste texto – articula‑se com 
a capacidade de controlar a própria conduta. Somente quando essa capacidade está presente em uma 
pessoa é possível falar em capacidade de exercer seus direitos de cidadão.
A formação do pensamento teórico vincula‑se à apropriação dos 
conhecimentos mais elaborados desenvolvidos pela humanidade. Segundo 
a Psicologia Histórico‑Cultural, o sujeito que forma um nível adequado do 
pensamento teórico, forma um pensamento capaz de controlar o próprio 
pensamento, o que articula com controlar a própria conduta. Ou seja, a 
formação do pensamento teórico articula‑secom a formação do sujeito 
autônomo (MAGAGNATO, 2011, p. 5).
Por isso, é desejável que todo material didático de uma licenciatura considere as conclusões de 
Davýdov & Márkova (1987), ao analisarem o trabalho desenvolvido pela psicologia pedagógica soviética. 
Esses autores acreditam ter base para afirmar que a atividade de estudo, em relação às capacidades e 
hábitos de estudo, necessita de uma sistematização que não se encerre quando os estudantes finalizam 
um ciclo escolar. Ou seja, que os conteúdos de cada disciplina sejam articulados para formar estudantes 
que buscam ampliar as perspectivas limitadas – em decorrência do tempo disponível, do número de 
alunos e do próprio conteúdo programático – de salas de aulas.
Se ha realizado un gran trabajo, en principio nuevo, de sistematización de 
las capacidades y hábitos de estudio que deben adquirir los alumnos al 
finalizar el aprendizaje escolar.
El criterio cualitativo para juzgar los resultados del estudio son la generación 
de las capacidades, la plasticidad, la capacidad de modificación y otras. 
Valorando altamente este trabajo [...] las capacidades y los hábitos son sólo 
uno de los eslabones de la actividad integral de estudio de los escolares; 
junto con las capacidades y los hábitos (y los procedimientos, acciones, 
operaciones de los alumnos con el material didáctico, que están detrás 
de aquéllos) el estudio incluye también la asunción de la tarea escolar 
por los alumnos, el cumplimiento de diferentes tipos de autocontrol, 
autoevaluación, etc. […]. Entonces los indicadores de eficiencia no serán 
sólo las acciones de estudio del escolar, sino también el planteo, por él 
mismo, de las tareas y objetivos de estas acciones (Davýdov & MÁRKOVA, 
1987, p. 316‑317).
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Em decorrência do exposto anteriormente à interrupção para um “um momento de reflexão para 
o futuro professor” é que nesse texto será considerado o mesmo ponto arbitrário proposto por Eves 
(2004). Esse autor julga mais apropriado considerar como a matemática mais antiga aquela resultante 
dos primeiros esforços dos seres humanos para sistematizar os conceitos de grandeza, forma e número. 
O início será, então, o surgimento no homem primitivo do conceito de número e do processo de contar:
O conceito de número e do processo de contar desenvolveram‑se tão 
antes dos primeiros registros históricos (há evidências arqueológicas de 
que o homem, já há uns 50.000 era capaz de contar) que a maneira como 
ocorreram é largamente conjectural. É razoável admitir que a espécie 
humana, mesmo nas épocas mais primitivas, tinha algum senso numérico 
(EVES, 2004, p. 25).
Os povos da Idade da Pedra eram nômades e viviam da caça de pequenos animais selvagens, das 
frutas, castanhas e raízes, segundo Eves (2004). Habitavam, em geral, porções menos inóspitas da África, 
sul da Europa, sul da Ásia e América Central. A sociedade e a cultura dessa época, como em todas as 
outras épocas históricas, adaptaram‑se a um mundo em transição. Inicialmente, em decorrência do 
estilo de luta pela sobrevivência ser muito difícil, as pessoas viviam demasiadamente ocupadas para se 
aterem aos problemas científicos e intelectuais. No entanto, no decorrer do período, afastaram‑se de um 
tipo de economia centrada no caçar e colher para outra que envolvia modos primitivos de agricultura 
e domesticação de animais. As mudanças climáticas obrigaram os homens e mulheres a se adaptarem 
a um ambiente progressivamente hostil e seguir os animais em fuga para lugares com condições para 
todas as formas de vida. No entanto, nesses lugares, a densidade populacional tornara‑se alta demais 
para que as pessoas sobrevivessem como caçadores ou colhedores. Emergem, assim, após 3000 a.C., 
comunidades agrícolas densamente povoadas ao longo do rio Nilo na África, dos rios Tigre e Eufrates 
no Oriente Médio e ao longo do rio Amarelo na China, nas quais a ciência e a matemática começam a 
se desenvolver.
 observação
A grande valorização do trabalho se dá na cidade. Esta é uma das 
funções históricas fundamentais da cidade: nela são vistos os resultados 
criadores produtivos do trabalho (LE GOFF, 1998, p. 49). 
Essa espécie de “revolução agrícola”, observa Eves (2004b), criou novas necessidades, tais como 
o desenvolvimento da engenharia em construções de sistemas de barragens e irrigações e também 
registros das estações das chuvas e das enchentes e traçados de mapas que especificavam as valas de 
irrigação. Segundo o autor, “os agricultores rezavam aos deuses para que as cheias e as chuvas pudessem 
vir conforme as tabelas e, no processo, observavam o movimento das estrelas. Todas essas atividades 
deram origem a novas classes de homens educados: sacerdotes, escribas e astrólogos” (Ibidem, p. 53). No 
interior desses agrupamentos, fixados em cidades sem precisar se deslocar atrás de alimento, surgiram 
pessoas – reis, sacerdotes, mercadores e escribas – que tinham tempo para ponderar sobre os mistérios 
da natureza e da ciência.
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Em suma, o período de 3000 a 525 a.C. testemunhou o nascimento de uma 
nova civilização humana cuja centelha foi uma revolução agrícola. Novas 
sociedades baseadas na economia agrícola emergiram das névoas da Idade 
da Pedra nos vales dos rios Nilo, Amarelo, Indo, Tigre e Eufrates. Esses povos 
criaram escritas; trabalharam metais; construíram cidades; desenvolveram 
empiricamente a matemática básica da agrimensura, da engenharia e do 
comércio; e geraram classes superiores que tinham tempo bastante de lazer 
para se deter e considerar os mistérios da natureza. Depois de milhões de 
anos, afinal, a humanidade tomava a trilha das realizações científicas (EVES, 
2004b, p. 56).
Para Le Goff (1998) uma das funções essenciais de uma cidade é a informação...
Segundo o autor, a universidade encontrou na cidade medieval o húmus e as instituições. Isto é, 
de um lado, os mestres e os estudantes e, de outro, as formas corporativas, que lhes permitiram existir, 
funcionar e adquirir poder e prestígio. [...] Mas as relações entre a cidade e a universidade nunca foram 
fáceis, mesmo hoje quando se considera a universidade necessária para criar um “polo de excelência” 
nas cidades. Há uma animosidade entre ambas desde o início da história da universidade porque essa 
última, originalmente veiculada à Igreja, protegida por ela, colocava restrições à liberdade urbana. Como 
a universidade preserva a faculdade de julgar a si mesma, de julgar seus resultados, ela sempre resistiu 
às intervenções externas. A partir do século XIII, complementa o autor, surgiu um slogan que afirmava 
que o verdadeiro poder, aquele que os juristas chamavam de potestas no direito romano, apresentava 
três aspectos: regnum, o poder público; sacerdotium, o poder religioso e studium, o saber, isto é, a 
universidade. Assim, em decorrência da cristalização desse entendimento, as cidades se veem forçadas a 
ouvir as opiniões, autorizadas, da universidade. Mas, ainda hoje, essas instituições não parecem dispostas 
a se curvar aos desejos das coletividades locais (Ibid., p. 60‑67).
Assim, afirma Eves (2004, p. 57), a ênfase da matemática primitiva ocorreu na aritmética e na 
mensuração, como uma ciência prática para assistir a atividades ligadas à agricultura e à engenharia. 
Essas atividades necessitavam de uma forma de cálculo para um calendário utilizável, o desenvolvimento 
de um sistema de pesos e medidas para ser empregado na colheita, no armazenamento e na distribuição 
de alimentos, a criação de métodos de agrimensura para a construção de canais, reservatórios e para 
dividir a terra, e a instituição de práticas financeiras e comerciais para o lançamento e a arrecadação 
de taxas para propósitos mercantis. No entanto, foi nesse contexto, todavia, que se desenvolveram 
tendências no sentido da abstração e, até certoponto, passou‑se então a estudar a ciência por si mesma. 
Assim, a álgebra evolveu‑se no fim da aritmética e a geometria teórica originou‑se da mensuração, 
conclui o autor.
Há dificuldades em localizar no tempo as descobertas em matemática. As comunidades não se 
comunicavam com facilidade e os materiais de escrita sobre as descobertas na antiguidade não se 
preservaram, em decorrência da fragilidade dos materiais utilizados para esse fim. Os babilônios usavam 
tábuas de argila cozida, os egípcios usavam pedra e papiros e os primitivos chineses e indianos usavam 
casca de árvores e bambu. Além disso, algumas civilizações foram extintas e com elas suas descobertas. 
Em decorrência desse tipo de dificuldades, e também da matemática ter seu desenvolvimento relacionado 
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com a história das necessidades e preocupações de grupos sociais, Ifrah (1996) considera sua história 
completamente anônima, apesar da sua importância. Feita por e para as coletividades, ela não concedeu 
certificados, apenas alguns nomes são conhecidos, mas mesmo assim de pessoas que transmitiram, 
exploraram, comentaram algarismos e sistemas de numeração. Mas sobre os próprios autores, observa 
o autor, as informações estão certamente perdidas para sempre. Talvez porque algumas invenções 
remontem a uma antiguidade muito mais remota do que se supõe ou porque foram feitas por homens 
relativamente humildes a quem a história não deu direito a registro, conclui.
Mas estas descobertas nunca estão para sempre asseguradas: uma civilização 
se apaga, a dos babilônios ou a dos maias, e, junto com sua casta de 
sacerdotes rigorosamente recrutados, é um pouco da técnica dos números 
que desaparece, toda uma invenção a refazer. Trata‑se, pois, de uma história 
caótica e tumultuada, cheia de avanços fulgurantes e de recaídas, em que 
o passo incerto, errático, feito de tentativas e de erros, de impasses, de 
esquecimentos e de renúncias da espécie humana, parece (para nós, que 
conhecemos seu coroamento, pelo menos em relação a esse ponto) com o 
de um bêbado (IFRAH, 1996, p. 11).
A figura a seguir mostra o quão danificados os documentos produzidos na antiguidade chegaram 
aos nossos dias:
Figura 3 – Papiro artemidoro
Segundo Ifrah (1996, p. 12), a invenção dos algarismos é anterior à escrita e estes estiveram 
relacionados no decorrer da história com o pensamento místico e religioso do homem. A lógica não foi, 
assim, o fio condutor da história da matemática. Foram as preocupações de contadores, mas também 
de sacerdotes, de astrônomos‑astrólogos e somente em último lugar de matemáticos, que presidiram à 
invenção e à revolução dos sistemas de numeração.
Muitos nomes de números, notações e símbolos distintos existiram ao longo da história da humanidade, 
mas apenas alguns acabaram por ter influência na civilização ocidental, daí serem denominados de 
“berços da civilização” as regiões agrícolas do Oriente Médio, China e Egito. À revolução agrícola 
precederam formas de governo mais complexas, que necessitaram de novas realizações intelectuais. 
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Apesar de, segundo Conway & Guy (1999), a mais antiga ocorrência conhecida de numerais é talvez 
a que aparece nas tábuas de argila dos sumérios, que datam da primeira metade do 3º milênio a.C. – o 
sistema sumério foi posteriormente adotado pelos babilônios –, foram os problemas políticos e sociais 
que fizeram aparecer nos séculos de 600 a 600 a.C. o emprego do raciocínio dedutivo em matemática 
com Tales de Mileto (640?‑564? a.C.) e Pitágoras (586?‑500? a.C.) e a lógica foi sistematizada num 
tratamento de Aristóteles (EVES, 2004b).
 saiba mais
GIMENEZ, K.; NUNES, R. Sumérios, os inventores da história. Guia do 
Estudante. São Paulo: Abril. Disponível em: <http://guiadoestudante.abril.
com.br/estudar/historia/sumerios‑inventores‑historia‑433550.shtml>. 
Acesso em: 20 nov. 2011.
2 seNsAção NuMéRICA e A fACuldAde ABsTRATA de CoNTAR
Segundo Ifrah (1996), é importante diferenciar a forma como o número é concebido por diferentes 
grupos humanos. Nem sempre se é capaz de conceber qualquer número abstrato. Inúmeras hordas 
“primitivas”, observa o autor, como os zulus e os pigmeus da África, os aranda e os kamilarai da 
Austrália, os aborígenes das ilhas Murray e os botocudos do Brasil percebem o número de modo um 
tanto qualitativo. O número se reduz para esses grupos a uma “pluralidade material” e assume o aspecto 
de uma realidade concreta indissociável da natureza dos seres e objetos em questão. O traço comum 
de diferentes agrupamentos de possuírem a mesma quantidade de objetos, tais como cinco carneiros, 
cinco árvores, reduz‑se a uma espécie de capacidade natural chamada de “percepção direta do 
número” ou “sensação numérica”. Expressões tais como “muito”, “vários” são utilizadas para caracterizar 
agrupamentos, em verdade, avaliá‑los. Essa aptidão natural não pode ser confundida com a “faculdade 
abstrata de contar” que diz respeito a um fenômeno mental mais complicado e constitui uma aquisição 
relativamente recente da inteligência humana. Essa capacidade humana está relacionada às funções 
psíquicas superiores que possibilitam o interno estar em unidade com os meios externos de pensamento 
(linguagem conceitual, esquemas simbólicos, gráficos, algoritmos, entre outros).
O conceito de “desenvolvimento das funções psíquicas superiores” [...] [abarca] 
dois grupos de fenômenos que a primeira vista parecem completamente 
heterogêneos, mas que de fato são dois ramos fundamentais, dois leitos de 
desenvolvimento das formas superiores de conduta que jamais se fundem 
entre si ainda que estejam indissoluvelmente unidos. Trata‑se, em primeiro 
lugar, de processos de domínio dos meios externos do desenvolvimento 
cultural e do pensamento: a linguagem, a escrita, o cálculo, o desenho; e, em 
segundo, dos processos de desenvolvimento das funções psíquicas superiores 
especiais, não limitadas nem determinadas com exatidão, que na psicologia 
tradicional denominam‑se atenção voluntária, memória lógica, formação 
de conceitos, etc. Tanto uns como outros, tomados em conjunto, formam o 
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que qualificamos convencionalmente como processos de desenvolvimento 
das formas superiores de conduta da criança1 (VYGOTSKY, 1983, p. 29 apud 
SCARPIM, 2010, p. 19. Tradução livre).
Determinadas espécies animais também são dotadas de um tipo de percepção direta dos números. 
Em alguns casos, são capazes de reconhecer as modificações de conjuntos numericamente reduzidos. No 
entanto, é curioso notar que as faculdades humanas de percepção direta dos números não ultrapassa a 
de certos animais, pois não vão além do número quatro. Para que o ser humano pudesse progredir no 
universo dos números, observa Ifrah (1996), foi necessário que certos procedimentos mentais fossem 
agregados à sensação numérica inata.
 saiba mais
O artigo de SENNA & BEDIN (2011) trata da Formação do conceito de 
número em crianças da educação. Disponível em: < http://www.anped.org.
br/reunioes/30ra/trabalhos/GT07‑3370‑‑Int.pdf>. Acesso em: 8 dez. 2011.
2.1 o conceito de número em outras culturas
2.1.1 Introdução
Domingues (1998) inicia sua preleção sobre alguns sistemas de numeração existentes a partir da 
necessidade das sociedades em desenvolvimento.
Se dois conjuntos finitos e não vazios podem ser colocados em correspondência 
biunívoca, ou seja, se a cada elemento do primeiro é possível associar, de 
alguma maneira, um único elemento do segundo, e vice‑versa, então há 
entre esses conjuntos, sob o aspecto quantitativo, algo em comum. Diz‑se 
que ambos têm o mesmo número de elementos ou a mesma cardinalidade. 
Os símbolos usados para indicar os números chamam‑se numerais.
Com o desenvolvimento de uma sociedade, vai‑setornando necessário 
contar conjuntos cada vez mais numerosos, efetuar cálculos, o que ficaria 
muito difícil sem a sistematização do processo de contagem e, paralelamente, 
1 El concepto de “desarrollo de las funciones psíuquicas superiores” y el objeto de nuestro estudio abarcan 
dos grupos de fenómenos que a primera vista parecen completamente heterogéneos pero que de hecho son dos ramas 
fundamentales, dos cauces de desarrollo de las formas superiores de conducta que jamás se funden entre sí aun que están 
indisolublemente unidas. Se trata, em primer lugar, de processos de dominio de los medios externos del desarrollo cultural y 
del pensamiento: el lenguaje, la escritura, el cálculo, el dibujo; y, en segundo, de los procesos de desarrollo de las funciones 
psíquicas superiores especiales, no limitadas ni determinadas con exactitud, que en la psicología tradicional se denominam 
atención voluntária, memoria lógica, formación de conceptos, etc. Tanto unos como otros, tomados en conjunto, forman 
lo que calificamos convencionalmente como procesos de desarrollo de las formas superiores de conducta del niño. 
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do procedimento de escrever os números. O expediente de que o homem fez 
uso nesse sentido, desde os tempos imemoriais, foi [...] a escolha de uma 
base para formar grupos de elementos (DOMINGUES, 1998, p. 3).
A escolha de uma base, segundo o autor, esteve sempre relacionada, de algum modo, ao conjunto 
tomado como referência em relação ao qual todos os demais são relacionados. O sistema de base 10, 
segundo Aristóteles, é decorrente da relação com os dez dedos das mãos. Inclusive, afirma Domingues 
(1998), o vocábulo dígito (usado para indicar qualquer dos algarismos de 0 a 9) é originário do termo 
latino dígitos, que significa dedo.
 
Figura 4 – Representação do número 2 com os dedos de uma mão
Um momento de reflexão para o futuro professor
A história dos números propicia um instrumento interessante para que o futuro professor questione 
qual o tipo de generalização a escola atual tem possibilitado aos estudantes. Em uma pesquisa que 
busca justamente um encaminhamento para essa questão Magagnato (2011) faz uso de Sforni (2004) 
para apresentar o quadro atual da escola, a partir da análise do tipo de pensamento que o conteúdo 
escolar permite ao aluno desenvolver. A autora baseia‑se então na possibilidade de que a forma do 
estudante pensar sobre os diversos assuntos, tanto escolares quanto de sua realidade, é extremamente 
revelador da qualidade do ensino efetivado. E referindo‑se ao ensino que está em vigor na maioria das 
escolas, utiliza o mesmo autor:
É priorizada uma forma de ensino em que a introdução de novos conceitos 
segue sempre a mesma estrutura: um pequeno texto, às vezes, com apenas 
uma frase, acompanhado de vários exemplos. Após a apresentação do 
conceito, surgem os exercícios que, normalmente, exigem a reprodução das 
mesmas palavras e exemplos citados. Na sequência, um novo texto apresenta 
um novo conceito e a dinâmica se repete [...] Solicita‑se a classificação de 
objetos em determinadas categorias e não a formação de categorias. Um 
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exemplo disso está, inclusive, explícito nos objetivos propostos por muitos 
planejamentos: identificar, reconhecer, nomear, classificar, citar... Ao aluno 
resta a tarefa de “fixar” ou reconhecer atributos dentro de um âmbito 
previamente definido (PALANGANA, GALUCH & SFORNI, apud SFORNI, 
2004, p. 50).
Magagnato (2011) utiliza Davýdov (1982) para caracterizar o conceito de generalização que 
correntemente é utilizado na psicologia e didática tradicionais. Ou seja, a generalização consiste, 
num primeiro momento, em um processo e, em outro, em um resultado. É caracterizada pela busca 
do comum e a nomeação de certos invariantes num determinado conjunto de objetos. Depois, 
com os invariantes destacados, identificam‑se os objetos como pertencentes ou não à classe 
dada. A generalização leva a separar traços comuns e, portanto, gerais. No entanto, a abstração só 
ocorre quando se destaca um traço geral invariante de outros variáveis. “O conhecimento do geral, 
sendo resultado do ato comparativo e de sua fixação no signo constitui algo sempre abstrato, não 
concreto, imaginável” (DAVÝDOV, 1982, p. 17 apud MAGAGNATO, 2011, p. 40). Logo, o processo 
da generalização depende inicialmente da realização do ato de comparação dos elementos de 
um determinado conjunto de objetos diversos e variados, desconsiderando outras qualidades e 
tomando apenas o que é invariável e fixando‑o com um signo (palavra, desenho gráfico etc.). 
A partir dessa etapa, o estudante poderá identificar certo objeto com uma determinada classe 
devido a algum atributo comum. No entanto, observa a autora, pode ocorrer nesse processo uma 
imprecisão na aquisição do conceito se tomado como traço substancial aquele que é secundário. 
O geral é algo invariante que se repete na diversidade de um grupo de objetos, mas nem sempre 
é substancial, pois o traço substancial é aquele que representa algo necessário, inseparável de um 
objeto, indispensável para seu estudo. Mas essa observação, por hora, não faz parte do que está 
sendo tratado. O que é proposto no momento ao futuro professor é a tarefa de idealizar atividades 
com objetos diversos, adequados para seus futuros alunos utilizarem no processo da comparação 
e separação dos traços comuns entre eles para o entendimento da ideia de base proposta por 
Domingues (1998):
[...]certo número natural b>1 é escolhido como base; isso significa que 
um agrupamento de b unidades simples (de primeira ordem) forma uma 
unidade de segunda ordem, um agrupamento de b unidades de segunda 
ordem forma uma unidade de terceira ordem, e assim por diante (no nosso 
sistema, por exemplo, dez unidades formam uma dezena, dez dezenas uma 
centena, dez centenas um milhar, etc.); são atribuídos nomes e símbolos 
especiais para 1, 2, ..., b (ou 0, 1, 2, ..., b‑1, se o zero é conhecido) e, às 
vezes, para b2, b3, ...; os nomes e os símbolos para os demais números são 
construídos a partir daqueles já introduzidos, mediante regras convenientes 
(DOMINGUES, 1998, p. 3).
Para que o leitor se situe melhor nessa observação de Domingues (1998), vamos citar como exemplo 
duas representações possíveis do número 446. Segundo a base decimal, ele pode ser representado por 
seis unidades, quatro dezenas e quatro centenas, ou seja, 4.102 + 4.10 + 6. Segundo a base 8, seria 6.82 
+ 7.8 + 6. Dessa forma, pode‑se afirmar que (446)10 = (676)8..
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O leitor percebeu que (446)10 = (676)8 correspondem aos coeficientes das bases utilizadas?
4.102 + 4.10 + 6
 (4 4 6)10
Da mesma forma:
6.82 + 7.8 + 6
(6 7 6)8
Nesta unidade, está se tratando mais dos aspectos históricos da construção do conhecimento 
matemático sistematizado atual. Em unidade posterior será retomado o assunto bases de numeração 
na representação dos números inteiros.
2.1.2 Alguns sistemas de numeração
Na Mesopotâmia, por volta de 4000 a.C., os sumérios desenvolveram a escrita cuneiforme, 
representada em placas de argila.
Figura 5 – Escrita cuneiforme
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Figura 6 – Escrita cuneiforme
Quase simultaneamente foram desenvolvidas no Egito uma forma de escrita, a hieroglífica, 
composta de símbolos e figuras. Os egípcios não desenvolveram um alfabeto, mas determinaram 
símbolos correspondentes aos sons de sua língua. Ao combinar os fonogramas, formavam‑se as versões 
esquematizadas de palavras.
Figura 7 – Escrita hieroglífica
Com o passar do tempo, foram desenvolvidas mais duas formas para a escrita: a hierática e a demótica. 
A hierática foi usada pelossacerdotes em textos sagrados e era uma escrita cursiva, geralmente gravada 
em papiro, madeira ou couro. A demótica era uma forma simplificada de escrita, usada para as situações 
de comércio e situações gerais do dia a dia.
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Figura 8 – Papiro de Ani: documento em escrita cursiva hieroglífica
Figura 9 – Escrita hierática
Segundo Boyer (2003), as escritas demótica e hieroglífica só foram desvendadas a partir da 
descoberta em 1799 pela expedição de Napoleão da pedra de Rosetta (antigo porto de Alexandria). 
Ela continha uma mensagem em três línguas: demótica, hieroglífica e grega. Champollion, na 
França, e Thomas Young, na Inglaterra, decifraram as escritas antigas por serem conhecedores da 
língua grega.
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Figura 10 – Pedra de Rosetta
Desta forma, Boyer (2003) comenta que a numeração hieroglífica egípcia foi facilmente 
decifrada. Pelo menos tão antigo quanto as pirâmides e datando de cerca de 5000 anos atrás, o 
sistema baseava‑se na escala de dez. Para a representação numérica, tinham símbolos em hieróglifos 
e em hierático:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 11 – Hieróglifos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 12 – Hierático
O sistema de numeração dos egípcios baseava‑se em sete números‑chave: 1, 10, 100, 1.000, 
10.000, 100.000 e 1.000.000. Todos os outros números eram escritos combinando os números 
chave.
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1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
Figura 13 – Numerais egípcios
Esses símbolos eram colocados lado a lado e repetidos até nove vezes. Por exemplo, o número 1.242 
seria escrito da seguinte forma:
 
 
Figura 14
Como já foi dito, o sistema usado era o decimal, ou seja, cada dez símbolos eram trocados por um 
símbolo de ordem superior, mas não era posicional: cada símbolo não tinha um valor relativo, ou seja, 
um valor que dependia da sua posição dentro do número. Não havia um símbolo para o zero. Os sistemas 
de numeração tinham por objetivo prover símbolos e convenções de agrupamento desses símbolos de 
forma a registrar a informação quantitativa e poder processá‑la.
Ainda segundo Boyer (2003) as inscrições egípcias revelam familiaridade com grandes números 
desde tempos remotos. Os egípcios eram precisos no contar e no medir e, em razão disso, as pirâmides 
foram construídas com alto grau de exatidão e orientação.
Já os babilônios, segundo Boyer (2003), usavam um sistema numérico sexagesimal, isto é, com 
base no número 60. Os assuntos matemáticos que se apresentam nos tabletes vindos da Mesopotâmia 
são: o sistema de numeração sexagesimal e as tábuas trigonométricas Ainda, o sistema de numeração 
usado variava entre o posicional, o decimal e o sexagesimal e a base 60 era apropriada principalmente 
para o cálculo com frações, por conta dos divisores naturais de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. 
Segundo o autor, especula‑se que o sistema sexagesimal teve origem provavelmente na astronomia, 
especificamente na contagem do tempo, isto é, na divisão do tempo em horas, minutos e segundos. 
O sistema seria originário da junção de dois sistemas mais antigos: o decimal e outro de base seis. 
No entanto, considera mais provável que a base de 60 unidades tenha sido adotada e legalizada 
no interesse da metrologia, uma vez que uma grandeza de 60 unidades pode ser mais facilmente 
subdividida em metades, terços, quartos, quintos, sextos, décimos, dozeavos, quinzeavos, vigésimos 
e trigésimos, fornecendo assim dez subdivisões. Eves (2004) informa que, mesmo nas tábuas mais 
antigas, o sistema sexagesimal posicional já estava estabelecido. Muitos dos textos dos primeiros 
tempos mostram a distribuição de produtos agrícolas e de cálculos aritméticos baseados neste sistema. 
Apesar da forma fundamentalmente decimal das sociedades atuais, esse sistema ainda permanece 
nas unidades de tempo e angulares.
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O aparecimento e a difusão da escrita provocaram uma revolução na memória coletiva, propiciando 
a preservação de registros necessários ao desenvolvimento urbano que emergia nessas regiões:
Em suma, o período de 3000 a 525 a.C. testemunhou o nascimento de uma nova 
civilização humana cuja centelha foi uma revolução agrícola. Novas sociedades 
baseadas na economia agrícola emergiram das névoas da Idade da Pedra nos 
vales dos rios Nilo, Amarelo, Indo, Tigre e Eufrates. Esses povos criaram escritas; 
trabalharam metais; construíram cidades; desenvolveram empiricamente a 
matemática básica da agrimensura, da engenharia e do comércio; e geraram 
classes superiores que tinham tempo bastante de lazer para se deter e considerar 
os mistérios da natureza. Depois de milhões de anos, afinal a humanidade 
tomava a trilha das realizações científicas (EVES, 2004, p. 56).
Nascimento & Feitosa (2009) observam que sistemas de representação dos números por uma base são 
denominados de sistemas posicionais. Os autores chamam a atenção para que em decorrência da utilização 
do sistema posicional sexagesimal (com 60 unidades) pelos astrônomos babilônios, ainda utilizamos, por 
exemplo, a divisão da hora em 60 minutos, minutos em 60 segundos e a medida da circunferência em 3600.
Existem outros sistemas, como o vigesimal (com 20 unidades) usado pelos 
maias da América Central. Também identificamos traços de um sistema 
vigesimal na língua francesa: 80 é designado por quatre vingts, literalmente 
quatro vintes. Do sistema duodecimal (doze unidades) temos em uso a dúzia. 
No sistema de medidas inglês, 1 ‘pie’ é igual a 12 polegadas, e no sistema 
monetário, 1 ‘chilin’ equivale a 12 ‘pences’. O sistema mais conhecido de 
sistema não posicional é o sistema romano. Este sistema tem uma coleção 
determinada de símbolos principais [...] e todo número é representado como 
combinação destes símbolos (NASCIMENTO & FEITOSA, 2009, p. 59‑60).
 saiba mais
Alunos da licenciatura em Ensino da Matemática da Faculdade de 
Ciências da Universidade de Lisboa apresentaram uma série de seminários 
com base na obra de Georges Ifrah, que faz parte de nossa referência 
bibliográfica, que estão disponíveis em:
<http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/algarismos/
introducao.htm>. Acesso em: 8 dez 2011.
3 CoMo se esCReveM os NÚMeRos
Como já foi comentado e é reintegrado por Conway & Guy (1999), os babilônios utilizavam um 
sistema de escrita cuneiforme (do latim cuneus, cunha), que utilizava símbolos que variavam de 
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significado conforme sua posição, constituindo‑se, assim, no primeiro exemplo de escrita posicional. 
No entanto, eles não dispunham de zero, o que tornava a escrita confusa. A notação posicional não foi 
utilizada nos sistemas grego e romano, só reaparecendo mais tarde em nosso próprio sistema com a 
notação hindu‑árabe.
3.1 o sistema grego
Segundo Conway & Guy (1999), desde o século V a.C., aproximadamente, os gregos usavam a 
notação da figura abaixo.
1 10 100
α ι ρ
2 20 200
β k σ
3 30 300
γ λ t
4 40 400
δ µ υ
5 50 500
e ν φ
6 60 600
ς ξ χ
7 70 700
ζ Ο Ψ
8 80 800
η π ω
9 90 900
θ ϙ Ϡ
Figura 15 – Numerais gregos
 saiba mais
O estudante interessado na forma de representação de números neste 
sistema poderá ter mais informações no artigo disponibilizado no endereço 
eletrônico:
<http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page03.htm>. Acesso 
em 08 dez. 2011.
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3.2 o sistema romano
Os numerais romanos, segundo Conway & Guy (1999), foram os únicos utilizados em toda a Europa 
durante mais de um milhar de anos. O sistema derivoudo sistema etrusco.
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
Figura 16 – Numerais romanos
 
Figura 17 – Ainda hoje se utilizam os numerais romanos em mostradores de relógios, datas de monumentos, documentos etc.
 
 Figura 18 – Relógio atual
Os mercadores europeus sentiram dificuldade na transição deste sistema para o sistema árabe na 
época medieval. No início da transição, observam Conway & Guy (1999), eram comuns erros, resultado 
da mescla dos dois sistemas, tais como:
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M5Oiv = 1504
Segundo esses autores, os numerais escritos com letras minúsculas apareceram também na época 
medieval, e atualmente ainda são utilizados na enumeração das subseções de uma lista de itens ou na 
numeração das páginas preliminares de um livro.
Figura 19 – Fotografia de Eves (2004, p. 161)
3.3 Numerais hindu‑árabes
O sistema de numeração atual, no qual se formam os números por justaposição dos dez dígitos, 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, é quase sempre denominado de notação árabe, porque aos árabes se atribui 
sua divulgação pelo mundo no século VII. No entanto, observa Conway & Guy (1999), sua origem é 
hindu. O valor de um dígito nesse sistema depende da sua posição nele, o que torna indispensável a 
existência de um símbolo para o zero. Como foi dito acima, os babilônios debateram‑se com a falta 
desse símbolo. Com os hindus, o zero ganhou o status de número, uma vez que, até então, mesmo entre 
os gregos do período alexandrino, ele era usado apenas para indicar “ausência”, observa Domingues 
(1998). Aliás, a respeito da importância desse símbolo, Ifrah (1996, p. 11) faz uma observação curiosa, 
que remete à história do desenvolvimento da matemática estar repleta de criadores anônimos: “O 
inventor do zero, escriba meticuloso e preocupado em delimitar um lugar numa série de algarismos 
submetidos ao princípio de posição, provavelmente nunca teve consciência da revolução que tornava 
possível”.
Coube também aos hindus, observa Domingues (1998), a introdução na matemática dos números 
negativos. Mas o objetivo ainda era de indicar débitos. O primeiro registro do uso de números negativos 
de que se tem notícia remete ao matemático e astrônomo hindu Brahmagupta (598?), que já conhecia 
as regras para as quatro operações com esses números.
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Bhaskara (século XII), outro matemático e astrônomo hindu, teve importante participação na 
construção do conhecimento sobre os números negativos, com suas observações de que um número 
positivo tem duas raízes quadradas, uma negativa e outra positiva, e sobre a impossibilidade de se extrair 
raiz quadrada de um número negativo.
Apesar da importância da participação dos hindus na introdução do uso dos números negativos, eles 
não tinham nenhuma preocupação teórica. Na verdade, ressalva Domingues (1998), os progressos iniciais 
matemáticos verificados na Índia ocorreram quase por acaso e em boa parte devido ao descompromisso 
com o rigor e a formalidade. Ainda, segundo o autor, o processo de aceitação e entendimento dos 
números negativos foi longo:
Stifel (1486‑1567) os chamava de números absurdos; Cardano (1501‑1576), 
de números fictícios. Descartes (1596‑1650) chamava de falsas as raízes 
negativas de uma equação. Outros, como F. Viete (1540‑1603), importante 
matemático francês, simplesmente rejeitava os números negativos 
(DOMINGUES, 1998, p. 88).
3.4 A evolução da teoria dos números
3.4.1 Antecedentes
Tanto os egípcios quanto os babilônios construíram, ao longo da história, um acervo matemático 
significativo. Desenvolveram a aritmética, a geometria e a álgebra, até certo ponto. No entanto, observa 
Domingues (1998), a matemática, como já foi comentado anteriormente, desenvolvida para embasar as 
realizações materiais desses povos, tinha limitações sérias do ponto de vista científico. Embora houvesse 
alguns vislumbres teóricos, ela era pouco mais de uma coleção de conclusões empíricas construídas ao 
longo dos séculos. No entanto, conclui o autor, apesar de suas raízes empíricas, a matemática é uma 
ciência dedutiva e, portanto, só como tal pode se desenvolver plenamente.
Com os gregos, mais ou menos a partir do século VI a.C., a matemática perdeu muito do seu caráter 
empírico, baseado somente na observação e experimentação, e a produção de seu conteúdo passou a 
ser pautada na análise da realidade a partir da razão, como instrumento na busca da verdade. Segundo 
Domingues (1998), no que tange à matemática, essa postura se consubstanciou na ênfase dada ao 
método dedutivo a partir de axiomas anunciados a priori. Novas diretrizes, como a organização lógica e 
o caráter abstrato que a matemática grega adquiriu em sua primeira fase (mais ou menos do século VI 
a.C. à morte de Alexandre, o Grande, em 323 a.C.), deram‑se pela proximidade com as escolas filosóficas. 
Tales de Mileto (século VI a.C.), filósofo, talvez, conclui o autor, tenha sido o primeiro a formular 
propriedades gerais sobre figuras geométricas, desvinculadas do real.
3.4.2 Escola pitagórica
Segundo Domingues (1998), na juventude, Pitágoras esteve por muito tempo no Egito, na Índia e 
na Mesopotâmia, onde, a par da matemática, absorveu muito do misticismo existente. Aos 40 anos, 
fundou um misto de escola e comunidade religiosa, em que coexistiam os estudos referentes à filosofia, 
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à ciência e à matemática. Os ensinamentos eram transmitidos oralmente e com exigência da promessa 
de segredo. Todas as descobertas eram atribuídas a Pitágoras, de forma que não se sabe ao certo quais 
foram suas verdadeiras contribuições na produção desses conhecimentos. Em razão da tradição oral 
da escola, nenhum documento original restou sobre a matemática pitagórica. As doutrinas pitagóricas 
foram reveladas em livro escrito por um dos seus discípulos, Filolaus (450‑365 a.C.), séculos após a morte 
de Pitágoras. A matemática pitagórica exerceu grande influência na matemática grega, por meio de 
Platão, que teve acesso aos segredos divulgados por Filolaus.
Proporções
De acordo com Boyer (2003), é possível que Pitágoras tenha conhecido na Mesopotâmia as três 
médias: a aritmética, a geométrica e a subcontrária (posteriormente denominada harmônica) e, ainda, 
a proporção áurea, que relaciona duas delas: “o primeiro de dois números está para a sua média 
aritmética como a média harmônica está para o segundo” (Ibidem, p. 38). Acredita‑se que os pitagóricos 
expandiram esse conhecimento posteriormente, mas não é possível precisar a data de listagem das dez 
possibilidades de médias, como apresentada a seguir.
 Se b é a média de a e c, sendo a menor do que c, então as três quantidades estão relacionadas por 
uma das equações:
b a
c b
a
a
−
−
=
 
b a
c b
a
c
−
−
=
 
b a
c b
b
a
−
−
=
 
•
 
c a
b a
c
a
−
−
=
 
c a
b a
b
a
−
−
=
b a
c b
a
b
−
−
=
 
b a
c b
c
a
−
−
=
 
b a
c b
c
b
−
−
=
 
c a
c b
c
a
−
−
=
 
c a
c b
b
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−
−
=
Figura 20 – Pentagrama – símbolo da escola pitagórica
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Segundo Eves (2004) admite‑se geralmente que os primeiros passos no sentido de desenvolvimento 
da teoria dos números e, ao mesmo tempo, do lançamento das bases do futuro misticismo numérico, 
foram dados por Pitágoras e seus seguidores movidos pela filosofia da fraternidade. O distintivo da 
irmandade pitagórica era o pentagrama estrelado, formado pelas cinco diagonais de um pentágono 
regular. Cada um dos cinco lados do pentagrama estrelado divide em secção áurea cada um dos dois 
lados do pentagrama que ele intercepta.
A secção áurea é denominada também de número de ouro, razão áurea ou segmento áureo. Esse 
número é simbolizadopela letra f, inicial de Fídias, escultor grego que o utilizou em suas obras, ou por t 
(tau). O número de ouro é obtido da seguinte maneira: quando uma linha de um segmento é dividida em 
duas partes, de tal modo que a razão entre o segmento inteiro e a parte maior seja igual à razão entre 
a parte maior e a parte menor, essa relação é chamada relação áurea e o número obtido é o número de 
ouro.
Observe o triângulo retângulo a seguir:
n
m
Utilizando a definição dada para razão áurea, ou seja, quando uma linha de um segmento é dividida 
em duas partes, de tal modo que a razão entre o segmento inteiro e a parte maior seja igual à razão 
entre a parte maior e a parte menor, essa relação é chamada relação áurea e o número obtido é o 
número de ouro. Portanto, vamos considerar o seguinte segmento:
m + n
n
m
temos:
m n
m
m
n
+ =
Ao desmembrar a primeira parte da equação, temos:
m
m
n
m
m
n
+ =
1+ =n
m
m
n (1)
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Denominando, assim:
m
n
f= (2)
Obtém‑se, reciprocamente:
n
m f
= 1 (3)
Ao substituir as duas últimas relações (2) e (3) em (1), tem‑se:
1
1+ =
f
f
f
f
f
+ =1
f + 1 = f2
f2 – f – 1 = 0
Ao resolver a equação do segundo grau, temos:
f = ±1 5
2
Ou seja, a raiz positiva é dada por:
f = +1 2 23607
2
.
f = 1,618034
Ainda, quando se quer obter o segmento áureo de outro segmento dado, basta multiplicá‑lo por 1
f
 
 
e, quando se quer obter um segmento qualquer onde é conhecido o segmento áureo, basta multiplicá‑lo 
por f=1,618034 (número de ouro).
Alguns exemplos muito conhecidos da aplicação da proporção áurea à concepção de beleza 
humana são as obras Homem Vitruviano e Mona Lisa, ambas de Leonardo da Vinci. Na Mona Lisa, 
o número áureo é utilizado nas relações entre tronco e cabeça e entre os elementos do rosto da 
mulher retratada.
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Figura 21 – Homem Vitruviano, de Leonardo da Vinci
Figura 22 – Mona Lisa, de Leonardo da Vinci
3.4.3 Aritmética pitagórica
Em razão das características da escola, os pitagóricos perceberam a ligação da matemática 
com a música e com a astronomia. Eles separavam o estudo teórico dos números, que chamavam 
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de “aritmética”, dos cálculos práticos, que denominavam “logística”. Muito dos conhecimentos da 
matemática pitagórica foi reunido, informa Domingues (1998), nos Elementos, de Euclides (c. 300 
a.C.): uma obra em 13 livros, abarcando a matemática elementar da época. Nessa obra, é atribuída aos 
pitagóricos a distinção entre números pares e ímpares, a divisão de números em primos e secundários 
(compostos) e, provavelmente, também era descoberta deles, o número perfeito (“números que é 
igual à soma de suas partes).
3.4.4 Os números figurados
 observação
Boyer (2003) destaca a importância de o misticismo pitagórico 
associar‑se a números com extensão geométrica. Logo, a matemática não 
só se tornou um ramo da filosofia, mas se constitui como base de unificação 
de todos os aspectos da realidade.
Apesar do misticismo e religiosidade, os pitagóricos eram grandes matemáticos. Eves (2004) 
observa que parece haver uma concordância universal de que os números figurados se originaram 
com os pitagóricos. Essa concordância se deve aos pitagóricos terem sido observadores atentos das 
formas geométricas, destaca Domingues (1998), assim eles se interessaram pelos números figurados. 
Esses números eram expressos como reunião de pontos numa determinada configuração geométrica, 
isto é, a quantidade de pontos representa um número, e estes são agrupados de formas geométricas 
sugestivas.
São exemplos de classificações numéricas interessantes os números triangulares, os números 
quadrados e os números perfeitos.
Os números classificados como triangulares são os que formam triângulos equiláteros. Seja Tn o 
n‑ésimo número triangular. Então:
T1 = 1
T2 = 2 + 1 = 3
T3 = 3 + (2 + 1) = 6
T4 = 4 + (3 + 2 + 1) = 10
T T n n n
n n
n n= + = + + + + + =
+
−1 1 2 3
1
2
( ... )
( )
T
n n
n =
+( )1
2
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Assim, esquematicamente:
 
T1 = 1 T2 = 3 T3 = 6
T4 = 10 T5 = 15 T6 = 21
T
n n
n =
+( )1
2
Figura 23 – Números triangulares
A figura a seguir de números triangulares é sugestiva:
 
Números 
triangulares
1, 3, 6, 10, 15, ...
Figura 24 – Números triangulares
Os números classificados como quadrados são os que formam quadrados perfeitos. Seja Qn o n‑ésimo 
número quadrado. Então:
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Q1 = 1
Q2 = 4
Q3 = 9
Q4 = 16
Qn = n
2
 
Tn–1 + Tn = n
2 2Tn = n (n + 1)
Figura 25 – Números quadrados
Assim, podemos determinar uma relação entre os números triangulares e os números quadrados. A 
soma de dois números triangulares consecutivos forma um número quadrado:
T2 + T1 = Q2
T3 + T2 = Q3
T4 + T3 = Q4
Tn + Tn–1 = Qn
Qn = n + 2Tn–1
Os números perfeitos são aqueles cuja soma dos divisores (excetuando‑se ele próprio) é o próprio 
número. Exemplos: O numero 6 é um número perfeito pois seus divisores são: 1, 2, 3 e 6. Então, 
excetuando‑se o 6 temos a soma dos divisores é 1 + 2 + 3 = 6.
 saiba mais
No site do Instituto de Matemática e Estatística da USP (IME‑USP), é 
possível obter mais informações sobre números figurados.
LUCHETA, V. Imática – A matemática interativa na internet. Supervisão 
e orientação: prof. doutor Francisco César Polcino Milies. Disponível em: 
<http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/nfigurados.html>. Acesso 
em: 21 nov. 2011.
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3.4.5 Ternos pitagóricos
Os pitagóricos iniciaram, observa Domingues (1998), o estudo de problemas indeterminados 
envolvendo números naturais ao associá‑los às coisas, especialmente à geometria, ao buscarem o 
conjunto dos ternos ordenados de números naturais não nulos, tal que
a2 + b2 = c2 (terno pitagórico)
Esse estudo foi retomado posteriormente por Diofanto de Alexandria (séc. III, d.C.).
Como foi comentado antes, a escola pitagórica era um misto de escola e comunidade religiosa, em 
que coexistiam os estudos referentes à filosofia, à ciência e à matemática. O que é peculiar nisso não é o 
fato de muitas civilizações primitivas ou antigas partilharem de várias crenças sobre numerologia, mas, 
atualmente, tais preceitos ainda se encontrarem em certas comunidades místicas. No entanto, por mais 
que a numerologia não seja uma criação dos pitagóricos, sua adoração aos números mostra aspectos de 
abstração como a veneração ao número dez não estar ligada à anatomia de mãos e pés humanos. Boyer 
(2003) faz um relato sobre o pensamento místico que direcionava a escola pitagórica:
O número um, diziam eles, é o gerador dos números e o número da razão; o dois 
é o primeiro número par, ou feminino, o número da opinião; três é o primeiro 
número masculino verdadeiro, o da harmonia, sendo composto da unidade e 
da diversidade; quatro é o número da justiça ou retribuição indicando o ajuste 
de contas; cinco é o número do casamento, união dos primeiros números 
verdadeiros feminino e masculino; e seis é o número da criação. Cada número 
por sua vez tinha atributos peculiares. O mais sagrado era o dez ou o tetractys, 
pois representava o número do universo, inclusive a soma de todas as possíveis 
dimensões geométricas. Um ponto gera as dimensões, dois pontos determinam 
uma reta de dimensão um, três pontos não alinhados determinam um triângulo 
com área de dimensão dois e quatro pontos não coplanares determinam um 
tetraedro com volume de dimensão três; a soma dos números que representam 
todas as dimensões é, portanto, o adoradonúmero dez (BOYER, 2003, p. 36).
Um momento de reflexão para o futuro professor
O leitor mais atento pode ter estranhado a afirmação anterior: “No entanto, por mais que a 
numerologia não seja uma criação dos pitagóricos, sua adoração aos números mostra aspectos de 
abstração como a veneração ao número dez não estar ligada à anatomia de mãos e pés humanos”. O 
convite para uma reflexão decorre exatamente por conta da possibilidade de existência de abstração 
em um raciocínio que envolvia aspectos místicos. Para entender‑se o que Boyer (2003) destacou como 
sendo abstração, é preciso retomar os aspectos teóricos que foram encaminhados no momento de 
reflexão anterior, em que a sugestão foi idealizar um conjunto de objetos diversos para que alunos 
buscassem os traços comuns a eles e, se possível, os traços substanciais. O que está sendo proposto 
nesses exercícios é a possibilidade do futuro professor de matemática ser capaz de modelar o processo 
de ensino de forma que surja o conceito do assunto em questão.
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Para a tarefa proposta é necessário configurar a ideia de modelo científico defendido neste trabalho: 
a saber, o modelo científico dialético como uma possibilidade de escapar das armadilhas de rigor que a 
lógica formal impõe ao processo ensino‑aprendizagem em ambientes que não são de bacharelado em 
Matemática. Segundo Magagnato (2011):
No processo de modelagem, o modelo científico dialético é o método 
em ação, é a teoria se teorizando. Mas é preciso que haja determinadas 
estabilizações de regras para que haja sentido. O modelo, apesar de ser 
apresentado com uma certa estabilização, é sempre algo em processo, de 
acordo com Badillo (2004), uma constante substituição de modelos.
De acordo com Davýdov (1982), os modelos são resultado e meio de uma 
atividade na qual está a unidade análise – síntese que, por um lado permite 
analisar o objeto e de outro ir obtendo um objeto intermediário sistêmico 
determinado que serve para explicar e substituir o objeto real.
O modelo tem duas funções: uma é a substituição de um determinado 
sistema de objetos e outra é a que faz a substituição, não como um outro 
objeto, mas dando um certo padrão do processo de desenvolvimento do 
objeto.
Pode‑se distinguir dois tipos de padrão: o “passo a passo” e aquele de relações 
conceituais. O primeiro tende a ser descritivo. Já o segundo apresenta a 
unidade sistema de conceitos – algoritmos, na qual há a codeterminação, 
mas com polo prevalente no sistema de conceitos. O sistema de conceitos 
envolve uma específica sistematização de conceitos, a qual pode ser empírica 
ou teórica (MAGAGNATO, 2011, p. 12).
Segundo a análise de Magagnato (2011) a partir das colocações de Davýdov (1982) os trânsitos de 
pensamento do particular ao geral e do geral ao particular (com a identificação de objetos particulares 
a certa classe) junto com as generalizações e abstrações formais constituem os conceitos empíricos. A 
lógica formal tradicional, a psicologia e didática tradicionais “descrevem só o pensamento empírico, 
que resolve os problemas de classificação dos objetos por seus traços externos e o concernente à 
identificação dos mesmos2” (DAVÝDOV, 1982, p. 76 apud MAGAGNATO, 2011, p. 49).
É interessante observar que a partir dessas colocações, o problema proposto para esse momento de 
reflexão começa a ser delineado. O que a humanidade tinha obtido de avanço, em direção aos conceitos 
que a matemática iria requerer em nossa era, consistia apenas em pensamentos empíricos, quando 
apenas relacionava os números à anatomia de mãos e pés humanos. Quando os pitagóricos, em seu 
misticismo, atribuíram “qualidades” aos números, eles utilizaram nexos não evidentes, não palpáveis.
2 […]describen sólo el pensamiento empírico, que resuelve los problemas de clasificación de los objetos por sus 
rasgos externos y lo concerniente a la identificación de los mismos.
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Segundo Magagnato (2011) a psicologia e a didática tradicionais recomendam aos professores 
que utilizem a experiência pré‑escolar dos alunos como base para o programa escolar quando eles 
entram na escola. Tal recomendação acontece na prática escolar, na qual se utiliza a experiência direta 
dos alunos para a formação de conceitos empíricos. Esta experiência, no ponto de vista da pedagogia 
tradicional, facilita a aprendizagem das crianças e, até certo ponto, há uma correspondência entre as 
noções escolares e o conteúdo da experiência do aluno. No entanto, é preocupante a escamoteação 
da diferença qualitativa entre a experiência e os conhecimentos científicos, ficando num mesmo plano 
e numa subordinação natural dos conhecimentos científicos em benefício da experiência. Esta é uma 
consequência da teoria empírica na didática e na psicologia, observa a autora apoiada em Davýdov 
(1982, p.103‑104).
Esse exercício de reflexão tinha como objetivo levar o autor a considerar com espírito crítico 
as propostas da moda em psicologia e didática. Conhecimentos científicos não são uma mera 
continuação ou um aprofundamento da experiência cotidiana. A produção do conhecimento 
científico
[...] requer que se elaborem meios especiais de abstração, de singular 
análise e generalização que permita fixar os nexos internos das coisas, 
suas essências; requer vias peculiares de “idealização” dos objetos do 
conhecimento. Mas a psicologia pedagógica e a didática, que marcham 
em prol da teoria empírica, ao estruturar as disciplinas, desconhecem 
de fato estas peculiaridades do conhecimento científico3 (DAVÝDOV, 
1982, p. 105).
3.4.6 A descoberta das grandezas irracionais
 Os números inteiros são abstrações que surgiram em função da necessidade de contar coleções, 
observa Eves (2004). Mas as necessidades da vida cotidiana requerem, além da contagem de objetos 
individuais, a medição de quantidades, como comprimento, peso e tempo. Para tanto, descobriu‑se a 
necessidade de números fracionários. Definiu‑se assim, comenta o autor, um número racional como 
o quociente p/q, sendo diferente de zero, de dois números inteiros. Imaginava‑se que o sistema de 
números racionais fosse suficiente para todos os propósitos práticos, uma vez que contêm todos os 
números inteiros e fracionários. A interpretação geométrica desses números era simples e os matemáticos 
acharam que estavam assim representados todos os números. No entanto, os pitagóricos descobriram 
que havia pontos na reta que não correspondiam a nenhum número racional. Em particular, eles 
provaram que não há nenhum número racional ao qual corresponda o ponto P da reta em que OP é a 
diagonal de um quadrado cujos lados medem uma unidade. Novos números então foram inventados 
para serem associados a esses pontos e foram denominados de números irracionais (o que significa 
não racionais), conclui o autor. Por algum tempo 2 foi o único número irracional conhecido. Mais 
3 Requiere que se elaboren medios especiales de abstracción, de singular análisis y generalización que permita fijar 
los nexos internos de las cosas, sus esencias; requiere vías peculiares de “idealización” de los objetos del conocimiento. Mas 
la psicología pedagógica y la didáctica, que marchan en pos de la teoría empírica, al estructurar las disciplinas desconoce 
de hecho estas peculiaridades del conocimiento científico.
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Teoria dos números
tarde, segundo Platão, Teodoro de Cirene (c. 424 a.C.) mostrou uma sequência de números irracionais: 
3 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 17, , , , , , , , , , , . Por volta de 370 a.C., Eudoxo deu 
um tratamento para os incomensuráveis, que essencialmente coincide com a exposição moderna dos 
números irracionais dada por Dedekind em 1872.
4 INTRodução
Neste tópico, serão apresentados os números inteiros e algumas