AULA 13 TRANSFORMAÇÕES INVERS-VEIS
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AULA 13 TRANSFORMAÇÕES INVERS-VEIS


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AULA 13 - TRANSFORMAÇÕES INVERSÍVEIS
Considere o operador linear definido de V em V, tal que T: V
 V .
O operador invertível de T, quando existe, é o operador linear representado por T-1, que associa a cada vetor v pertencente ao espaço vetorial V, um vetor T (v) também pertencente a V e que associe o vetor transformado T(v), no vetor inicial v.
Observe a figura a seguir:
Se o operador linear T admite o inverso T-1, então T é dito inversível ou invertível.
Propriedades
Considere o operador linear T: V 
V, então valem as seguintes propriedades:
Se o operador T é invertível e sendo T \u20131 o inverso de T, então a composição determinada por T (T \u20131) = T \u20131( T ) = I , chamada de transformação identidade.
O operador T: V 
V é invertível se, e somente se o núcleo de T, 
N(T) = {0}, ou seja, existe o operador inverso quando o núcleo de T é formado apenas pelo vetor nulo.
Se T é inversível o det [T] ( 0
Seja {(1, (2, (3,..., (n} uma base de V. T é inversível se, e só se: 
{T((1), T((2), ..., T((n)} for uma base de V.
Se T é inversível ela é bijetora.
Exemplo:
1) Seja T o operador linear sobre IR3 definido por: T(x,y,z) = (x + y, 2x \u2013 y + z, y + z), mostre que T é inversível e determine sua inversa.
2) Resolva o exercício anterior determinando a matriz inversa da matriz canônica da T.L.
3) Para que valor de m o operador linear T(x,y,z) = (- x + y, x \u2013 2y - z, x + y + mz) é inversível ?
4) Verificar se o operador linear T:IR3(IR3 definido por T(1,1,1) = (1,0,0), T(- 2, 1, 0) = (0, - 1, 0) e 
T(- 1, - 3, - 2) = (0,1,- 1) é inversível e, em caso afirmativo, determinar T-1(x,y,z).
5) Verificar se a transformação linear T(x,y,z) = (x \u2013 y, 2x + z, 3x \u2013 y + z) é ou não inversível.
Resposta: Não é inversível
6) Dado o operador linear T(x,y,z) = (x \u2013 y + z, x - y, x + y - 2z), encontre o seu operador inverso.
Resposta: 
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