INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERECIAIS ORDINARIAS
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INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERECIAIS ORDINARIAS


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é
yp(t) =
1
8
et cos t+
1
8
et sen t
e a solução geral da equação não homogênea é
y(t) = c1e\u2212t cos t+ c2e\u2212t sen t+
1
8
et(cos t+ sen t).
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314 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
Figura 2.11. Algumas soluções da equação
do Exemplo 2.16 tais que y(0) = y0
y0 
t
y
Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias GoBack GoForward Julho 2013
2.3 Equações Não Homogêneas 315
Exercícios (respostas na página 413)
3.1. Encontre a solução geral das equações:
(a) y\u2032\u2032 + 5y\u2032 + 6y = xe\u22125x.
(b) y\u2032\u2032 \u2212 4y\u2032 + 6y = 3x.
(c) y\u2032\u2032 + y = cosec t
(d) y\u2032\u2032 \u2212 y = (1+ e\u2212t)\u22122
(e) y\u2032\u2032 + 4 y = 2 sen(2t) + t
(f) y\u2032\u2032 + 2y = et + 2
3.2. Resolva os problemas de valor inicial:
(a) y\u2032\u2032 + y\u2032 \u2212 2y = t2 + 3, y(0) = 0, y\u2032(0) = 0
(b) y\u2032\u2032 + 2 y\u2032 + y = 3 sen(2t), y(0) = 0, y\u2032(0) = 0
(c) y\u2032\u2032 \u2212 4 y\u2032 + 4 y = 3e\u2212t, y(0) = 0, y\u2032(0) = 0
(d) 2y\u2032\u2032 + 2y\u2032 + y = t2, y(0) = 0, y\u2032(0) = 0
3.3. (a) Encontre a solução geral da equação
y\u2032\u2032 + 2y\u2032 + \u3b1y = 0
para \u3b1 > 1, para \u3b1 = 1 e para \u3b1 < 1.
(b) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
y\u2032\u2032 + 2y\u2032 + \u3b1y = te\u2212t sen(
\u221a
\u3b1\u2212 1 t)
para \u3b1 > 1.
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316 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
2.4 Oscilações Livres
Figura 2.12. Sistema massa-mola na
vertical
0
u
P
= m
 g
F
e
= \u2212 k y
F
r = \u2212 \u3b3
v
P
= m
 g
F
ext
F
e
= \u2212 k L
0
L
y
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2.4 Oscilações Livres 317
Considere um sistema massa-mola na vertical. Seja L o alongamento provocado na
mola pela colocação de um corpo de massa m quando o sistema está em equilíbrio.
Neste caso a magnitude da força elástica é proporcional ao alongamento e igual a
magnitude da força peso, ou seja,
mg = kL. (2.40)
Aqui k é chamada constante da mola. Vamos agora colocar o sistema em movimento.
Seja y(t) o alongamento da mola em um instante t. Neste caso a origem, y = 0, é o
ponto de equilíbrio da mola. Sobre o corpo de massa m agem o seu peso,
P = mg,
a força da mola que é proporcional ao seu alongamento e tem sentido oposto a ele,
Fe = \u2212ky(t),
uma força de resistência proporcional à velocidade,
Fr = \u2212\u3b3y\u2032(t).
Aqui \u3b3 é a constante de amortecimento.
Pela segunda lei de Newton, temos que
my\u2032\u2032(t) = mg\u2212 ky(t)\u2212 \u3b3y\u2032(t).
Definindo a nova função
u(t) = y(t)\u2212 L,
ou seja, fazendo uma translação de forma que a nova origem seja o ponto de equilí-
brio do sistema massa-mola, obtemos
mu\u2032\u2032(t) = mg\u2212 k(L+ u(t))\u2212 \u3b3u\u2032(t). (2.41)
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318 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
Assim, por (2.40) e (2.41), u(t) satisfaz a seguinte equação diferencial
mu\u2032\u2032(t) + \u3b3u\u2032(t) + ku(t) = 0. (2.42)
que é a mesma equação que satisfaz x(t) no caso em que o sistema massa-mola se
movimenta na horizontal sobre uma superfície lisa. Verifique!
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2.4 Oscilações Livres 319
2.4.1 Sem Amortecimento
Figura 2.13. Sistema massa-mola li-
vre não amortecido 0 x
F
e
 = \u2212k x
F
e
 = \u2212k x
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320 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
Vamos considerar inicialmente o caso em que não há amortecimento, ou seja, \u3b3 = 0.
Assim, a equação (2.42) para o movimento do sistema massa-mola é
mu\u2032\u2032 + ku = 0
A equação característica é
mr2 + k = 0 \u21d4 r = ±
\u221a
k
m
i
Assim, a solução geral da equação é
u(t) = c1 cos
(\u221a
k
m
t
)
+ c2 sen
(\u221a
k
m
t
)
Seja \u3c90 =
\u221a
k
m . Então, a equação acima pode ser escrita em termos de \u3c90 como
u(t) = c1 cos (\u3c90t) + c2 sen (\u3c90t) . (2.43)
Marcando o ponto (c1, c2) no plano e escrevendo em coordenadas polares temos que
x
y
(c1, c2)
R
c2
\u3b4
c1
{
c1 = R cos \u3b4,
c2 = R sen \u3b4.
(2.44)
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2.4 Oscilações Livres 321
Substituindo-se os valores de c1 e c2 obtidos de (2.44) na equação (2.43) obtemos
u(t) = R cos \u3b4 cos (\u3c90t) + R sen \u3b4 sen (\u3c90t)
= R (cos \u3b4 cos (\u3c90t) + sen \u3b4 sen (\u3c90t))
= R cos(\u3c90t\u2212 \u3b4),
Aqui foi usada a relação
cos(a\u2212 b) = cos a cos b+ sen a sen b.
\u3c90 é chamada frequência natural do sistema, \u3b4 a fase e R a amplitude.
Neste caso a solução da equação é periódica de período T =
2pi
\u3c90
. Este movimento
oscilatório é chamado movimento harmônico simples.
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322 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
Figura 2.14. Solução do sistema massa-
mola livre não amortecido
u(t) = R cos(\u3c90t\u2212 \u3b4)
\u3c90 =
\u221a
k
m
\u2212R
R
\u3b4/\u3c90 (\u3b4+2pi)/\u3c90
Oscilação Livre sem Amortecimento
t
u
2pi/\u3c90
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2.4 Oscilações Livres 323
Exemplo 2.17. Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema
massa-mola é dado por
u\u2032\u2032 + 3u = 0, u(0) = \u22121, u\u2032(0) = 3
(a) Encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor
inicial. Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período.
(b) Esboce o gráfico da solução obtida.
Solução:
(a) Equação característica é r2 + 3 = 0, que tem como raízes r = ±\u221a3i.
Logo, a solução geral da equação diferencial é :
u(t) = c1 cos
(\u221a
3 t
)
+ c2 sen
(\u221a
3 t
)
.
Para resolver o PVI precisamos calcular a derivada da solução geral:
u\u2032(t) = \u2212c1
\u221a
3 sen
(\u221a
3 t
)
+ c2
\u221a
3 cos
(\u221a
3 t
)
Substituindo-se t = 0, u = \u22121, u\u2032 = 3 obtemos:
c1 = \u22121, c2 =
\u221a
3.
A solução do PVI é portanto
u(t) = \u2212 cos
(\u221a
3 t
)
+
\u221a
3 sen
(\u221a
3 t
)
.
Marcando o ponto (c1, c2) = (\u22121,
\u221a
3) no plano obtemos que R = 2 e \u3b4 =
2pi
3
,
ou seja,
u(t) = 2 cos
(\u221a
3 t\u2212 2pi
3
)
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324 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
A amplitude é igual a 2, a frequência é igual a
\u221a
3, a fase é igual a
2pi
3
e o período
é igual a 2pi/
\u221a
3.
(b)
\u22122
 2
2pi/33/2 8pi/33/2
t
u
2.4.2 Com Amortecimento
Neste caso a equação (2.42) para o movimento do sistema massa-mola é
mu\u2032\u2032 + \u3b3u\u2032 + ku = 0
A equação característica é mr2 + \u3b3r+ k = 0 e \u2206 = \u3b32 \u2212 4km
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2.4 Oscilações Livres 325
Figura 2.15. Sistema massa-mola livre com amor-
tecimento 0 x
Fr = \u2212\u3b3 v Fe = \u2212k x
Fr = \u2212\u3b3 v
Fr = \u2212\u3b3 v
Fe = \u2212k x
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326 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
Aqui temos três casos a considerar:
(a) Se \u2206 = \u3b32 \u2212 4km > 0 ou \u3b3 > 2\u221akm, neste caso
u(t) = c1er1t + c2er2t,
em que
r1,2 =
\u2212\u3b3±\u221a\u2206
2m
=
\u2212\u3b3±\u221a\u3b32 \u2212 4km
2m
< 0
Este caso é chamado superamortecimento e a solução
u(t)\u2192 0 quando t\u2192 +\u221e.
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2.4 Oscilações Livres 327
Figura 2.16. Algumas soluções do sis-
tema massa-mola livre com superamor-
tecimento
u0
Superamortecimento
t
u
u(t) = c1er1 t + c2er2 t
r1,2 =
\u2212\u3b3±\u221a\u3b32 \u2212 4km
2m
c1 + c2 = u0
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328 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
(b) Se \u2206 = \u3b32 \u2212 4km = 0 ou \u3b3 = 2\u221akm, neste caso
u(t) = c1e\u2212
\u3b3t
2m + c2te\u2212
\u3b3t
2m
Este caso é chamado amortecimento crítico e a solução
u(t)\u2192 0 quando t\u2192 +\u221e.
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2.4 Oscilações Livres 329
Figura 2.17. Algumas soluções do sistema
massa-mola livre com amortecimento crí-
tico
u0
Amortecimento Crítico
t
u
u(t) = c1e\u2212
\u3b3t
2m + c2te\u2212
\u3b3t
2m
c1 = u0
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330 Equações