limites
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MAT146 - Ca´lculo I
Alexandre Miranda Alves
4 de marc¸o de 2015
MAT146 - Ca´lculo I UFV
Limites
Considere a func¸a\u2dco f : R \ {\u22121} \u2192 R dada por
f (x) =
x
x + 1
Sabemos que
f (0) = 0
f (1) =
1
2
f (\u22122) = 2
...
e sabemos que na\u2dco existe f (\u22121). Na verdade, o nu´mero \u22121 nem faz parte
do dom´\u131nio de f . Mas o que acontece quando a varia´vel x se aproxima de
\u22121?
MAT146 - Ca´lculo I UFV
Observe o gra´fico da func¸a\u2dco
MAT146 - C´alculo I UFV
Definic¸a\u2dco de Limite
Seja I um intervalo aberto em R, a \u2208 I e f uma func¸a\u2dco real definida em
todo ponto de I , exceto possivelmente em a (note que o dom´\u131nio de f
neste caso e´ I ou I \{a}). Dizemos que o limite de f (x) quando a varia´vel
x tende a a sera´ o nu´mero L se a seguinte condic¸a\u2dco for verdadeira:
Condic¸a\u2dco: (\u3b5, \u3b4)
Dado \u3b5 > 0 qualquer, existe um \u3b4 > 0, tal que se 0 < |x \u2212 a| < \u3b4
enta\u2dco |f (x)\u2212 L| < \u3b5.
Aqui, as letras gregas \u3b5 e \u3b4 representam respectivamente as dista\u2c6ncias
entre f (x) e L e entre x e a.
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Exemplo
Seja f (x) = 2x + 3. Suponha que o limite
lim
x\u21921
f (x) = 5
Dado a dista\u2c6ncia \u3b5 = 0, 5, encontre uma dista\u2c6ncia \u3b4 tal que
se 0 < |x \u2212 1| < \u3b4 enta\u2dco |f (x)\u2212 5| < 0, 5 (1)
Soluc¸a\u2dco:
Note que
|f (x)\u2212 5| = |2x + 3\u2212 5| = |2x \u2212 2| = 2|x \u2212 1|
Assim
2|x \u2212 1| < 0.5\u21d4 |x \u2212 1| < 0, 5
2
= 0, 25
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Como 0 < |x \u2212 1| < \u3b4, basta escolher-mos \u3b4 = 0, 25. Na verdade, note
que qualquer valor para \u3b4 menor que 0, 25 satisfaz a afirmac¸a\u2dco (??).
Exemplo
Prove que lim
x\u2192\u22121
(7x + 4) = \u22123.
Precisamos de mostrar que para qualquer dista\u2c6ncia \u3b5 dada, existe uma
dista\u2c6ncia \u3b4 satisfazendo a condic¸a\u2dco \u3b5, \u3b4. Vamos la´!
Seja \u3b5 > 0 qualquer.
|(7x + 4)\u2212 (\u22123)| < \u3b5\u21d4 |7x + 7| < \u3b5\u21d4 7|x + 1| < \u3b5\u21d4
|x + 1| < \u3b5
7
\u21d4 |x \u2212 (\u22121)| < \u3b5
7
portanto, escolhendo 0 < \u3b4 \u2264 \u3b5
7
a condic¸a\u2dco \u3b5, \u3b4 e´ satisfeita.
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Unicidade do Limite
O seguinte resultado e´ fundamental para a teoria de limites. Ele estabelece
que uma func¸a\u2dco na\u2dco pode tender a dois limites diferentes ao mesmo tempo.
Teorema
Seja I um intervalo aberto em R, a \u2208 I e f uma func¸a\u2dco real definida em
I ou em I \ {a}. Se
lim
x\u2192a f (x) = L1 e limx\u2192a f (x) = L2
enta\u2dco L1 = L2.
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Operac¸o\u2dces com Limites
Aplicar diretamente a definic¸a\u2dco de limite para obter informac¸o\u2dces sobre o
comportamento de uma func¸a\u2dco na vizinhanc¸a de algum ponto a pode ser
uma tarefa a´rdua e ate´ impratica´vel. Vejamos mais um exemplo.
Exemplo
Use a difinic¸a\u2dco de limite para mostrar que
lim
x\u21922
f (x) = 4
onde f (x) = x2. Precisamos novamente mostrar que para qualquer
dista\u2c6ncia \u3b5 dada, existe uma dista\u2c6ncia \u3b4 satisfazendo a condic¸a\u2dco \u3b5, \u3b4 para
a func¸a\u2dco acima em relac¸a\u2dco ao ponto a = 2. Note que
|x2 \u2212 4| = |x \u2212 2||x + 2|
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Assim,
0 < |x \u2212 2| < \u3b4 \u21d2 |x2 \u2212 4| < \u3b5
m
0 < |x \u2212 2| < \u3b4 \u21d2 |x \u2212 2||x + 2| < \u3b5
Note que ale´m do fator |x \u2212 2|, devemos tambe´m controlar o fator |x + 2|.
Neste caso podemos fazer isto impondo alguma restric¸a\u2dco sobre \u3b4. Como o
dom´\u131nio de f e´ todo o conjunto R, qualquer intervalo contendo o nu´mero
2 pode ser usado no ca´lculo do limite. Vamos impor que \u3b4 \u2264 1. Enta\u2dco
temos
0 < |x \u2212 2| < \u3b4 e \u3b4 \u2264 1
Da´\u131
|x \u2212 2| < 1\u21d2 \u22121 < x \u2212 2 < 1\u21d2 3 < x + 2 < 5\u21d2 |x + 2| < 5
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Agora,
0 < |x \u2212 2| < \u3b4 e |x + 2| < 5
\u21d3
|x \u2212 2||x + 2| < 5\u3b4
Por outro lado,
0 < |x \u2212 2| < \u3b4
\u21d3
|x \u2212 2||x + 2| < \u3b4|x + 2|
\u21d3
|x2 \u2212 4| < \u3b4|x + 2| \u21d2 |x2 \u2212 4| < 5\u3b4
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Escolhendo 0 < \u3b4 \u2264 \u3b5
5
obtemos
|x2 \u2212 4| < \u3b5
e provamos que
lim
x\u21922
f (x) = 4
Observe que, pelas restric¸o\u2dces feitas, \u3b4 foi escolhido como sendo o m´\u131nimo
entre 1 e
\u3b5
5
.
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Como visto no exemplo acima, calcular o limite de uma func¸a\u2dco diretamente
poder ser muito dificil. Vamos ver agora alguns resultados operacionais que
facilitara\u2dco muito o ca´lculo de limites.
Teorema (1)
Se c \u2208 R for uma constante, enta\u2dco para qualquer nu´mero real a tem-se
lim
x\u2192a c = c
Prova: Colocando f (x) = c para todo x \u2208 dominio(f ) = R, temos
|f (x)\u2212 c | = |c \u2212 c | = 0
Assim, dado qualquer \u3b5 > 0, seja qual for \u3b4 escolhido, temos
0 < |x \u2212 c | < \u3b4 \u21d2 |f (x)\u2212 c | = 0 < \u3b5
\ufffd
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Teorema (2)
lim
x\u2192a x = a
Prova: Colocando f (x) = x para todo x \u2208 dominio(f ) = R, temos
|f (x)\u2212 a| = |x \u2212 a|
Assim, dado qualquer \u3b5 > 0, escolhemos \u3b4 = \u3b5. Temos que
0 < |x \u2212 a| < \u3b4 \u21d2 |x \u2212 a| < \u3b4 \u21d2 |x \u2212 a| < \u3b5\u21d2 |f (x)\u2212 a| < \u3b5
\ufffd
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Corola´rio (Teorema 2)
Seja k uma constante na\u2dco nula, enta\u2dco
lim
x\u2192a kx = ka
Prova: Note que
|kx \u2212 ka| = |k ||x \u2212 a| < \u3b5\u21d4 |x \u2212 a| < \u3b5
k
Escolhendo \u3b4 \u2264 \u3b5
k
, obtemos o resultado desejado.
\ufffd
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Teorema (3)
Se
lim
x\u2192a f (x) = L e limx\u2192a g(x) = M
enta\u2dco
lim
x\u2192a[f (x)± g(x)] = L±M
Prova: Faremos a prova para a soma, a prova para a diferenc¸a e´ totalmente
ana´loga. Ja´ que existem os limites limx\u2192a f (x) = L e limx\u2192a g(x) = M,
dado \u3b5 > 0 existem \u3b41 e \u3b42 tais que
se 0 < |x \u2212 a| < \u3b41 \u21d2 |f (x)\u2212 L| < \u3b5
2
se 0 < |x \u2212 a| < \u3b42 \u21d2 |g(x)\u2212M| < \u3b5
2
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Escolhendo \u3b4 = min{\u3b41, \u3b42} e usando a desigualdade triangular obemos
|f (x)\u2212 g(x) + (L\u2212M)| = |(f (x)\u2212 L) + (g(x)\u2212M)|
|(f (x)\u2212 L) + (g(x)\u2212M)| \u2264 |f (x)\u2212 L|+ |g(x)\u2212m|
<
\u3b5
2
+
\u3b5
2
= \u3b5
ou seja,
se 0 < |x \u2212 a| < \u3b4 \u21d2 |(f (x)\u2212 g(x))\u2212 (L\u2212M)| < \u3b5
2
\ufffd
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Exemplo
Seja f (x) = 2x + 3 e a = 5. Pelos teorema (1), e corola´rio do teorema
(2), temos que
lim
x\u21925
f (x) = lim
x\u21925
(2x + 3) = lim
x\u21925
2x + lim
x\u21925
5 = 2.5 + 5 = 15
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Teorema (4)
Suponha que lim
x\u2192a f (x) = L e que limx\u2192a g(x) = M. Enta\u2dco
1. lim
x\u2192a[f (x).g(x)] = L.M
2. lim
x\u2192a[f (x)]
n = Ln, onde n e´ um nu´mero inteiro positivo.
3. lim
x\u2192a
f (x)
g(x)
=
L
M
, se M 6= 0.
4. lim
x\u2192a
n
\u221a
f (x) =
n
\u221a
L, onde n e´ um nu´mero inteiro positivo.
Prova: Exerc´\u131cio
\ufffd
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Exemplo
Calcule oseguinte limite limite
lim
x\u2192\u22122
(5x + 17)3
Soluc¸a\u2dco: Pelo Teorema (4),
lim
x\u2192\u22122
(5x + 17)3 = [ lim
x\u2192\u22122
(5x + 17)]3 = [5(\u22122) + 17]3 = 73 = 343
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Exemplo
Considere
f (x) =
{ x
x \u2212 1 , se x 6= 1
1, se x = 1
Encontre o lim
x\u21921
f (x).
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Soluc¸a\u2dco: Note que f (1) = 1. Quando calculamos lim
x\u21921
f (x) estamos
considerando valores de x pro´ximos de 1, mas na\u2dco iguais a 1. Observe que
quando nos aproximamos de 1 por valores de x maiores que 1 a imagem de
x por f cresce muito. O mesmo ocorre quando nos aproximamos de 1 por
valores de x menores que 1, mas neste caso f decresce muito. Veremos
adiante que tal limite na\u2dco existe. Veja o gra´fico de f abaixo.
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Limites Laterias
Quando calculamos o limite de uma func¸a\u2dco em um ponto a, estamos
avaliando os valores que esta func¸a\u2dco assume quando a vaia´vel se aproxima
de a. Como estamos trabalhando com func¸o\u2dces definidas em subconjuntos
de R, a varia´vel pode se aproximar do ponto a somente pela direita, ou
apenas pela esquerda ou ambos os lados.
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Figura:
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Definic¸a\u2dco de Limite Lateral
Seja f uma func¸a\u2dco real cujo dom´\u131nio conte´m o intervalo (a, c). O limite
de f (x) quando x tende a a pela direita e´ L se,
para todo \u3b5 > 0, existir um \u3b4 > 0 tal que se 0 < x \u2212 a < \u3b4 enta\u2dco
|f (x)\u2212 L| < \u3b5
Escrevemos neste caso
lim
x\u2192a+
f (x) = L
Analogamente, se o dom´\u131nio de f conte´m o intervalo (b, a), definimos o
limite lateral a` esquerda de f (x) quando x tende a a pela esquerda como
sendo o nu´mero L se,
para todo \u3b5 > 0,