Cap. 06 - Vetores

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Vetores
prof. José Luiz Fernandes Foureaux
Grandezas escalares
e
grandezas vetoriais
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grandezas vetoriais
Grandeza escalar
Fica completamente caracterizada quando 
se conhece sua medida e sua unidade.
Exemplos: 
Distância
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Distância
Área
Volume
Ângulo
Tempo
Massa
Temperatura
Grandeza vetorial
Só fica completamente caracterizada quando se 
conhece, além de sua medida e sua unidade, 
sua direção e sentido.
Exemplos:
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Exemplos:
Velocidade
Aceleração
Força
Conceitos básicos
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Linha reta
Conceito primitivo (aceito sem 
definição).
Qualquer reta define uma direção no 
espaço.
Entre 2 pontos quaisquer de uma 
r
r
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Entre 2 pontos quaisquer de uma 
reta existe uma infinidade de 
outros pontos (a reta é um 
conjunto denso de pontos).
Por convenção uma reta é 
representada por letras latinas 
minúsculas.
s
t
Sentidos numa reta
Dada uma reta r e 2 de seus pontos A e B, um 
corpo que se mova sobre r pode fazê-lo de 2 
formas diferentes:
De forma que passe primeiro por A e depois por B
De forma que passe primeiro por B e depois por A
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Diz-se que numa direção r existem 2 sentidos:
de A para B e de B para A.
A Br
A B
r
Segmento de reta
Dados 2 pontos A e B de uma reta r, chama-se 
segmento de reta AB ao conjunto constituído 
pelo ponto A, pelo ponto B e por todos os 
pontos de r compreendidos entre A e B.
Os pontos A e B são chamados extremidades do 
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Os pontos A e B são chamados extremidades do 
segmento. A reta r é chamada reta suporte. A 
distância entre A e B é chamada comprimento 
de AB.
r
reta suporte
A B
extremidade extremidade
segmento AB
Reta orientada (eixo)
Quando se convenciona associar um dos 
possíveis sentidos a uma determinada reta, ela 
passa a ser um eixo.
Para indicar qual é o sentido associado a uma reta 
coloca-se sobre ela uma seta.
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coloca-se sobre ela uma seta.
O X
Uma reta é um conjunto de pontos. Um eixo é um 
conjunto ordenado de pontos – ao se associar um sentido 
a uma reta introduz-se ordem no conjunto de pontos.
O que muda na reta quando se associa um sentido?
Reta numérica
Depois que se ordenam os pontos de uma reta, pode-se 
associar a cada ponto um valor, de forma que cada 
ponto passe a representar um valor numérico. Para isso:
• Associa-se o valor zero a um ponto qualquer, que passa 
a ser chamado origem.
• Escolhe-se uma unidade de medida.
• Convenciona-se que o valor associado a cada ponto 
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• Convenciona-se que o valor associado a cada ponto 
será o valor de sua distância à origem, medida com 
aquela unidade.
• Os pontos a partir da origem no sentido crescente do 
eixo são positivos, e no sentido decrescente são 
negativos
O X
0 1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1
origem
Segmento orientado
Segmento de reta ao qual se associa um sentido. 
Notação:
Representação geométrica:
a
r
B
Elementos
A – origem
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α
referência
reta suporte
a
r
A
B
B – extremidade
α - direção
|AB| - módulo ou intensidade
Sentido – de A para B
r – reta suporte
s - referência
Diferença entre segmento e 
segmento orientado
Os dois segmentos AB e BA são iguais, pois são 
constituídos pelo mesmo conjunto de pontos.
Os segmentos orientados AB e BA são diferentes, 
pois têm sentidos contrários (a ordem dos 
pontos não é a mesma.)
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pontos não é a mesma.)
A
B
A
B
A
B
Vetor
Segmento orientado que representa, 
geometricamente, uma grandeza vetorial.
O comprimento do segmento orientado representa, 
numa certa escala, o valor da grandeza vetorial. A 
direção e o sentido do segmento orientado 
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direção e o sentido do segmento orientado 
representam a direção e o sentido da grandeza 
vetorial.
V = 300 km/h
α
Classificação dos vetores
• Livre: O vetor pode ser deslocado 
paralelamente a sí mesmo sem se deformar.
• Deslizante: O vetor pode ser deslocado sobre a 
reta suporte.
• Ligado: O vetor não pode ser deslocado de sua 
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• Ligado: O vetor não pode ser deslocado de sua 
posição.
Classificação dos vetores
• Colineares: Dois ou mais vetores que têm 
mesma reta suporte.
• Coplanares: Dois ou mais vetores que estão 
num mesmo plano.
• Concorrentes: As retas-suporte se cortam num 
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• Concorrentes: As retas-suporte se cortam num 
ponto.
Classificação dos vetores
• Opostos: Têm mesmo módulo, mesma direção e 
sentidos contrários.
• Unitário: De um vetor a é o vetor ua de mesma 
direção e sentido que a e módulo igual a 1.
• Nulo: Vetor de módulo igual a zero. Tem direção 
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• Nulo: Vetor de módulo igual a zero. Tem direção 
e sentido indeterminados.
Ângulo entre 2 vetores
É o menor dos dois ângulos que os vetores fazem 
entre si.
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Soma de vetores
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Processos geométricos
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Regra do paralelogramo
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• Desenha-se os 2 vetores (mantendo módulo, direção e 
sentido) de forma que as origens coincidam.
• Pela extremidade de cada vetor traça-se uma paralela 
ao outro vetor, construindo um paralelogramo.
• A resultante será a diagonal do paralelogramo que parte 
das origens comuns.
Regra do triângulo
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• Desenha-se o 2º vetor de forma que sua origem 
coincida com a extremidade do 1º.
• A resultante será o vetor que liga a origem do 1º 
com a extremidade do último.
Regra do polígono
Processo geométrico para 
calcular a resultante de n 
vetores
• Desenha-se o 1º vetor.
• Em seguida desenha-se cada 
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• Em seguida desenha-se cada 
um dos outros vetores, de forma 
que a origem de cada um 
coincida com a extremidade do 
anterior.
• A resultante será o vetor que liga 
a origem do 1º vetor com a 
extremidade do último.
Processos algébricos
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Lei do coseno
α
a
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αcos222 abbaba ++=+
rr
b
Lei dos senos
a
r
α
β
R
r
θ
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βα sen
b
sen
a
sen
R
rrr
==
Θ
b
r
Casos particulares
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Vetores colineares de mesmo 
sentido
A intensidade da resultante é a soma das 
intensidades dos vetores.
a
r b
r
R
r
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R
r
| R | = | a | + | b |
αcos222abbaba ++=+
rr
α= 0 ; Cos 0 = 1 ; a2 + b2 + 2ab = (a + b)2
Vetores colineares de sentidos 
contrários
A intensidade da resultante é a diferença das 
intensidades dos vetores.
a
r b
r
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R
r
| R | = | a | - | b |
αcos222 abbaba ++=+
rr
α= 180º ; Cos 180 = -1 ; a2 + b2 - 2ab = (a - b)2
Vetores perpendiculares
A lei do coseno se torna 
o teorema de 
Pitágoras.
b
r R
r
αcos222 abbaba ++=+
rr
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a
r
αcos2abbaba ++=+
α= 90
Cos 90 = 0
Propriedades da soma de vetores
• Comutativa: a + b = b + a
• Associativa: a + ( b + c ) = (a + b) + c
b
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a
b
c
a+b
b+c
a
b a
b
Diferença de 2 vetores
a
b a
-b
a - b
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)( baba rrrr −+=−
Método das componentes 
ortogonais
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ortogonais
Projeção de um vetor sobre uma 
reta
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Pelas extremidades do vetor traçam-se 
perpendiculares à reta. A projeção do vetor sobre a 
reta é o vetor que fica entre os pés das duas 
perpendiculares.
Componentes ortogonais de um 
vetor
a
r
Y
a
r
α
Hipotenusa
Cateto oposto
Cateto adjacente
α
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αα senaa
a
a
hipotenusa
opostocateto
sen
Y
Y
.
rr
r
r
=⇒=
⋅
=
X
a
r
α
αα cos.cos aa
a
a
hipotenusa
adjacentecateto
X
X rr
r
r
=⇒=
⋅
=
Cateto adjacente
Método das componentes 
ortogonais
Processo analítico para se determinar a resultante 
de vários vetores.
Exemplo: Determinar a resultante dos vetores 
mostrados abaixo:
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mostrados abaixo:
45º 30º
a
b
|a| = 4 |b| = 2
Método das componentes ortogonais (1)
• Traça-se o sistema 
cartesiano XOY.
• Desenha-se cada um 
dos vetores dados 
com a origem de 
45º30º
a
b
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com a origem de 
cada vetor 
coincidindo com a 
origem do sistema.
• Desenham-se as 
componentes x e y de 
cada vetor.
45º30º
Método das componentes ortogonais (2)
• Calcula-se o valor de 
cada componente 
através das equações
ax = a.cosα
45º30º
a
b
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ax = a.cosα
ay = a.senα
• Calcula-se as 
componentes da 
resultante:
Rx = ∑aix Ry = ∑aiy 
aX = 4.cos45 = 4.0,7 = 2,8
ay = 4.sen45 = 4.0,7 = 2,8
by = 2.cos30 = 2.0,86 = (-)1,72
by = 2.sen30 = 2.0,5 = 1,0
Rx = 2,8 – 1,72 = 2,8 – 1,7 = 1,1
Ry = 2,8 + 1,0 = 3,8
Método das componentes ortogonais (3)
• Calcula-se o módulo 
da resultante:
• Calcula-se a direção 
da resultante:
22
YX
RRR +=
45º30º
a
b
)8,3()1,1( 22 =+=R
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da resultante:
• Determina-se o 
sentido da resultante 
pelo quadrante.
X
Y
R
R
tg =β
95,3
65,15
44,1421,1
=
⇒=
=+
R
º745,3
5,3
1,1
8,3
==
==
arctg
tg
β
β
1º quadrante
Multiplicação de um vetor por um 
escalar
O produto de um 
escalar “n” por um 
vetor a é um vetor de 
mesma direção que 
a, intensidade n.a e 
a
3a
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a, intensidade n.a e 
mesmo sentido que a 
se n >0 e sentido 
contrário a a se n < 0.
-2a
Exercício 1
Certa pessoa sai de sua casa, caminha 5 quarteirões para 
o norte, 3 quarteirões para o leste, 1 quarteirão para o sul 
e 4 quarteirões para oeste. Determine geometricamente a 
direção e a distância que ela deve percorrer para retornar 
ao ponto de partida.
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N
S
LO
casa
Exercício 2
Duas forças, respectivamente iguais a 5 kgf e 8 kgf, 
atuam num mesmo corpo. O ângulo entre elas é 
45º. Determine a intensidade e a direção da 
resultante.
R2 = F12 + F22 + 2F1F2cos45R
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R = F1 + F2 + 2F1F2cos45
= (8)2 + (5)2 + 2.8.5.0,7
= 64 + 25 + 56
= 145 → R = 12 kgf
F1=8kgf
F2=5kgf R
α
R / sen45 = F2 / senα→ 12 / 0,7 = 5 / senα→
sen α = 5.0,7 / 12 = 0,2916
α = arcsen 0,2916 → α = 17º
Exercício 3
Duas forças ortogonais, de módulos respectivamente 
iguais a 6 N e 8 N, constituem um sistema. Determine 
a intensidade e a direção da resultante.
R 643686 22
==
+=+=
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N10100 ==b = 6
a = 8
α
º3775,0
75,0
8
6
==
===
arctg
a
b
tg
α
α
Exercício 4
A soma de duas forças ortogonais é 25 kgf. Uma 
das forças vale 24 kgf. Qual o valor da outra 
força?
R2 = a2 + b2
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b = ?
a = 24
R = 25
(25)2 = (24)2 + b2
625 = 576 + b2
b2 = 625 – 576 = 49
b = 7
Exercício 5
A soma das intensidades de 2 forças ortogonais 
é 23 kgf. Qual o módulo de cada uma se a 
intensidade da soma é 17 kgf?
|a| + |b| = 23 ; b = 23 - a
|R| = 17
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|R| = 17
(17)2 = a2 + b2
289 = a2 + (23 – a)2
289 = a2 + 529 – 46a + a2
289 – 529 = 2a2 – 46a 
-240 = 2a2 – 46a 
a2 -23a + 120 = 0
|R|=17a
b
Exercício 5 (cont.)
2
48052923
2
120)23(23 2
−±
=
−±
=
a
aa
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15823''8
2
723
"
81523'15
2
723
'
2
723
2
=−=⇒=
−
=
=−=⇒=
+
=
±
=
ba
ba
a
|R|=17
b
Exercício 6
Que ângulo devem fazer duas forças de mesma 
intensidade para que o módulo da soma seja 
igual ao módulo de cada uma das forças?
R2 = a2 + b2 + 2abcosα
R2 = R2 + R2 + 2RRcosα
|R| = |a| = |b|
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R2 = R2 + R2 + 2RRcosα
R2 = 2R2 + 2R2cosα
R2 = 2R2 (1 + cosα)
1 + cosα = 0,5
cosα = (-0,5)
α = arccos (-0,5) = 120º
a
b
R
120º
Exercício 7
Calcule, pelo método das componentes ortogonais, 
a soma dos vetores mostrados abaixo.
45º 30º
a = 4,5 b = 3,8
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45º 30º
90º
c = 2
Exercício 7 (cont.)
ax = a.cos45 = 4,5.0,7 = 3,15
Rx = ax + bx + cx
= 3,15 – 3,3 + 0 = -0,15
Ry = ay + by + cy 
= 3,15 + 1,9 – 2 = 3,1
R2 = (-0,15)2 + (3,1)2
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ax = a.cos45 = 4,5.0,7 = 3,15
ay = a.sen45 = 4,5.0,7 = 3,15
bx = b.cos30 = 3,8.0,86 = (-) 3,3
by = b.sen30 = 3,8.0,5 = 1,9
cx = c.cos 90 = 2.0 = 0
cy = c.sen 90 = 2.1 = 2
= 0,225 + 9,61 = 9,835
R = 3,1
Tgα = Ry / Rx = 3,1 / (-0,15)
= -20,67
α= arctg -20,67 = -87º
2º quadrante
Exercício 8
Dados os vetores:
a = 3 b = 5 c = 7
a + b + c a - 2c + b a + c - b
Determine geometricamente o resultado das operações:
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a + b + c a - 2c + b a + c - b
Exercício 9
Um barco que teria a velocidade de 2 m/s em água parada 
atravessa um rio de 40 m de largura, 
perpendicularmente à margem. A velocidade da 
correnteza é 0,5 m/s.
a. Em que posição na margem oposta o barco aporta?
b. Qual a distância que ele percorre?
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b. Qual a distância que ele percorre?
40 m
Vb = 2 m/s
Vr= 0,5 m/s
Simulação
Exercício 9 (cont.)
X = 40 m
d
Vb
Vr
X = V.t ; t = x / Vb
t = 40 / 2 ; t = 20 s
d = Vr.t ; d = 0,5.20 d = 10 m
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dVr
L
L2 = X2 + d2 ; L2 = (40)2 + (10)2
L2 = 1700 ; L = 41,2 m
Exercício 10
Um barco percorre 2160 m em 432 s, subindo um 
rio, e gasta 240 s para retornar ao ponto de 
partida. A velocidade do barco em relação à 
água é a mesma nos 2 casos. Qual a velocidade 
do rio? E a velocidade do barco em relação à 
água?Simulação
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água?
d = 2160 m VSVd
VS = d / t = 2160 m / 432 s = 5 m / s
Vd = d / t = 2160 m / 240 s = 9 m / s
Vb – Vr = 5 Vb = 5 + Vr
Vb + Vr = 9 ... 5 + Vr + Vr = 9
2Vr = 4 Vr = 2 m / s
Vb = 5 + 2 ... Vb = 7 m / s
Simulação