INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERECIAIS ORDINARIAS
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INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERECIAIS ORDINARIAS


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Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
(c) Se \u2206 = \u3b32 \u2212 4km < 0 ou 0 < \u3b3 < 2\u221akm, neste caso
u(t) = e\u2212
\u3b3t
2m (c1 cos µt+ c2 sen µt) (2.45)
em que
µ =
\u221a
4km\u2212 \u3b32
2m
=
\u221a
\u3c920 \u2212
\u3b32
4m2
< \u3c90
Aqui, µ é chamado quase frequência e T =
2pi
µ
é chamado quase período.
Escrevendo novamente o par (c1, c2) em coordenadas polares temos que
x
y
(c1, c2)
R
c2
\u3b4
c1
{
c1 = R cos \u3b4,
c2 = R sen \u3b4.
(2.46)
Substituindo-se os valores de c1 e c2 na equação (2.45) obtemos
u(t) = e\u2212
\u3b3t
2m (R cos \u3b4 cos µt+ R sen \u3b4 sen µt) = Re\u2212
\u3b3t
2m cos(µt\u2212 \u3b4),
em que R =
\u221a
c21 + c
2
2 e \u3b4 são obtidos de (2.46).
Este caso é chamado subamortecimento e a solução
u(t)\u2192 0 quando t\u2192 +\u221e.
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2.4 Oscilações Livres 331
Este é um movimento oscilatório com amplitude Re\u2212
\u3b3t
2m e é chamado quase
periódico.
Observe que nos três casos a solução u(t)\u2192 0 quando t\u2192 +\u221e.
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332 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
Figura 2.18. Algumas soluções do sistema
massa-mola livre com subamortecimento
u0
Subamortecimento
t
u
u(t) = e\u2212
\u3b3t
2m (c1 cos µt+ c2 sen µt)
µ =
\u221a
\u3c920 \u2212 \u3b3
2
4m2
< \u3c90
c1 = u0
Figura 2.19. Solução típica do sistema
massa-mola livre com subamortecimento
-R
R
\u3b4/µ (\u3b4+2pi)/µ
Subamortecimento
t
u
2pi/µ
Re-\u3b3t/2m
-Re-\u3b3t/2m
u(t) = Re\u2212
\u3b3t
2m cos(µt\u2212 \u3b4),
µ =
\u221a
\u3c920 \u2212 \u3b3
2
4m2
< \u3c90
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2.4 Oscilações Livres 333
Figura 2.20. Comparação das soluções do
sistema massa-mola livre com amorteci-
mento para diferentes valores da cons-
tante de amortecimento \u3b3
t
u
\ufb03
sub amortecimento, \u3b3 < 2
\u221a
km
\ufb02
super amortecimento, \u3b3 > 2
\u221a
km
\ufb02
amortecimento crítico, \u3b3 = 2
\u221a
km
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334 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
Exercícios (respostas na página 423)
4.1. Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema massa-mola é dado por
u\u2032\u2032 + 3u = 0, u(0) = 1, u\u2032(0) = 3
(a) Encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial. Determine a
amplitude, a frequência, a fase e o período.
(b) Esboce o gráfico da solução obtida.
4.2. Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema massa-mola é dado por
2u\u2032\u2032 + 3u = 0, u(0) = 1, u\u2032(0) = 0
(a) Encontre a solução geral da equação e resolva o problema de valor inicial. Determine a amplitude,
a frequência, a fase e o período.
(b) Esboce o gráfico da solução obtida.
4.3. Se um sistema massa-mola com uma massa de 2 kg e uma mola com constante de elasticidade igual 0,5
N/m é colocado em movimento, no instante t = 0, num meio em que a constante de amortecimento é
igual a 1 N.s/m, determine a posição da massa em qualquer instante t, considerando a posição inicial
igual u0 e a velocidade inicial u\u20320.
4.4. Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. Suponha que não haja amortecimento e
que a aceleração da gravidade seja de 103 centímetros por segundo ao quadrado. Encontre a frequência,
o período e a amplitude do movimento. Determine a posição u em função do tempo t e faça um esboço
do seu gráfico.
(a) Se o sistema é colocado em movimento a partir da sua posição de equilíbrio com uma velocidade
apontada para cima de 4 centímetros por segundo.
(b) Se o sistema é puxado para baixo esticando a mola 1 centímetro e depois colocado em movimento
com uma velocidade para baixo de 10 centímetros por segundo.
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2.4 Oscilações Livres 335
(c) Se o sistema é puxado para baixo esticando a mola 2 centímetros e depois é solto.
4.5. Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. A corpo está preso a um amortecedor
viscoso. Suponha que a aceleração da gravidade seja de 103 centímetros por segundo ao quadrado.
(a) Para quais valores da constante de amortecimento \u3b3 o sistema é super-amortecido, tem um amorte-
cimento crítico e é sub-amortecido.
(b) Suponha que o amortecedor exerce uma força de 104 dinas (=gramas·centímetros por segundos2)
quando a velocidade é de 10 centímetros por segundo. Se o sistema é puxado para baixo 2 centíme-
tros e depois é solto, determine a posição u em função do tempo t e faça um esboço do seu gráfico.
Qual o valor do quase período?
4.6. O movimento de um pêndulo simples de massa m e comprimento l é descrito pela função \u3b8(t) que
satisfaz a equação diferencial
d2\u3b8
dt2
+
g
l
sen \u3b8 = 0.
Suponha que o ângulo \u3b8 seja pequeno o suficiente para que seja válida a aproximação sen \u3b8 \u2248 \u3b8.
(a) Encontre \u3b8(t) sabendo-se que o pêndulo é solto de um ângulo \u3b80.
(b) Determine a frequência, o período e a amplitude de oscilação do pêndulo.
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336 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
2.5 Oscilações Forçadas
Vamos supor que uma força externa periódica da forma Fext(t) = F0 cos(\u3c9t), com
\u3c9 > 0, seja aplicada ao corpo de massa m. Então, a equação para o movimento da
massa é (verifique!)
mu\u2032\u2032 + \u3b3u\u2032 + ku = F0 cos(\u3c9t).
2.5.1 Sem Amortecimento
Neste caso a equação diferencial para o movimento do sistema massa-mola é
mu\u2032\u2032 + ku = F0 cos(\u3c9t). (2.47)
Sabemos que as soluções são da forma
u(t) = c1 cos (\u3c90t) + c2 sen (\u3c90t) + up(t)
em que, pelo método dos coeficientes a determinar,
up(t) = ts[A cos(\u3c9t) + B sen(\u3c9t)]
é uma solução particular e s é o menor inteiro não negativo que garanta que ne-
nhuma parcela de up(t) seja solução da equação homogênea correspondente e A e B
são coeficientes a serem determinados substituindo-se up(t) na equação diferencial
(2.47).
Temos dois casos a considerar:
(a) Se \u3c9 6= \u3c90. Neste caso s = 0, pois nenhuma das parcelas de up(t) é solução da
equação homogênea correspondente. Então, a solução particular é da forma
up(t) = A cos(\u3c9t) + B sen(\u3c9t)
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2.5. Oscilações Forçadas 337
e a solução geral da equação é da forma
u(t) = c1 cos (\u3c90t) + c2 sen (\u3c90t) + A cos(\u3c9t) + B sen(\u3c9t)
Deixamos como exercício para o leitor verificar que substituindo-se up(t) na
equação diferencial (2.47) encontramos
A =
F0
m(\u3c920 \u2212\u3c92)
e B = 0.
Assim,
u(t) = c1 cos (\u3c90t) + c2 sen (\u3c90t) +
F0
m(\u3c920 \u2212\u3c92)
cos(\u3c9t).
Neste caso a solução u(t) é oscilatória e limitada.
(b) Se \u3c9 = \u3c90. Neste caso s = 1, pois para s = 0 as parcelas, A cos(\u3c90t) e
B sen(\u3c90t), de up(t), são soluções da equação homogênea correspondente. En-
tão, a solução particular é da forma
up(t) = t[A cos(\u3c9t) + B sen(\u3c9t)]
e a solução geral da equação é da forma
u(t) = c1 cos (\u3c90t) + c2 sen (\u3c90t) + t[A cos(\u3c90t) + B sen(\u3c90t)].
Deixamos como exercício para o leitor verificar que substituindo-se up(t) na
equação diferencial (2.47) encontramos
A = 0 e B =
F0
2m\u3c90
.
Assim,
u(t) = c1 cos (\u3c90t) + c2 sen (\u3c90t) +
F0
2m\u3c90
t sen(\u3c90t).
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338 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
Neste caso u(t) é oscilatória, mas fica ilimitada quando t tende a +\u221e. Este
fenômeno é conhecido como ressonância e a frequência \u3c9 = \u3c90 é chamada
frequência de ressonância.
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2.5. Oscilações Forçadas 339
Figura 2.21. Sistema massa-mola
forçado sem amortecimento 0 x
F
e
 = \u2212 k x
F
e
 = \u2212 k x
F
ext = Focos(\u3c9t)
F
ext = Focos(\u3c9t)
F
ext = Focos(\u3c9t)
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340 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
Exemplo 2.18. Vamos considerar o problema de valor inicial{
mu\u2032\u2032 + ku = F0 cos(\u3c9t),
u(0) = 0, u\u2032(0) = 0.
Temos