AULA 01 MATRIZES
13 pág.

AULA 01 MATRIZES


DisciplinaÁlgebra Linear I20.210 materiais293.029 seguidores
Pré-visualização3 páginas
AULA 01 \u2013 MATRIZES
Introdução \u2013 História e Aplicações
É comum nos depararmos com conjuntos de números que são operados essencialmente da mesma maneira. Isto sugere tratá-los em bloco, de forma única. Esta forma de tratamento é possível através do uso de matrizes.
Foi apenas em meados do século XIX que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, por volta de 1826. Ele as chamou de tableau (= tabela).
O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e mostrou sua utilidade. O significado coloquial da palavra matriz, é: local onde algo se gera ou cria. Sylvester as via como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolher à vontade p linhas e p colunas...". Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância. A referência mais antiga a matrizes, entretanto, data de aproximadamente do ano 2500 a.C., no livro chinês Chui-Chang Suan-Shu (Nove capítulos sobre a arte matemática). Este livro apresenta problemas sobre a mensuração de terras, agricultura, impostos, equações, etc. Um destes problemas é resolvido com cálculos efetuados sobre uma tabela, tais como efetuamos hoje com as matrizes. Atualmente, as matrizes são muito utilizadas em várias áreas de conhecimento. Suas aplicações se dão na Matemática, Física, Engenharia, Estatística e Computação, por exemplo:
Definição de matriz
Uma matriz real (ou complexa) m x n / m e n \u2265 1 é uma tabela formada por m linhas e n colunas. Representação: A = (aij) 
O elemento genérico da matriz A, é representado por 
\ufffd indicando a posição desse elemento na matriz A = ().
O índice \u201ci\u201d indica a posição na linha do elemento na matriz A = (
).
O índice \u201cj\u201d indica a posição na coluna do elemento na matriz A = (
).
A =
 A =
 
- Qualquer linha da matriz A pode ser escrita em forma de vetor linha.
 A 1ª linha fica assim representada: (
).
- Qualquer coluna da matriz A pode ser escrita em forma de vetor coluna. 
A 1ª coluna fica assim representada: 
Observe uma aplicação de matrizes em linguagem de programação:
Em programação de computadores utiliza-se o conceito de vetor unidimensional, cuja finalidade é armazenar informações em uma única variável. Por exemplo, vamos considerar a variável nota, que vai armazenar a nota de quatro alunos:
nota = [7,3 5,5 6,1 8,0]
 
 a11 a12 a13 a14 
Usando a sintaxe própria de cada linguagem é possível acessar uma determinada nota da tabela, digamos que se deseja a nota do segundo aluno, ter-se-ia nota[2] = 5,5.
Perceba que esse vetor unidimensional nada mais é do que uma matriz linha, em nosso exemplo uma matriz 1 x 4. 
Cabe ressaltar que é possível realizar operações matemáticas com os elementos do vetor, como, por exemplo, calcular a média dos alunos.
Exemplo: 
	
	Jogos
	Vitórias
	Empates 
	Derrotas
	P.G.
	P.P
	Equipe A
	3
	1
	2
	0
	4
	2
	Equipe B
	5
	3
	1
	1
	7
	3
	Equipe C
	4
	2
	1
	1
	5
	3
Em forma de matriz:
Conceitos básicos e tipos de matrizes
Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.
Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).
Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].
Matriz retangular é a matriz que tem o número de linhas é diferente do número de colunas, i.e., m\u2260n.
Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n
Diagonal principal: A diagonal principal da matriz quadrada é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.
7. Diagonal secundária de uma matriz quadrada A de ordem ( m x m ) é o conjunto dos elementos que possuem a soma dos índices igual a m + 1, ou seja:
 	A =
Matriz linha é toda matriz do tipo 1 x n.
Matriz coluna é toda matriz do tipo m x 1.
Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.
Matriz diagonal é uma matriz quadrada que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.
Matriz identidade, denotada por In, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.
Matriz triangular superior, os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
Matriz triangular inferior, os elementos acima da diagonal principal são iguais a zero.
Matriz escalar é uma matriz diagonal onde a11 = a22 = a33 = ... = ann
Traço T(A), de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. 
Matriz transposta e suas propriedades
Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz
	At = [a(j,i)]
e se observa aqui, que as linhas de A se transformam nas colunas de At.
Propriedades das matrizes transpostas
T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz.
	(At)t = A
T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz.
	(kA)t = k (At)
T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.
	(A + B)t = At + Bt
T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada.
	(A B)t = Bt At
Matrizes simétricas e anti-simétricas
Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que:
	At = A
 
Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que:
	At = - A
Matrizes iguais
Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é:
	a(i,j) = b(i,j) 
Adição de matrizes e suas propriedades
A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c (i,j)], definida por:
	c(i,j) = a(i,j) + b(i,j) 
Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.
Propriedades da soma de matrizes
A1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:
	(A + B) + C = A + (B + C) 
A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:
	A + B = B + A 
A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:
	0 + A = A 
A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:
	A + (-A) = 0 
Multiplicação de um escalar por matriz e suas propriedades
Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C=k.A, definida por:
	c(i,j) = k. a(i,j) 
Exemplo: A multiplicação do escalar - 2 pela matriz A, definida por:
Propriedades da multiplicação de escalar por matriz
E1: Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é:
	1.A = A 
E2: Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é:
	0.A = 0 
E3: Distributividade das matrizes: Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:
	k (A+B) = k A + k B 
E4: Distributividade dos escalares: Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se: