AULA 09 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS
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AULA 09 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS


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AULA 09 - ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS
Produto interno
Seja V um espaço vetorial sobre IR. Um produto interno sobre um espaço vetorial V é uma função que associa a cada par de vetores u e v ( a V um escalar simbolizado por u.v que satisfaz as seguintes propriedades:
(u + v).w = (u.w) + (v.w) (( u; v; w ( V;
(\u3b1u.v) = \u3b1(u.v) ( u; v ( V e \u3b1 ( IR;
u.v = v.u ( u; v ( V;
u.u > 0 ( u \u2260 0 u ( V; 
O espaço vetorial V munido de um produto interno é chamado de espaço euclidiano.
Para o IRn o produto interno é dado por: Considere u = (x1, x2, ...,xn) e 
v = (y1, y2, ...,yn) 
u.v = x1.y1 + x2.y2 + \u2026+ xn.yn.
Exemplo: 
u = (2, 1, -3, 0, 4) e v = (5, -3, -1, 2, 7) 
u.v = 2.5 +1.(- 3) + (- 3).(- 1) + 0.2 + 4.7
u.v = 38
Produto interno de funções
Para o espaço de funções contínuas em [a, b], o produto interno entre f(x) e g(x) é definido por:
 
Exemplo:
Sejam os vetores de C[0, 1] f(x) = x + 2 e g(x) = x2 \u2013 2x \u2013 3. Determine f.g e f.f?
 (( 
Produto interno de matrizes
Para o espaço de matrizes de ordem n x n sobre IR, o produto interno é definido por:
tr (traço é a soma dos elementos da diagonal principal). Outro modo de se calcular o produto interno é através do produto interno usual. Considere, por exemplo, as matrizes do M(2x2) 
 e 
 A.B = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2
Exemplos: 
Sejam as matrizes 
 
, calcule A.B.
 ( tr 
 = 1
Ou A.B = 0.2 + 1.1 + 0.0 + 1.(-1) + 2.0 + 0.1 + 1.0 + 0.(-1) + 1.1
A.B = 1 \u2013 1 + 1 = 1 
Espaços com produto interno
Um espaço vetorial real, de dimensão finita, associado a um produto interno, é um espaço vetorial euclidiano, conforme já visto.
Norma de um vetor
 Comprimento ou norma de um vetor u ( a V com produto interno, representado por 
, é o número real não negativo obtido por:
 
 no IRn, onde 
 
Exemplos:
1) Calcular o comprimento do vetor:
u = (2,5)
2) Seja o espaço vetorial IR3 e os vetores v1 = (x1, y1, z1) e v2 = (x2, y2, z2) e com o produto interno v1.v2 = 2x1.x2 + 3y1.y2 + z1.z2, determine a norma do vetor v = (-2, 2, 1) e obtenha o versor de v.
 ( 
( 
 Ao se determinar o versor de v, diz-se que o vetor v está normalizado, isto é, v.v = 1.
 
 Calculando a norma de w percebe-se que w é unitário.
	
 ( 
Propriedades da norma de um vetor
Seja V um espaço vetorial euclidiano e \u3b1 ( IR.
 ( \u3b1 ( IR e u ( V.
( u ( V.
 ( u e v ( V. (desigualdade de Cauchy Schawrz)
 ( u e v ( V. (desigualdade triangular)
Ângulo entre dois vetores
Considere dois vetores u e v não nulos de um espaço vetorial euclidiano. A desigualdade de Cauchy Schawrz permite obter a expressão do ângulo de dois vetores:
 ( 
 então pode-se escrever:
, 0 \u2264 ( \u2264 (
Exemplos:
Determine o ângulo entre os vetores u = (1, -1, 2) e 
v = (0, -2, 3) considerando o produto interno usual no IR3.
u.v = (1, -1, 2).(0, -2, 3) = 0 + 2 + 6 = 8
Calcular o ângulo entre as matrizes 
 considerando o produto interno usual no M(2x2).
Vetores ortogonais
Dois vetores u e v de um espaço vetorial euclidiano com produto interno são mutuamente ortogonais se, em relação a este produto interno têm-se:
Exemplos: 
1. Quais dos pares de vetores do IR3, com o produto interno usual são ortogonais.
a) (1, -1, 1) e (2, 1, 5) ( 1.2 + (-1).1 + 1.5 = 2 \u2013 1 + 5 = 6 ( Não são ortogonais.
b) (1, -1, 1) e (2, 3, 1) ( 1.2 + (-1).3 + 1.1 = 0 ( São ortogonais.
2. Seja V = IR2 espaço vetorial euclidiano em relação ao produto interno 
, com u = (-2, 3) e v = (3, 3). Verifique se u e v são ortogonais. 
u.v = 3.(-2).3 + 2.3.3 = - 18 + 18 = 0
Conjunto ortogonal de vetores
Um conjunto de vetores 
 é denominado conjunto ortogonal quando seus elementos são ortogonais dois a dois.
Exemplo: 
Seja o conjunto 
em relação ao produto interno usual.
Note que:
(1, 0, 0).(0, 1, 0) = 0
(1, 0, 0).(0, 0, 1) = 0
(0, 1, 0).(0, 0, 1) = 0
Teorema
Um conjunto ortogonal de vetores não nulos 
 é linearmente independente.
Base ortogonal
Uma base 
de um espaço vetorial V com produto interno é uma base ortogonal se os vetores da base formam um conjunto ortogonal de vetores.
Exemplo:
Considere a base canônica do IR3 
, é uma base ortogonal, pois é um conjunto ortogonal como visto anteriormente.
Base ortonormal
Uma base 
de um espaço vetorial V com produto interno é uma base ortonormal se S é ortogonal e todos os seus vetores são unitários.
1. Seja a base 
, onde 
, 
 e 
. Verifique se essa base é uma base ortonormal.
 
 
Logo a base B é ortonormal.
Processo de ortogonalização de Gram Schmidt 
Seja V um espaço vetorial euclidiano e 
 vetores linearmente independentes de V. Para se determinar um conjunto ortogonal de vetores 
 que formam base ortogonal para o subespaço gerado por 
, fazemos u1 = v1 e 
.
Exemplos:
1) Ortogonalize a seguinte base: {(0,1); (1,1)}
u1 = v1 = (0,1) e m = 1 
 ( 
A nova base será: {(0,1); (1,0)}
2) Ortogonalize a seguinte base: {(1, 2, 2); (1, 1, 3) (3, 2, 1)
 u1 = v1 = (1, 2, 2) e m varia de 1 a 2.
 
 ( 
 
 
( 
 
Logo a base ortogonal é 
Vamos agora obter uma base ortonormal da base B. Para transformar um conjunto ortogonal basta substituir cada vetor da base pelo respectivo versor.
w1 ( versor de u1 
w2 ( versor de u2
w3 ( versor de u3
Logo a base ortonormal é 
EXERCÍCIOS
1) Considere o conjunto {v1 = (1,3); v2 = (2,1)}, utilize o processo de Gram Schmidt para construir uma base ortonormal para o IR2 com o produto interno usual. 
Resposta: 
 e 
2) Seja {(1,1,0); (1,0,1); (0,2,0)}, determine uma base ortonormal para o IR3 em relação ao produto interno usual.
Resposta: 
, 
 e 
3) Uma fábrica produz um determinado componente eletrônico. Devido a variações na linha de produção, qualidade de material etc., verifica-se que os componentes não tem todos a mesma durabilidade. Fazendo-se experiências com relação ao número de horas de uso efetivo, obtém-se a seguinte tabela que relaciona durabilidade com a respectiva probabilidade.
	Durabilidade/horas
	2000
	2500
	2700
	3000
	Probabilidade
	
	
	
	
Determine a durabilidade média dos componentes.
Dica: Visualize a durabilidade e a probabilidade como vetores do IR4.
Resposta: 2520 horas.
4) Seja ( = {(1,1,1), (0,2,1), (0,0,1)} uma base do IR3. Determine a partir de ( uma base ortonormal em relação ao produto usual.
Resposta: 
, 
 e 
\ufffd EMBED Equation.3 \ufffd\ufffd\ufffd
\ufffd EMBED Equation.3 \ufffd\ufffd\ufffd
\ufffd EMBED Equation.3 \ufffd\ufffd\ufffd
\ufffd EMBED Equation.3 \ufffd\ufffd\ufffd
\ufffd EMBED Equation.3 \ufffd\ufffd\ufffd
\ufffd EMBED Equation.3 \ufffd\ufffd\ufffd
\ufffd EMBED Equation.3 \ufffd\ufffd\ufffd
\ufffdPAGE \* MERGEFORMAT\ufffd1\ufffd
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