INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERECIAIS ORDINARIAS
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INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERECIAIS ORDINARIAS


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c1 + c2 + 3245 = 0
\u2212c1 \u2212 4c2 \u2212 845 = 0
\u21d2
{
c1 = \u22128/9
c2 = 8/45
Portanto, a solução do PVI formado pela equação diferencial e Q(0) = 0, Q\u2032(0) = 0
é
Q(t) = \u22128
9
e\u2212t + 8
45
e\u22124t + 32
45
e\u2212t/4
Observe que
lim
t\u2192\u221eQ(t) = 0.
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352 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
Exercícios (respostas na página 432)
5.1. Uma mola, de um sistema massa-mola sem amortecimento, tem constante de elasticidade igual a 3 N/m.
Pendura-se na mola um corpo de massa 2 kg e o sistema sofre a ação de uma força externa de 3 cos(3t).
Determine a função que descreve o movimento do sistema massa-mola em qualquer instante t, conside-
rando a posição inicial igual a u0 e a velocidade inicial u\u20320.
5.2. Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. Suponha que não haja amortecimento e
que a aceleração da gravidade seja de 103 centímetros por segundo ao quadrado. Se o sistema é colocado
em movimento com uma força externa de 9600 cos(6t) dinas, determine a posição do corpo como função
do tempo e faça um esboço do seu gráfico.
5.3. Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. Suponha que não haja amortecimento e
que a aceleração da gravidade seja de 103 centímetros por segundo ao quadrado. Se o sistema é colocado
em movimento na posição de equilíbrio com uma força externa de 1000 cos(\u3c9t) dinas, para \u3c9 igual a
frequência de ressonância, determine a posição do corpo como função do tempo e faça um esboço do seu
gráfico.
5.4. Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. O corpo está preso a um amortecedor
viscoso. Suponha que a aceleração da gravidade seja de 103 centímetros por segundo ao quadrado.
Suponha que o amortecedor exerce uma força de 4200 dinas quando a velocidade é de 1 centímetro por
segundo. Se o corpo está sob a ação também de uma força externa de 26000 cos(6t) dinas, determine
a posição u em função do tempo t e faça um esboço do seu gráfico, considerando somente a solução
estacionária.
5.5. Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
u\u2032\u2032 + u\u2032 + 2u = cos\u3c9t, \u3c9 > 0, u(0) = 0, u\u2032(0) = 2.
(a) Determine a solução geral da equação diferencial.
(b) Determine a solução estacionária deste problema.
(c) Encontre a amplitude da solução estacionária como função de \u3c9.
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2.5. Oscilações Forçadas 353
(d) Determine a frequência para a qual a amplitude é máxima.
5.6. Considere a equação diferencial do sistema massa-mola forçado sem amortecimento
mu\u2032\u2032 + ku = F0 cos(\u3c9t)
Mostre que a solução geral:
(a) Se \u3c9 6= \u3c90 é dada por
u(t) = c1 cos (\u3c90t) + c2 sen (\u3c90t) +
F0
m(\u3c920 \u2212\u3c92)
cos(\u3c9t).
(b) Se \u3c9 = \u3c90 é dada por
u(t) = c1 cos (\u3c90t) + c2 sen (\u3c90t) +
F0
2m\u3c90
t sen(\u3c90t).
5.7. Mostre que a solução do PVI {
mu\u2032\u2032 + ku = F0 cos(\u3c9t),
u(0) = 0, u\u2032(0) = 0.
(a) Se \u3c9 6= \u3c90 é dada por
u(t) =
F0
m(\u3c920 \u2212\u3c92)
(cos(\u3c9t)\u2212 cos(\u3c90t)) .
(b) Se \u3c9 = \u3c90 é dada por
u(t) =
F0
2m\u3c90
t sen(\u3c90t).
5.8. Considere a equação diferencial
mu\u2032\u2032 + \u3b3u\u2032 + ku = F0 cos(\u3c9t), para \u3c9 > 0,
que corresponde ao sistema massa-mola forçado amortecido.
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354 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
(a) Encontre a solução estacionária da equação acima.
(b) Mostre que a amplitude da solução estacionária é dada por
R =
F0\u221a
\u2206
.
(c) Se \u3b3 >
\u221a
2m\u3c90 =
\u221a
2km, verifique que a amplitude da solução estacionária é decrescente e portanto
não tem máximo, para \u3c9 > 0. Se \u3b32 \u2212 2m2\u3c920 \u2264 0 ou \u3b3 \u2264
\u221a
2m\u3c90 =
\u221a
2km, verifique que a
amplitude da solução estacionária é máxima para
\u3c9 =
\u221a
\u3c920 \u2212
\u3b32
2m2
.
5.9. Um circuito possui um capacitor de 0,125× 10\u22121 F, um resistor de 60 \u2126 e um indutor de 10 H, em série.
A carga inicial no capacitor é zero. No instante t = 0 conecta-se o circuito a uma bateria cuja tensão é de
12 V e o circuito é fechado.
(a) Determine a carga no capacitor em qualquer instante t > 0.
(b) Determine a carga no capacitor quando t\u2192 +\u221e.
(c) Esboce o gráfico da solução obtida.
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2.6. Soluções em Séries de Potências 355
2.6 Soluções em Séries de Potências
Uma série de potências de x é uma expressão da forma
\u221e
\u2211
n=0
anxn = a0 + a1x+ a2x2 + . . . ,
em que a0, a1, a2, . . . são números denominados coeficientes da série. Podemos defi-
nir uma função f (x) que associa a cada valor de x, para o qual existe o limite
lim
N\u2192\u221e
N
\u2211
n=0
anxn = lim
N\u2192\u221e
(a0 + a1x+ a2x2 + . . . + aNxN),
o valor deste limite e escrevemos
f (x) =
\u221e
\u2211
n=0
anxn = a0 + a1x+ a2x2 + . . .
O maior valor de r para o qual o limite acima existe para |x| < r, ou seja, a série
converge, é chamado raio de convergência da série.
Exemplo 2.20. A série geométrica
f (x) = 1+ x+ x2 + . . . =
\u221e
\u2211
n=0
xn = lim
N\u2192\u221e
1\u2212 xN+1
1\u2212 x =
1
1\u2212 x , para |x| < 1
tem raio de convergência r = 1.
A seguir apresentamos as propriedades das séries de potências que são usadas no
estudo das soluções de equações diferenciais em série de potências. A demonstração
é apresentada na página 377.
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356 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
Proposição 2.8. São válidas as seguintes propriedades para as séries de potências:
(a) Se f (x) =
\u221e
\u2211
n=0
anxn tem raio de convergência r1 > 0 e g(x) =
\u221e
\u2211
n=0
bnxn tem raio de convergência r2 > 0, então
para todos os números \u3b1 e \u3b2,
\u3b1 f (x) + \u3b2g(x) = \u3b1
\u221e
\u2211
n=0
anxn + \u3b2
\u221e
\u2211
n=0
bnxn =
\u221e
\u2211
n=0
(\u3b1an + \u3b2bn)xn,
tem raio de convergência que é pelo menos r = min{r1, r2}.
(b) Se f (x) =
\u221e
\u2211
n=0
anxn = a0 + a1x+ a2x2 + a3x3 + · · · tem raio de convergência r > 0, então para k, l = 0, 1, 2, . . .
(\u3b1xk + \u3b2xl) f (x) = \u3b1xk
\u221e
\u2211
n=0
anxn + \u3b2xl
\u221e
\u2211
n=0
anxn = \u3b1
\u221e
\u2211
n=0
anxn+k + \u3b2
\u221e
\u2211
n=0
anxn+l
= \u3b1
\u221e
\u2211
n\u2032=k
an\u2032\u2212kxn
\u2032
+ \u3b2
\u221e
\u2211
n\u2032=l
an\u2032\u2212lxn
\u2032
= \u3b1
\u221e
\u2211
n=k
an\u2212kxn + \u3b2
\u221e
\u2211
n=l
an\u2212lxn.
(c) Se f (x) =
\u221e
\u2211
n=0
anxn = a0 + a1x+ a2x2 + a3x3 + · · · tem raio de convergência r > 0, então f (x) tem derivadas
de todas as ordens, para |x| < r e
f \u2032(x) = a1 + 2a2x+ 3a3x2 + · · · =
\u221e
\u2211
n=1
nanxn\u22121 =
\u221e
\u2211
n=0
(n+ 1)an+1xn
f \u2032\u2032(x) = 2a2 + 2 · 3a3x+ 3 · 4a4x2 + · · · =
\u221e
\u2211
n=2
(n\u2212 1)nanxn\u22122 =
\u221e
\u2211
n=0
(n+ 1)(n+ 2)an+2xn
f (k)(x) =
\u221e
\u2211
n=k
(n\u2212 k+ 1) · · · (n\u2212 1)nanxn\u2212k =
\u221e
\u2211
n=0
(n+ 1)(n+ 2) · · · (n+ k\u2212 1)an+kxn
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2.6 Soluções em Séries de Potências 357
(d) Se
\u221e
\u2211
n=0
anxn = 0, para todo x, com |x| < r e r > 0, então an = 0, para n = 0, 1, 2, . . .
Para uma equação diferencial da forma
P(x)
d2y
dx2
+Q(x)
dy
dx
+ R(x)y = 0,
em que P(x),Q(x) e R(x) são polinômios tais que P(0) 6= 0, a solução geral pode ser
escrita como uma série de potências de x como estabelecemos no próximo resultado
que será demonstrado apenas na página 371.
Teorema 2.9. Considere a equação
P(x)
d2y
dx2
+Q(x)
dy
dx
+ R(x)y = 0, (2.51)
em que P(x),Q(x) e R(x) são polinômios sem fatores comuns. Se P(0) 6= 0, então a equação tem solução geral em série
de potências
y(x) =
\u221e
\u2211
n=0
anxn = a0
(
1+
\u221e
\u2211
n=2
bnxn
)
+ a1
(
x+
\u221e
\u2211
n=2
cnxn
)
,
em que y1(x) = 1 + \u2211\u221en=2 bnx
n e y2(x) = x+ \u2211\u221en=2 cnx
n são soluções fundamentais da equação que convergem (pelo
menos) para |x| < r, sendo r o raio do maior círculo no plano complexo com centro na origem tal que P(z) 6= 0, para todo
z \u2208 C com |z| < r.
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358 Equações Diferenciais Lineares de 2a. Ordem
Exemplo 2.21. Considere a equação
(1\u2212