INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERECIAIS ORDINARIAS
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INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERECIAIS ORDINARIAS


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2x\u2212 y N = 2y\u2212 x.
\u2202M
\u2202y
= \u22121 \u2202N
\u2202x
= \u22121
\u2202M
\u2202y
=
\u2202N
\u2202x
, \u2200(x, y) \u2208 R2 \u21d2 A equação é exata!
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174 Equações Diferenciais de 1a. Ordem
Vamos encontrar uma função \u3c8(x, y) tal que
\u2202\u3c8
\u2202x
= M(x, y) = 2x\u2212 y e \u2202\u3c8
\u2202y
= N(x, y) = 2y\u2212 x
Integrando-se a 1a. equação em relação a x obtemos
\u3c8(x, y) =
\u222b
Mdx = x2 \u2212 yx+ h(y)
Substituindo-se a função \u3c8(x, y) encontrada na equação de
\u2202\u3c8
\u2202y
= N = 2y\u2212 x obtemos
N = 2y\u2212 x = \u2212x+ h\u2032(y)
h\u2032(y) = 2y
O que implica que
h(y) = y2 + C1
E a solução geral da equação é dada implicitamente por
\u3c8(x, y) = x2 \u2212 xy+ y2 = C
Para encontrar a solução que satisfaz a condição inicial y(1) = 3 substituímos x = 1 e y = 3 na
solução geral obtendo C = 1\u2212 3 + 9 = 7. Assim, a solução do problema de valor inicial é dada
implicitamente por
x2 \u2212 xy+ y2 = 7
(b) Para determinar o intervalo de validade da solução vamos determinar os pontos onde a derivada
não está definida, pela equação diferencial, dydx =
2x\u2212y
x\u22122y , não está definida se, e somente se, x\u2212 2y = 0,
ou seja, y = x/2. Substituindo-se y = x/2 na equação que define a solução obtemos a equação
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1.9 Respostas dos Exercícios 175
x2 \u2212 x22 + x
2
4 = 7, que tem solução x = ±
\u221a
28/3. Como o ponto inicial tem x = 1 que está entre os
valores x = \u2212\u221a28/3 e x = \u221a28/3 concluímos que o intervalo de validade da solução é o intervalo
(\u2212\u221a28/3,\u221a28/3), que é o maior intervalo em que a solução y(x) e a sua derivada estão definidas.
A reta tangente à curva integral x2\u2212 xy+ y2 = 7 é vertical ( dxdy = 0) para x = \u2212
\u221a
28/3 e x =
\u221a
28/3,
pois
dx
dy
=
1
dy
dx
=
x\u2212 2y
2x\u2212 y , para x 6= y/2.
(c) Nos pontos onde a solução tem máximo local a reta tangente à curva é horizontal, ou seja, pontos
onde dydx = 0. Como a derivada já está dada pela equação diferencial, ou seja,
dy
dx
=
2x\u2212 y
x\u2212 2y
Assim, a reta tangente é horizontal para x tal que 2x \u2212 y = 0, ou seja, somente para y = 2x.
Substituindo-se y = 2x na equação x2 \u2212 xy+ y2 = 7 obtemos a equação x2 \u2212 2x2 + 4x2 = 7, que
tem solução x = ±\u221a7/3.
Pela equação diferencial obtemos que a solução passa pelo pelo ponto inicial (1, 3), onde a incli-
nação da tangente é 1/5, que é crescente na região acima das retas y = 2x e y = x/2 e de-
crescente na região abaixo da reta y = 2x e acima da reta y = x/2. Logo, o ponto de máximo
ocorre em x = +
\u221a
7/3. Podemos chegar a essa conclusão também usando a derivada segunda:
d2y
dx2 =
d
dx
(
2x\u2212y
x\u22122y
)
= (2\u2212y
\u2032)(x\u22122y)\u2212(2x\u2212y)(1\u22122y\u2032)
(x\u22122y)2
d2y
dx2
\u2223\u2223\u2223
y=2x
= \u221223x .
(d) Já sabemos que a solução está contida em uma curva que passa pelos pontos (\u2212\u221a28/3,\u2212\u221a28/3/2)
e
(
\u221a
28/3,
\u221a
28/3/2) onde a tangente é vertical, pelo ponto inicial (1, 3). Neste ponto a inclinação da
tangente é 1/5, pois substituindo-se x = 1 e y = 3 na equação diferencial obtemos dydx = 1/5. Pela
equação diferencial obtemos que a solução é crescente na região acima das retas y = 2x e y = x/2 e
decrescente abaixo da reta y = 2x e acima da reta y = x/2.
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176 Equações Diferenciais de 1a. Ordem
-2
-1
 1
 2
 3
 4
-3 -2 -1 1 2 3
x
y
4.3. (a) Vamos supor que exista uma função µ(y) tal que ao multiplicarmos a equação por µ(y) a nova
equação seja exata. Então,
\u2202
\u2202y
(µM) =
\u2202
\u2202x
(µN)
ou seja,
dµ
dy
M+ µ
\u2202M
\u2202y
= µ
\u2202N
\u2202x
Assim, µ(y) deve satisfazer a equação diferencial
dµ
dy
=
\u2202N
\u2202x \u2212 \u2202M\u2202y
M
µ
Como
\u2202N
\u2202x \u2212 \u2202M\u2202y
M
=
4x\u2212 x
xy
= 3/y,
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1.9 Respostas dos Exercícios 177
então µ(y) deve satisfazer a equação diferencial
dµ
dy
=
3
y
µ
1
µ
dµ
dy
=
3
y
ln |µ| \u2212 3 ln y = C
Assim,
µ(y) = y3
é um fator integrante para a equação diferencial.
(b)
M\u2dc = y3(xy) e N\u2dc = y3
(
2x2 + 3y2 \u2212 20
)
\u2202M\u2dc
\u2202y
= 4xy3
\u2202N\u2dc
\u2202x
= 4xy3
\u2202M\u2dc
\u2202y
=
\u2202N\u2dc
\u2202x
, \u2200(x, y) \u2208 R2 \u21d2 A nova equação é exata!
4.4. (a) Vamos supor que exista uma função µ(y) tal que ao multiplicarmos a equação por µ(y) a nova
equação seja exata. Então,
\u2202
\u2202y
(µM) =
\u2202
\u2202x
(µN)
ou seja,
dµ
dy
M+ µ
\u2202M
\u2202y
= µ
\u2202N
\u2202x
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178 Equações Diferenciais de 1a. Ordem
Assim, µ(y) deve satisfazer a equação diferencial
dµ
dy
=
\u2202N
\u2202x \u2212 \u2202M\u2202y
M
µ
Como
\u2202N
\u2202x \u2212 \u2202M\u2202y
M
=
2xy
x
= 2y,
então µ(y) deve satisfazer a equação diferencial
dµ
dy
= 2yµ
1
µ
dµ
dy
= 2y
ln |µ| \u2212 y2 = C
Assim,
µ(y) = ey
2
é um fator integrante para a equação diferencial.
4.5. (a)
M = 2y2 +
2y
x
, N = 2xy+ 2+
y
x
\u2202M
\u2202y
= 4y+
2
x
,
\u2202N
\u2202x
= 2y\u2212 y
x2
\u2202M
\u2202y
6= \u2202N
\u2202x
\u21d2 A equação não é exata!
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1.9 Respostas dos Exercícios 179
Multiplicando a equação por µ(x) = x obtemos
2xy2 + 2y+
(
2x2y+ 2x+ y
)
y\u2032 = 0.
M\u2dc = xM = 2xy2 + 2y, N\u2dc = xN = 2x2y+ 2x+ y
\u2202M\u2dc
\u2202y
= 4xy+ 2,
\u2202N\u2dc
\u2202x
= 4xy+ 2
\u2202M\u2dc
\u2202y
=
\u2202N\u2dc
\u2202x
\u21d2 A nova equação é exata!
(b)
\u3c8(x, y) =
\u222b
M\u2dcdx = x2y2 + 2xy+ h(y)
N\u2dc = 2x2y+ 2x+ y =
\u2202\u3c8
\u2202y
= 2x2y+ 2x+ h\u2032(y)
h\u2032(y) = y \u21d2 h(y) = y2/2+ C1
A solução geral da equação é dada implicitamente por
x2y2 + 2xy+ y2/2 = C
(c) Substituindo-se x = 1 e y = 1 na solução acima
1+ 2+ 1/2 = C
Logo, a solução do problema de valor inicial é dada implicitamente por
x2y2 + 2xy+ y2/2 = 7/2
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180 Equações Diferenciais de 1a. Ordem
4.6. (a)
M =
1
x3
+
ey
x
, N = ey +
1
xy
\u2202M
\u2202y
=
ey
x
,
\u2202N
\u2202x
= \u2212 1
x2y
\u2202M
\u2202y
6= \u2202N
\u2202x
\u21d2 A equação não é exata!
Multiplicando a equação por µ(x) = x obtemos
1
x2
+ ey +
(
xey +
1
y
)
y\u2032 = 0.
M\u2dc = xM = x\u22122 + ey, N\u2dc = xN = xey + y\u22121
\u2202M\u2dc
\u2202y
= ey,
\u2202N\u2dc
\u2202x
= ey
\u2202M\u2dc
\u2202y
=
\u2202N\u2dc
\u2202x
, \u2200(x, y) \u2208 R2 \u21d2 A nova equação é exata!
(b)
\u3c8(x, y) =
\u222b
M\u2dcdx = \u2212x\u22121 + xey + h(y)
N\u2dc = xey + y\u22121 = xey + h\u2032(y)
h\u2032(y) = 1
y
\u21d2 h(y) = ln y+ C1
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1.9 Respostas dos Exercícios 181
A solução geral da equação é dada implicitamente por
\u2212x\u22121 + xey + ln |y| = C
(c) Substituindo-se x = 1 e y = 1 na solução acima
\u22121+ e = C
Logo, a solução do problema de valor inicial é dada implicitamente por
\u2212x\u22121 + xey + ln |y| = e\u2212 1
4.7. (a)
M = \u22122y, N = x+ y
3
x
\u2202M
\u2202y
= \u22122, \u2202N
\u2202x
= 1\u2212 y
3
x2
\u2202M
\u2202y
6= \u2202N
\u2202x
\u21d2 A equação não é exata!
Multiplicando a equação por µ(x, y) =
x
y2
obtemos
\u22122x
y
+
(
x2
y2
+ y
)
y\u2032 = 0.
M\u2dc =
x
y2
M = \u22122x
y
, N\u2dc =
x
y2
N =
x2
y2
+ y
\u2202M\u2dc
\u2202y
=
2x
y2
,
\u2202N\u2dc
\u2202x
=
2x
y2
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182 Equações Diferenciais de 1a. Ordem
\u2202M\u2dc
\u2202y
=
\u2202N\u2dc
\u2202x
, \u2200(x, y) \u2208 R2, y 6= 0 \u21d2 A nova equação é exata!
(b)
\u3c8(x, y) =
\u222b
M\u2dcdx = \u2212 x
2
y
+ h(y)
N\u2dc =
x2
y2
+ y =
\u2202\u3c8
\u2202y
=
x2
y2
+ h\u2032(y)
h\u2032(y) = y \u21d2 h(y) = y
2
2
+ C1
A solução geral da equação é dada implicitamente por
\u2212 x
2
y
+
y2
2
= C
(c) Substituindo-se x = 1 e y = 1 na solução acima
\u22121+ 1
2
= C
Logo, a solução do problema de valor inicial é dada implicitamente por
\u2212 x
2
y
+
y2
2
= \u22121
2
4.8. (a)
M = ex
3
+ sen y, N =
x
3
cos y
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1.9 Respostas dos Exercícios 183
\u2202M
\u2202y
= cos y,
\u2202N
\u2202x
=
1
3
cos y
\u2202M
\u2202y
6= \u2202N
\u2202x
\u21d2 A equação não é exata!
Multiplicando a equação por µ(x) = x2 obtemos