Buscar

AULA 01 MATRIZES

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 13 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 13 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 13 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

AULA 01 – MATRIZES
Introdução – História e Aplicações
É comum nos depararmos com conjuntos de números que são operados essencialmente da mesma maneira. Isto sugere tratá-los em bloco, de forma única. Esta forma de tratamento é possível através do uso de matrizes.
Foi apenas em meados do século XIX que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, por volta de 1826. Ele as chamou de tableau (= tabela).
O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e mostrou sua utilidade. O significado coloquial da palavra matriz, é: local onde algo se gera ou cria. Sylvester as via como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolher à vontade p linhas e p colunas...". Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância. A referência mais antiga a matrizes, entretanto, data de aproximadamente do ano 2500 a.C., no livro chinês Chui-Chang Suan-Shu (Nove capítulos sobre a arte matemática). Este livro apresenta problemas sobre a mensuração de terras, agricultura, impostos, equações, etc. Um destes problemas é resolvido com cálculos efetuados sobre uma tabela, tais como efetuamos hoje com as matrizes. Atualmente, as matrizes são muito utilizadas em várias áreas de conhecimento. Suas aplicações se dão na Matemática, Física, Engenharia, Estatística e Computação, por exemplo:
Definição de matriz
Uma matriz real (ou complexa) m x n / m e n ≥ 1 é uma tabela formada por m linhas e n colunas. Representação: A = (aij) 
O elemento genérico da matriz A, é representado por 
� indicando a posição desse elemento na matriz A = ().
O índice “i” indica a posição na linha do elemento na matriz A = (
).
O índice “j” indica a posição na coluna do elemento na matriz A = (
).
A =
 A =
 
- Qualquer linha da matriz A pode ser escrita em forma de vetor linha.
 A 1ª linha fica assim representada: (
).
- Qualquer coluna da matriz A pode ser escrita em forma de vetor coluna. 
A 1ª coluna fica assim representada: 
Observe uma aplicação de matrizes em linguagem de programação:
Em programação de computadores utiliza-se o conceito de vetor unidimensional, cuja finalidade é armazenar informações em uma única variável. Por exemplo, vamos considerar a variável nota, que vai armazenar a nota de quatro alunos:
nota = [7,3 5,5 6,1 8,0]
 
 a11 a12 a13 a14 
Usando a sintaxe própria de cada linguagem é possível acessar uma determinada nota da tabela, digamos que se deseja a nota do segundo aluno, ter-se-ia nota[2] = 5,5.
Perceba que esse vetor unidimensional nada mais é do que uma matriz linha, em nosso exemplo uma matriz 1 x 4. 
Cabe ressaltar que é possível realizar operações matemáticas com os elementos do vetor, como, por exemplo, calcular a média dos alunos.
Exemplo: 
	
	Jogos
	Vitórias
	Empates 
	Derrotas
	P.G.
	P.P
	Equipe A
	3
	1
	2
	0
	4
	2
	Equipe B
	5
	3
	1
	1
	7
	3
	Equipe C
	4
	2
	1
	1
	5
	3
Em forma de matriz:
Conceitos básicos e tipos de matrizes
Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.
Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).
Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].
Matriz retangular é a matriz que tem o número de linhas é diferente do número de colunas, i.e., m≠n.
Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n
Diagonal principal: A diagonal principal da matriz quadrada é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.
7. Diagonal secundária de uma matriz quadrada A de ordem ( m x m ) é o conjunto dos elementos que possuem a soma dos índices igual a m + 1, ou seja:
 	A =
Matriz linha é toda matriz do tipo 1 x n.
Matriz coluna é toda matriz do tipo m x 1.
Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.
Matriz diagonal é uma matriz quadrada que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.
Matriz identidade, denotada por In, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.
Matriz triangular superior, os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
Matriz triangular inferior, os elementos acima da diagonal principal são iguais a zero.
Matriz escalar é uma matriz diagonal onde a11 = a22 = a33 = ... = ann
Traço T(A), de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. 
Matriz transposta e suas propriedades
Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz
	At = [a(j,i)]
e se observa aqui, que as linhas de A se transformam nas colunas de At.
Propriedades das matrizes transpostas
T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz.
	(At)t = A
T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz.
	(kA)t = k (At)
T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.
	(A + B)t = At + Bt
T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada.
	(A B)t = Bt At
Matrizes simétricas e anti-simétricas
Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que:
	At = A
 
Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que:
	At = - A
Matrizes iguais
Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é:
	a(i,j) = b(i,j) 
Adição de matrizes e suas propriedades
A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c (i,j)], definida por:
	c(i,j) = a(i,j) + b(i,j) 
Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.
Propriedades da soma de matrizes
A1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:
	(A + B) + C = A + (B + C) 
A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:
	A + B = B + A 
A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:
	0 + A = A 
A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:
	A + (-A) = 0 
Multiplicação de um escalar por matriz e suas propriedades
Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C=k.A, definida por:
	c(i,j) = k. a(i,j) 
Exemplo: A multiplicação do escalar - 2 pela matriz A, definida por:
Propriedades da multiplicação de escalar por matriz
E1: Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é:
	1.A = A 
E2: Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é:
	0.A = 0 
E3: Distributividade das matrizes: Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:
	k (A+B) = k A + k B 
E4: Distributividade dos escalares: Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:(p + q) A = p A + q A 
Multiplicação de matrizes
Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n é a matriz B=[b(k,j)] de ordem nxp. Definimos o produto das matrizes A e B como uma outra matriz de ordem mxp C=A.B, definida por:
Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos:
	c23 = a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 + a24 b43 
Podemos visualizar esta operação através das matrizes seguintes. Basta observar a linha em destaque na primeira matriz, a coluna em destaque na segunda matriz e o elemento em destaque na terceira matriz.
	a11
	a12
	a13
	a14
	a21
	a22
	a23
	a24
	a31
	a32
	a33
	a34
	a41
	a42
	a43
	a44
	
	×
	b11
b12
b13
b14
b21
b22
b23
b24
b31
b32
b33
b34
b41
b42
b43
b44
	=
	c11
c12
c13
c14
c21
c22
c23
c24
c31
c32
c33
c34
c41
c42
c43
c44
Observação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.
Propriedades da multiplicação de matrizes
Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:
Exemplo: Calcule A.B para as matrizes:
M1: Nem sempre vale a comutatividade: Em geral, A×B é diferente de B×A, como é o caso do produto que segue:
 
 
M2: Distributividade da soma à direita
	A (B+C) = A B + A C 
M3: Distributividade da soma à esquerda
	(A + B) C = A C + B C 
M4: Associatividade
	A (B C) = (A B) C 
M5: Nulidade do produto: Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:
M6: Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiro que A=B, pois existem exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que:
entretanto as matrizes A e B são diferentes.
Por que se calcula o produto de matrizes dessa forma?
 
 ( A.X = B
A equação matricial acima pode representar um sistema linear:
 
Exercícios:
1) Dadas as matrizes 
 e 
, calcule se existir:
a) A + B
b) At + B
c) A + Bt
2) Dadas as matrizes 
, 
 e 
, calcule, se existir:
a) A.B
b) A.C
c) B.C
d) C.Bt
e) C2
f) B.Bt
3) Dadas as matrizes 
 , 
 e 
, calcule, se existir:
a) X = 4A - 3B + 5C
b) X = 2B – 3A -6C
c) X = 4C + 2A – 6B
d) At
e) A.Bt
f) B.C
4) Calcular os produtos:
a) 
 
b) 
c) 
5) Sendo 
 calcular A2.
6) Sabendo-se que a matriz 
 é simétrica, calcule os valores de “a” e “m”.
 
LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATRIZES
1) Escrever a matriz A = (aij) tipo 4 x 3 com aij = 0 para i ( j e aij = 2 para i = j.
2) Escrever uma matriz quadrada de 3 a ordem A = (aij) com aij = 2i + 3j – 1.
3) Sejam as matrizes:
 
Qual o valor de a12, a22
Qual o valor de b11, b31
4) Se 
encontre a, b, c e d.
5) Sejam as matrizes:
 
 
 
Calcule se possível:
a) C + E b) E + C c) A + B d) D – F e) -3C f) 2C – 3E g) 2B + F
h) 2(D + F) i) 2D + 3D j) AT k) (AT)T l) (C + E)T 
6) Dada a matriz 
A3x3 = (aij) tal que 
A matriz X, para que a equação matricial X + A = 
 seja verdadeira é :
7) Determine todas as matrizes que multiplicadas com a matriz , comutam.
 
8) Calcule 
 
9) Um fabricante faz dois tipos de produtos, Pe Q, em cada uma de duas fábricas, X e Y. Ao fazer esses produtos, são produzidos dióxido de enxofre, óxido nítrico e partículas de outros poluentes. As quantidades de poluente produzidas são dadas (em kg) pela matriz 
 Dióxido de Óxido Partículas
 Enxofre nítrico
 Produto P
 Produto Q
Leis estaduais e federais exigem a remoção desses poluentes. O custo diário para remover cada quilo de poluente é dado (em dólares) pela matriz
 Fábrica X Fábrica Y
 Dióxido de enxofre
 Óxido nítrico
 
 Partículas 
 
 Qual o significado dos elementos do produto matricial A.B ?
10) Sejam A = (aij) 4x3 e B = (bij)3x4 duas matrizes definidas por aij = i + j e bij = 2i + j,
respectivamente.
Se A.B = C, então o elemento C32 da matriz C, é:
11) Winecius é um vendedor de tabelas de preços para lanchonetes e adora filmes de vampiro. Tem um hábito estranho; leva moças à noite para seu apartamento, despeja vinho numa banheira, coloca a moça e suga (o vinho) , aprisionando a moça até o próximo pôr-do-Sol. 
Numa noite Winecius esteve na Faculdade de Direito de Curitiba para vender tabelas. Enquanto tirava medidas da parede da cantina para colocar uma tabela de preços, conheceu uma estudante, convidou-a para ir até o seu apartamento e ...
Na manhã seguinte, a prisioneira, que planejava informar a alguém seu paradeiro, viu uma tabela com letras e números e, enquanto Winecius escovava os dentes, montou uma mensagem na própria tabela de preços. 
A moça teve sorte, a tabela ia para a Faculdade de Direito de Curitiba. Winecius queria entregar rapidamente a tabela na Faculdade, pois o desaparecimento da estudante tinha causado um grande alvoroço, e ele não queria estar por perto. Entregou a tabela, sem ver o que a moça tinha escrito, e disse ao chefe da cantina que viria instalá-la depois.
TABELA DE PREÇOS – SUNAB – 198
. PÃO DE BATATA ...................... 1,50
. REFRIGERANTE ....................... 1,50
. SALGADO ...................................2,00 
. CHOCOLATE QUENTE ..............3,00
..............................................................
 
- e levou-a imediatamente ao responsável pela investigação, o qual conseguiu encontrar a moça por meio da diagonal principal do produto das matrizes da mensagem. (Este é um texto de ficção científica. Qualquer semelhança com a realidade terá sido mera coincidência.)
Com base no texto, avalie as afirmativas.
A. ( ) A moça estava num lugar próximo ao edifício Scala, no 90 andar do edifício.
B. ( ) O vampiro só atacava de boné e no começo do mês.
C. ( ) A moça estava na praça Osório.
D. ( ) A moça estava no 50 andar de um prédio onde existe uma ótica.
E. ( ) A moça estava no cine Scala, no salão n0 5.
12) Uma companhia manufatura três produtos. Suas despesas de produção são divididas em três categorias. Em cada categoria é feita uma estimativa do custo de produção de um item de cada produto. Essas estimativas do custo de produção de um item de cada produto. Essas estimativas são dadas nas tabelas 1 e 2. Na reunião de acionistas, a companhia gostaria de apresentar uma simples tabela mostrando custo total para cada trimestre em cada uma das três categorias: matérias-primas, mão de obra e outras despesas. 
Tabela 1 – Custo de Produção por item (dólares)
	Despesas
	A
	B
	C
	Matérias-primas
	0,1
	0,3
	0,15
	Mão de obra
	0,3
	0,4
	0,25
	Outras despesas
	0,1
	0,2
	0,15
Tabela 2 – Quantidade produzida por trimestre
	Produto
	Verão
	Outono
	Inverno
	Primavera
	A
	4000
	4500
	4500
	4000
	B
	2000
	2600
	2400
	2200
	C
	5800
	6200
	6000
	6000
RESPOSTAS
1) 
2) 
 
3) a) – 3 ; - 5 b) 4 ; 5
4) a = 0 b = 2 c = 1 d= 2
5) a) 
 b) igual c) ( d) 
 e) 
f) 
 g) ( h) 
 i) 
 j) 
 k) 
l) 
 
6) 
 7) 
 8) (1) 
9) 
 10) c32 = 94 11) A – F ; B – F ; C – V ; D – V ; E – F
12) 
 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
�PAGE �
�PAGE �13�
_1232542133.unknown
_1403026396.unknown
_1420813261.unknown
_1420813267.unknown
_1420813421.unknown
_1452622818.unknown
_1452622929.unknown
_1452621983.unknown
_1420813295.unknown
_1420813264.unknown
_1420813266.unknown
_1420813263.unknown
_1403026657.unknown
_1403026853.unknown
_1420813259.unknown
_1420813260.unknown
_1420813258.unknown
_1403026914.unknown
_1403026738.unknown
_1403026790.unknown
_1403026699.unknown
_1403026572.unknown
_1403026618.unknown
_1403026476.unknown
_1232542789.unknown
_1403025963.unknown
_1403026338.unknown
_1403026076.unknown
_1403025601.unknown
_1403025882.unknown
_1232543694.unknown
_1232542333.unknown
_1232542683.unknown
_1232542292.unknown
_1216281604.unknown
_1216282550.unknown
_1232452816.unknown
_1232452918.unknown
_1232541758.unknown
_1216282838.unknown
_1216282877.unknown
_1216282960.unknown
_1216282769.unknown
_1216282468.unknown
_1216282515.unknown
_1216281633.unknown
_1152457623.unknown
_1216225798.unknown
_1216281506.unknown
_1216281570.unknown
_1216281505.unknown
_1216225623.unknown
_1216225726.unknown
_1216224920.unknown
_1152382724.unknown
_1152383807.unknown
_1152455718.unknown
_1152457513.unknown
_1152455246.unknown
_1152382824.unknown
_1152380992.unknown
_1152382070.unknown
_1152382147.unknown
_1152382203.unknown
_1152381159.unknown
_1152367213.unknown
_1152380402.unknown
_1152380901.unknown
_1152367141.unknown

Outros materiais