INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERECIAIS ORDINARIAS
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INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERECIAIS ORDINARIAS


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equilíbrio estável pois para valores de y próximos de y3 = yM temos
\u2022 y\u2032 = f (y) > 0, para y < y3 = yM
\u2022 y\u2032 = f (y) < 0, para y > y3 = yM.
O que implica que se y0 = y(0) é próximo de y3 = yM a solução correspondente y(t) está se
aproximando de y3 = yM, quando t cresce.
t
y
-3 -2 -1 1 2 3
yL
yM
8. Existência e Unicidade (página 145)
8.1. (a)
f (t, y) =
\u221a
y2 \u2212 4 \u21d2 \u2202 f
\u2202y
=
y\u221a
y2 \u2212 4 .
Para os pontos (t0, y0) \u2208 R2 tais que y0 < \u22122 ou y0 > 2 o problema de valor inicial tem solução
única.
(b)
f (t, y) =
\u221a
ty \u21d2 \u2202 f
\u2202y
=
t
2
\u221a
ty
.
Para os pontos (t0, y0) \u2208 R2 tais que y0t0 > 0 o problema de valor inicial tem solução única.
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1.9 Respostas dos Exercícios 245
(c)
f (t, y) =
y2
t2 + y2
\u21d2 \u2202 f
\u2202y
=
2t2y
(t2 + y2)2
.
Para os pontos (t0, y0) \u2208 R2 tais que (t0, y0) 6= (0, 0) o problema de valor inicial tem solução única.
(d)
f (t, y) = t
\u221a
1\u2212 y2 \u21d2 \u2202 f
\u2202y
= \u2212 ty\u221a
1\u2212 y2 .
Para os pontos (t0, y0) \u2208 R2 tais que \u22121 < y0 < 1 o problema de valor inicial tem solução única.
(e)
f (t, y) =
2t\u2212 y
t\u2212 2y \u21d2
\u2202 f
\u2202y
=
3t
(t\u2212 2y)2
Para os pontos (t0, y0) \u2208 R2 tais que y0 6= t0/2 o problema de valor inicial tem solução única.
(f)
f (t, y) =
2ty
y\u2212 t2 \u21d2
\u2202 f
\u2202y
=
\u22122t3
(y\u2212 t2)2
Para os pontos (t0, y0) \u2208 R2 tais que y0 6= t20 o problema de valor inicial tem solução única.
8.2. (a)
p(t) =
t\u2212 2
t2 \u2212 1 =
t\u2212 2
(t\u2212 1)(t+ 1)
q(t) =
t
t2 \u2212 1 =
t
(t\u2212 1)(t+ 1) .
Como t0 = 0, então o problema de valor inicial tem solução no intervalo \u22121 < t < 1.
(b)
p(t) =
t
t2 \u2212 1 =
t
(t\u2212 1)(t+ 1)
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246 Equações Diferenciais de 1a. Ordem
q(t) =
t2
t2 \u2212 1 =
t2
(t\u2212 1)(t+ 1) .
Como t0 = 2, então o problema de valor inicial tem solução no intervalo t > 1.
(c)
p(t) =
t+ 1
t2 \u2212 t =
t+ 1
t(t\u2212 1)
q(t) =
et
t2 \u2212 t =
et
t(t\u2212 1) .
Como t0 = \u22121, então o problema de valor inicial tem solução no intervalo t < 0.
(d)
p(t) =
t+ 3
t2 \u2212 t =
t+ 3
t(t\u2212 1)
q(t) =
cos t
t2 \u2212 t =
cos t
t(t\u2212 1) .
Como t0 = 2, então o problema de valor inicial tem solução no intervalo t > 1.
8.3. Seja t fixo, tal que \u3b1 < t < \u3b2. Pelo Teorema do Valor Médio, dados y e z com \u3b4 < y, z < \u3b3 existe \u3be entre y
e z tal que
f (t, y)\u2212 f (t, z) = \u2202 f
\u2202y
(t, \u3be) (y\u2212 z).
Seja a = max
\u3b4<w<\u3b3
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2202 f\u2202y (t,w)
\u2223\u2223\u2223\u2223. Tomando-se o módulo da equação acima obtemos
| f (t, y)\u2212 f (t, z)| =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2202 f\u2202y (t, \u3be)
\u2223\u2223\u2223\u2223 |y\u2212 z| \u2264 a |y\u2212 z|.
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1.9 Respostas dos Exercícios 247
8.4. Seja \u3b1\u2217 o máximo entre \u3b1, o valor de t < t0 tal que ba
(
ea|t\u2212t0| \u2212 1
)
= \u3b3 e o valor de t < t0 tal que
\u2212 ba
(
ea|t\u2212t0| \u2212 1
)
= \u3b4. Seja \u3b2\u2217 o mínimo entre \u3b2, o valor de t > t0 tal que ba
(
ea|t\u2212t0| \u2212 1
)
= \u3b3 e o valor de
t > t0 tal que \u2212 ba
(
ea|t\u2212t0| \u2212 1
)
= \u3b4. Vamos mostrar, por indução, que
|yn(t)\u2212 y0| \u2264 ba
(
ea|t\u2212t0| \u2212 1
)
, para \u3b1\u2217 < t < \u3b2\u2217
e assim que \u3b4 < yn(t) < \u3b3, para \u3b1\u2217 < t < \u3b2\u2217.
|y1(t)\u2212 y0| \u2264 b|t\u2212 t0|
= b
\u221e
\u2211
n=1
an\u22121|t\u2212 t0|n
n!
=
b
a
(
ea|t\u2212t0| \u2212 1
)
Vamos supor, por indução, que
|yn\u22121(t)\u2212 yn\u22122(t)| \u2264 an\u22122b |t\u2212 t0|
n\u22121
(n\u2212 1)!
e
|yk(t)\u2212 y0| \u2264 ba
(
ea|t\u2212t0| \u2212 1
)
,
para k = 1, . . . , n\u2212 1 e \u3b1\u2217 < t < \u3b2\u2217 e assim que \u3b4 < yk(t) < \u3b3, para k = 1, . . . , n\u2212 1 e \u3b1\u2217 < t < \u3b2\u2217. Então,
por (1.65) na página 141,
|yn(t)\u2212 yn\u22121(t)| \u2264 an\u22121b |t\u2212 t0|
n
n!
e assim
|yn(t)\u2212 y0| \u2264
n
\u2211
k=1
|yk(t)\u2212 yk\u22121(t)|
\u2264 b
\u221e
\u2211
n=1
an\u22121|t\u2212 t0|n
n!
=
b
a
(
ea|t\u2212t0| \u2212 1
)
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248 Equações Diferenciais de 1a. Ordem
y
y\u2019=f(y)
yi
Figura 1.38. Gráfico de y\u2032 = f (y) nas proximidades de um ponto de equilíbrio estável
Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias GoBack GoForward Julho 2013
1.9 Respostas dos Exercícios 249
yi
y=y(t)
Figura 1.39. Soluções de
dy
dt
= f (y) nas proximidades de um ponto de equilíbrio estável
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250 Equações Diferenciais de 1a. Ordem
y
y\u2019=f(y)
yi
Figura 1.40. Gráfico de y\u2032 = f (y) nas proximidades de um ponto de equilíbrio instável
Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias GoBack GoForward Julho 2013
1.9 Respostas dos Exercícios 251
yi
y=y(t)
Figura 1.41. Soluções de
dy
dt
= f (y) nas proximidades de um ponto de equilíbrio instável
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252 Equações Diferenciais de 1a. Ordem
y(y\u2212 1)
0
1
+ +0
0
+ + \u2013 \u2013
-
y\u2212 1
0\u2013 \u2013 \u2013 \u2013 + +
-
y
0 + + + +\u2013 \u2013
-
Figura 1.42. Sinais de
dy
dt
= f (y) da equação (1.62)
Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias GoBack GoForward Julho 2013
1.9 Respostas dos Exercícios 253
 0.5
 1
 1.5
 1
y
y\u2019=f(y)
Figura 1.43. Sinais de y\u2032 = f (y) da equação (1.62)
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254 Equações Diferenciais de 1a. Ordem
t
y
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
Figura 1.44. Algumas soluções da equação (1.62)
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1.9 Respostas dos Exercícios 255
-2
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
t
y
Figura 1.45. Campo de Direções da equação do Exemplo 1.32
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256 Equações Diferenciais de 1a. Ordem
Figura 1.46. Duas soluções do problema de valor
inicial do Exemplo 1.33
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
y
Figura 1.47. Retângulo em torno de (t0, y0) onde
o problema de valor inicial tem uma única so-
lução
\u3b4
y0
\u3b3
\u3b1 t0 \u3b2
t
y
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1.9 Respostas dos Exercícios 257
Figura 1.48. Solução do problema de valor inicial
do Exemplo 1.35 para t0 = 0 e y0 = 1.
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
t
y
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2
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2a.
ORDEM
Para as equações diferenciais lineares de 2a. ordem é válido um resultado semelhante
ao que é válido para equações lineares de 1a. ordem (Teorema 1.2 na página 138) com
relação a existência e unicidade de soluções, mas a demonstração, infelizmente, não
é tão simples quanto naquele caso e será apresentada somente ao final do Capítulo 4.
Teorema 2.1 (Existência e Unicidade). O problema de valor inicial{
y\u2032\u2032 + p(t)y\u2032 + q(t)y = f (t)
y(t0) = y0, y\u2032(t0) = y\u20320,
para p(t), q(t) e f (t) funções contínuas em um intervalo aberto I contendo t0 tem uma única solução neste intervalo.
2.1. Equações Homogêneas - Parte I 259
Exemplo 2.1. Vamos determinar o intervalo máximo em que o problema de valor
inicial \uf8f1\uf8f2\uf8f3 (t2 \u2212 4)y\u2032\u2032 + y\u2032 + (sen t)y = e
t
t
y(1) = y0, y\u2032(1) = y\u20320,
tem solução. Para esta equação
p(t) =
1
t2 \u2212 4 , q(t) =
sen t
t2 \u2212 4 , f (t) =
et
t(t2 \u2212 4) .
Assim, p(t), q(t) e f (t) são contínuas para t 6= ±2, 0. Como t0 = 1, então o problema
de valor inicial tem solução no intervalo 0 < t < 2, que é o maior intervalo contendo
t0 = 1 onde p(t), q(t) e f (t) são contínuas.
2.1 Equações Homogêneas - Parte I
Uma equação diferencial linear de 2a. ordem é homogênea se ela pode ser escrita
como
y\u2032\u2032 + p(t)y\u2032 + q(t)y = 0. (2.1)
Para as equações lineares homogêneas é válido o princípio da superposição.
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260 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
Teorema 2.2 (Princípio da Superposição). Se y1(t) e y2(t) são soluções da equação homogênea (2.1), então
y(t) = c1y1(t)