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AULA 01 – MATRIZES Introdução – História e Aplicações É comum nos depararmos com conjuntos de números que são operados essencialmente da mesma maneira. Isto sugere tratá-los em bloco, de forma única. Esta forma de tratamento é possível através do uso de matrizes. Foi apenas em meados do século XIX que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, por volta de 1826. Ele as chamou de tableau (= tabela). O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e mostrou sua utilidade. O significado coloquial da palavra matriz, é: local onde algo se gera ou cria. Sylvester as via como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolher à vontade p linhas e p colunas...". Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância. A referência mais antiga a matrizes, entretanto, data de aproximadamente do ano 2500 a.C., no livro chinês Chui-Chang Suan-Shu (Nove capítulos sobre a arte matemática). Este livro apresenta problemas sobre a mensuração de terras, agricultura, impostos, equações, etc. Um destes problemas é resolvido com cálculos efetuados sobre uma tabela, tais como efetuamos hoje com as matrizes. Atualmente, as matrizes são muito utilizadas em várias áreas de conhecimento. Suas aplicações se dão na Matemática, Física, Engenharia, Estatística e Computação, por exemplo: Definição de matriz Uma matriz real (ou complexa) m x n / m e n ≥ 1 é uma tabela formada por m linhas e n colunas. Representação: A = (aij) O elemento genérico da matriz A, é representado por � indicando a posição desse elemento na matriz A = (). O índice “i” indica a posição na linha do elemento na matriz A = ( ). O índice “j” indica a posição na coluna do elemento na matriz A = ( ). A = A = - Qualquer linha da matriz A pode ser escrita em forma de vetor linha. A 1ª linha fica assim representada: ( ). - Qualquer coluna da matriz A pode ser escrita em forma de vetor coluna. A 1ª coluna fica assim representada: Observe uma aplicação de matrizes em linguagem de programação: Em programação de computadores utiliza-se o conceito de vetor unidimensional, cuja finalidade é armazenar informações em uma única variável. Por exemplo, vamos considerar a variável nota, que vai armazenar a nota de quatro alunos: nota = [7,3 5,5 6,1 8,0] a11 a12 a13 a14 Usando a sintaxe própria de cada linguagem é possível acessar uma determinada nota da tabela, digamos que se deseja a nota do segundo aluno, ter-se-ia nota[2] = 5,5. Perceba que esse vetor unidimensional nada mais é do que uma matriz linha, em nosso exemplo uma matriz 1 x 4. Cabe ressaltar que é possível realizar operações matemáticas com os elementos do vetor, como, por exemplo, calcular a média dos alunos. Exemplo: Jogos Vitórias Empates Derrotas P.G. P.P Equipe A 3 1 2 0 4 2 Equipe B 5 3 1 1 7 3 Equipe C 4 2 1 1 5 3 Em forma de matriz: Conceitos básicos e tipos de matrizes Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n. Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j). Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)]. Matriz retangular é a matriz que tem o número de linhas é diferente do número de colunas, i.e., m≠n. Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n Diagonal principal: A diagonal principal da matriz quadrada é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j. 7. Diagonal secundária de uma matriz quadrada A de ordem ( m x m ) é o conjunto dos elementos que possuem a soma dos índices igual a m + 1, ou seja: A = Matriz linha é toda matriz do tipo 1 x n. Matriz coluna é toda matriz do tipo m x 1. Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero. Matriz diagonal é uma matriz quadrada que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos. Matriz identidade, denotada por In, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal. Matriz triangular superior, os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Matriz triangular inferior, os elementos acima da diagonal principal são iguais a zero. Matriz escalar é uma matriz diagonal onde a11 = a22 = a33 = ... = ann Traço T(A), de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. Matriz transposta e suas propriedades Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz At = [a(j,i)] e se observa aqui, que as linhas de A se transformam nas colunas de At. Propriedades das matrizes transpostas T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz. (At)t = A T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz. (kA)t = k (At) T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes. (A + B)t = At + Bt T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada. (A B)t = Bt At Matrizes simétricas e anti-simétricas Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que: At = A Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que: At = - A Matrizes iguais Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é: a(i,j) = b(i,j) Adição de matrizes e suas propriedades A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c (i,j)], definida por: c(i,j) = a(i,j) + b(i,j) Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo. Propriedades da soma de matrizes A1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade: (A + B) + C = A + (B + C) A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade: A + B = B + A A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é: 0 + A = A A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é: A + (-A) = 0 Multiplicação de um escalar por matriz e suas propriedades Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C=k.A, definida por: c(i,j) = k. a(i,j) Exemplo: A multiplicação do escalar - 2 pela matriz A, definida por: Propriedades da multiplicação de escalar por matriz E1: Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é: 1.A = A E2: Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é: 0.A = 0 E3: Distributividade das matrizes: Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se: k (A+B) = k A + k B E4: Distributividade dos escalares: Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:(p + q) A = p A + q A Multiplicação de matrizes Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n é a matriz B=[b(k,j)] de ordem nxp. Definimos o produto das matrizes A e B como uma outra matriz de ordem mxp C=A.B, definida por: Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos: c23 = a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 + a24 b43 Podemos visualizar esta operação através das matrizes seguintes. Basta observar a linha em destaque na primeira matriz, a coluna em destaque na segunda matriz e o elemento em destaque na terceira matriz. a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 × b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 b41 b42 b43 b44 = c11 c12 c13 c14 c21 c22 c23 c24 c31 c32 c33 c34 c41 c42 c43 c44 Observação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. Propriedades da multiplicação de matrizes Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades: Exemplo: Calcule A.B para as matrizes: M1: Nem sempre vale a comutatividade: Em geral, A×B é diferente de B×A, como é o caso do produto que segue: M2: Distributividade da soma à direita A (B+C) = A B + A C M3: Distributividade da soma à esquerda (A + B) C = A C + B C M4: Associatividade A (B C) = (A B) C M5: Nulidade do produto: Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto: M6: Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiro que A=B, pois existem exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que: entretanto as matrizes A e B são diferentes. Por que se calcula o produto de matrizes dessa forma? ( A.X = B A equação matricial acima pode representar um sistema linear: Exercícios: 1) Dadas as matrizes e , calcule se existir: a) A + B b) At + B c) A + Bt 2) Dadas as matrizes , e , calcule, se existir: a) A.B b) A.C c) B.C d) C.Bt e) C2 f) B.Bt 3) Dadas as matrizes , e , calcule, se existir: a) X = 4A - 3B + 5C b) X = 2B – 3A -6C c) X = 4C + 2A – 6B d) At e) A.Bt f) B.C 4) Calcular os produtos: a) b) c) 5) Sendo calcular A2. 6) Sabendo-se que a matriz é simétrica, calcule os valores de “a” e “m”. LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATRIZES 1) Escrever a matriz A = (aij) tipo 4 x 3 com aij = 0 para i ( j e aij = 2 para i = j. 2) Escrever uma matriz quadrada de 3 a ordem A = (aij) com aij = 2i + 3j – 1. 3) Sejam as matrizes: Qual o valor de a12, a22 Qual o valor de b11, b31 4) Se encontre a, b, c e d. 5) Sejam as matrizes: Calcule se possível: a) C + E b) E + C c) A + B d) D – F e) -3C f) 2C – 3E g) 2B + F h) 2(D + F) i) 2D + 3D j) AT k) (AT)T l) (C + E)T 6) Dada a matriz A3x3 = (aij) tal que A matriz X, para que a equação matricial X + A = seja verdadeira é : 7) Determine todas as matrizes que multiplicadas com a matriz , comutam. 8) Calcule 9) Um fabricante faz dois tipos de produtos, Pe Q, em cada uma de duas fábricas, X e Y. Ao fazer esses produtos, são produzidos dióxido de enxofre, óxido nítrico e partículas de outros poluentes. As quantidades de poluente produzidas são dadas (em kg) pela matriz Dióxido de Óxido Partículas Enxofre nítrico Produto P Produto Q Leis estaduais e federais exigem a remoção desses poluentes. O custo diário para remover cada quilo de poluente é dado (em dólares) pela matriz Fábrica X Fábrica Y Dióxido de enxofre Óxido nítrico Partículas Qual o significado dos elementos do produto matricial A.B ? 10) Sejam A = (aij) 4x3 e B = (bij)3x4 duas matrizes definidas por aij = i + j e bij = 2i + j, respectivamente. Se A.B = C, então o elemento C32 da matriz C, é: 11) Winecius é um vendedor de tabelas de preços para lanchonetes e adora filmes de vampiro. Tem um hábito estranho; leva moças à noite para seu apartamento, despeja vinho numa banheira, coloca a moça e suga (o vinho) , aprisionando a moça até o próximo pôr-do-Sol. Numa noite Winecius esteve na Faculdade de Direito de Curitiba para vender tabelas. Enquanto tirava medidas da parede da cantina para colocar uma tabela de preços, conheceu uma estudante, convidou-a para ir até o seu apartamento e ... Na manhã seguinte, a prisioneira, que planejava informar a alguém seu paradeiro, viu uma tabela com letras e números e, enquanto Winecius escovava os dentes, montou uma mensagem na própria tabela de preços. A moça teve sorte, a tabela ia para a Faculdade de Direito de Curitiba. Winecius queria entregar rapidamente a tabela na Faculdade, pois o desaparecimento da estudante tinha causado um grande alvoroço, e ele não queria estar por perto. Entregou a tabela, sem ver o que a moça tinha escrito, e disse ao chefe da cantina que viria instalá-la depois. TABELA DE PREÇOS – SUNAB – 198 . PÃO DE BATATA ...................... 1,50 . REFRIGERANTE ....................... 1,50 . SALGADO ...................................2,00 . CHOCOLATE QUENTE ..............3,00 .............................................................. - e levou-a imediatamente ao responsável pela investigação, o qual conseguiu encontrar a moça por meio da diagonal principal do produto das matrizes da mensagem. (Este é um texto de ficção científica. Qualquer semelhança com a realidade terá sido mera coincidência.) Com base no texto, avalie as afirmativas. A. ( ) A moça estava num lugar próximo ao edifício Scala, no 90 andar do edifício. B. ( ) O vampiro só atacava de boné e no começo do mês. C. ( ) A moça estava na praça Osório. D. ( ) A moça estava no 50 andar de um prédio onde existe uma ótica. E. ( ) A moça estava no cine Scala, no salão n0 5. 12) Uma companhia manufatura três produtos. Suas despesas de produção são divididas em três categorias. Em cada categoria é feita uma estimativa do custo de produção de um item de cada produto. Essas estimativas do custo de produção de um item de cada produto. Essas estimativas são dadas nas tabelas 1 e 2. Na reunião de acionistas, a companhia gostaria de apresentar uma simples tabela mostrando custo total para cada trimestre em cada uma das três categorias: matérias-primas, mão de obra e outras despesas. Tabela 1 – Custo de Produção por item (dólares) Despesas A B C Matérias-primas 0,1 0,3 0,15 Mão de obra 0,3 0,4 0,25 Outras despesas 0,1 0,2 0,15 Tabela 2 – Quantidade produzida por trimestre Produto Verão Outono Inverno Primavera A 4000 4500 4500 4000 B 2000 2600 2400 2200 C 5800 6200 6000 6000 RESPOSTAS 1) 2) 3) a) – 3 ; - 5 b) 4 ; 5 4) a = 0 b = 2 c = 1 d= 2 5) a) b) igual c) ( d) e) f) g) ( h) i) j) k) l) 6) 7) 8) (1) 9) 10) c32 = 94 11) A – F ; B – F ; C – V ; D – V ; E – F 12) � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� �PAGE � �PAGE �13� _1232542133.unknown _1403026396.unknown _1420813261.unknown _1420813267.unknown _1420813421.unknown _1452622818.unknown _1452622929.unknown _1452621983.unknown _1420813295.unknown _1420813264.unknown _1420813266.unknown _1420813263.unknown _1403026657.unknown _1403026853.unknown _1420813259.unknown _1420813260.unknown _1420813258.unknown _1403026914.unknown _1403026738.unknown _1403026790.unknown _1403026699.unknown _1403026572.unknown _1403026618.unknown _1403026476.unknown _1232542789.unknown _1403025963.unknown _1403026338.unknown _1403026076.unknown _1403025601.unknown _1403025882.unknown _1232543694.unknown _1232542333.unknown _1232542683.unknown _1232542292.unknown _1216281604.unknown _1216282550.unknown _1232452816.unknown _1232452918.unknown _1232541758.unknown _1216282838.unknown _1216282877.unknown _1216282960.unknown _1216282769.unknown _1216282468.unknown _1216282515.unknown _1216281633.unknown _1152457623.unknown _1216225798.unknown _1216281506.unknown _1216281570.unknown _1216281505.unknown _1216225623.unknown _1216225726.unknown _1216224920.unknown _1152382724.unknown _1152383807.unknown _1152455718.unknown _1152457513.unknown _1152455246.unknown _1152382824.unknown _1152380992.unknown _1152382070.unknown _1152382147.unknown _1152382203.unknown _1152381159.unknown _1152367213.unknown _1152380402.unknown _1152380901.unknown _1152367141.unknown
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