INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERECIAIS ORDINARIAS
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INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERECIAIS ORDINARIAS


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lado esquerdo entram as funções originais e do lado direito saem as funções trans-
formadas pela transformada de Laplace.
474 Transformada de Laplace
A transformada de Laplace de uma função f : [0,\u221e)\u2192 R (ou C) é definida por
L( f )(s) = F(s) =
\u222b \u221e
0
e\u2212st f (t)dt.
para todo s > 0 tal que a integral acima converge. Representaremos a função ori-
ginal por uma letra minúscula e a sua variável por t. Enquanto a transformada de
Laplace será representada pela letra correspondente maiúscula e a sua variável por
s. Por exemplo, as transformadas de Laplace das funções f (t), g(t) e h(t) serão re-
presentadas por F(s), G(s) e H(s), respectivamente.
Vamos calcular a transformada de Laplace de várias funções, que serão as funções
elementares, e apresentar propriedades da transformada de Laplace que possibilita-
rão calcular a transformada de Laplace de muitas outras funções. A transformada de
Laplace das funções elementares estão agrupadas na tabela na página 544 e podem
ser consultadas a qualquer momento.
Exemplo 3.1. A transformada de Laplace da função f : [0,\u221e) \u2192 R definida por
f (t) = 1 é dada por
F(s) =
\u222b \u221e
0
e\u2212st 1 dt = e
\u2212st
\u2212s
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
\u221e
0
= lim
T\u2192\u221e
e\u2212sT
\u2212s \u2212
e\u2212s0
\u2212s = 0\u2212
e\u2212s0
\u2212s =
1
s
, para s > 0.
Exemplo 3.2. Seja a uma constante real. A transformada de Laplace da função
f : [0,\u221e)\u2192 R definida por f (t) = eat é dada por
F(s) =
\u222b \u221e
0
e\u2212st eat dt =
\u222b \u221e
0
e\u2212(s\u2212a)t dt = e
\u2212(s\u2212a)t
a\u2212 s
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
\u221e
0
= lim
T\u2192\u221e
e\u2212(s\u2212a)T
a\u2212 s \u2212
e\u2212(s\u2212a)0
a\u2212 s = 0\u2212
1
a\u2212 s =
1
s\u2212 a , para s > a.
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3.1 Introdução 475
Exemplo 3.3. Seja a uma constante real. Vamos determinar a transformada de La-
place das funções f : [0,\u221e) \u2192 R dada por f (t) = cos at e g : [0,\u221e) \u2192 R dada por
g(t) = sen at. Para isso, vamos calcular a transformada de Laplace da função
h : [0,\u221e)\u2192 C definida por h(t) = eiat.
H(s) =
\u222b \u221e
0
e\u2212st eiat dt =
\u222b \u221e
0
e\u2212(s\u2212ia)t dt = e
\u2212(s\u2212ia)t
\u2212(s\u2212 ia)
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
\u221e
0
= lim
T\u2192\u221e
e\u2212sT(cos aT + i sen aT)
\u2212(s\u2212 ia) \u2212
e\u2212(s\u2212ia)0
\u2212(s\u2212 ia) = 0\u2212
e\u2212(s\u2212ia)0
ia\u2212 s
=
1
s\u2212 ia , para s > 0.
Por outro lado
H(s) = L(h)(s) =
\u222b \u221e
0
e\u2212st (cos at+ i sen at) dt = L( f )(s)+ iL(g)(s) = F(s)+ iG(s).
Assim, a parte real de H(s) é igual a F(s), Re{H(s)} = F(s), e a parte imaginária
de H(s) é igual a G(s), Im{H(s)} = G(s). Como
H(s) =
1
s\u2212 ia =
s+ ia
(s\u2212 ia)(s+ ia) =
s+ ia
s2 + a2
,
então a transformada de Laplace de f (t) = cos at é
F(s) = Re{ 1
s\u2212 ia} =
s
s2 + a2
, para s > 0
e a transformada de Laplace de g(t) = sen at é
G(s) = Im{ 1
s\u2212 ia} =
a
s2 + a2
, para s > 0.
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476 Transformada de Laplace
Exemplo 3.4. Seja n um inteiro positivo. Vamos calcular a transformada de Laplace
da função fn : [0,\u221e)\u2192 R dada por fn(t) = tn, para n = 0, 1, 2, . . . Usando integração
por partes temos que
Fn(s) =
\u222b \u221e
0
e\u2212st tndt = t
ne\u2212st
\u2212s
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
\u221e
0
\u2212 n\u2212s
\u222b \u221e
0
e\u2212st tn\u22121dt
=
n
s
\u222b \u221e
0
e\u2212st tn\u22121dt = n
s
Fn\u22121(s).
Aplicando-se recursivamente a fórmula obtida obtemos
Fn(s) =
n(n\u2212 1)
s2
Fn\u22122(s) =
n(n\u2212 1) . . . 1
sn
F0(s).
Mas F0(s) é a transformada de Laplace da função constante 1, ou seja, F0(s) =
1
s
.
Assim, a transformada de Laplace de fn(t) = tn, para n = 0, 1, 2, . . . é
Fn(s) =
n!
sn+1
, para s > 0.
Para calcular a transformada de Laplace de outras funções vamos usar as proprieda-
des que apresentaremos a seguir.
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3.1 Introdução 477
Teorema 3.1 (Linearidade). Se a transformada de Laplace de f (t) é F(s), para s > a1, e a transformada de Laplace
de g(t) é G(s), para s > a2, então para quaisquer constantes \u3b1 e \u3b2
L(\u3b1 f + \u3b2g)(s) = \u3b1L( f )(s) + \u3b2L(g)(s) = \u3b1F(s) + \u3b2G(s), para s > max{a1, a2}.
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478 Transformada de Laplace
Demonstração.
L(\u3b1 f + \u3b2g)(s) =
\u222b \u221e
0
e\u2212st(\u3b1 f (t) + \u3b2g(t))dt
= \u3b1
\u222b \u221e
0
e\u2212st f (t)dt+ \u3b2
\u222b \u221e
0
e\u2212stg(t)dt
= \u3b1L( f )(s) + \u3b2L(g)(s)
\ufffd
Exemplo 3.5. A transformada de Laplace do polinômio f (t) = 2t2 + 3t + 5 é pelo
Teorema 3.1 e usando o resultado do Exemplo 3.4
F(s) = 2
2
s3
+ 3
1
s2
+ 5
1
s
.
Exemplo 3.6. Seja a uma constante. Pelo Teorema anterior a transformada de Laplace
do cosseno hiperbólico de at, f (t) = cosh(at) =
eat + e\u2212at
2
, é dada por
F(s) =
1
2
1
s\u2212 a +
1
2
1
s+ a
=
s
s2 \u2212 a2 , para s > |a|.
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3.1 Introdução 479
Exemplo 3.7. Seja a uma constante. Pelo Teorema anterior a transformada de Laplace
do seno hiperbólico de at, f (t) = senh(at) =
eat \u2212 e\u2212at
2
, é dada por
F(s) =
1
2
1
s\u2212 a \u2212
1
2
1
s+ a
=
a
s2 \u2212 a2 , para s > |a|.
Dizemos que uma função f (t) é seccionalmente contínua ou contínua por partes em
um intervalo [a, b] se f (t) é contínua em [a, b] exceto possivelmente em um número
finito de pontos, nos quais os limites laterais existem. Dizemos que uma função f (t)
é seccionalmente contínua ou contínua por partes em um intervalo [a,\u221e) se f (t) é
seccionalmente contínua para todo intervalo da forma [a, A], com A > a.
Se a função f (t) crescer muito rápido ela pode não ter transformada de Laplace,
como por exemplo f (t) = et
2
(verifique!). Isto não acontece para funções f (t), para
as quais existem M > 0 e k > 0 tais que,
| f (t)| \u2264 Mekt, para todo t > 0. (3.1)
Chamamos funções admissíveis às funções seccionalmente contínuas que satisfa-
zem (3.1).
Se duas funções admissíveis têm a mesma transformada de Laplace então elas são
iguais exceto possivelmente nos pontos de descontinuidade, como enunciado a se-
guir e demonstrado ao final desta seção na página 486.
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480 Transformada de Laplace
Teorema 3.2 (Injetividade). Dadas duas funções f (t) e g(t) admissíveis se
L( f )(s) = L(g)(s), para s > a,
então f (t) = g(t), exceto possivelmente nos pontos de descontinuidade.
Portanto, se F(s) é a transformada de Laplace de uma função admissível f (t), esta
função está determinada a menos dos pontos de descontinuidade e dizemos que f (t)
é a transformada de Laplace inversa de F(s) e escrevemos simplesmente
L\u22121(F)(t) = f (t),
considerando duas funções iguais, se elas forem iguais em todos os pontos onde
ambas são contínuas.
Exemplo 3.8. Se a transformada de Laplace de uma função f (t) é
F(s) =
s+ 3
s2 \u2212 3s+ 2
então vamos determinar a função f (t). Para isso vamos decompor F(s) em frações
parciais. O denominador de F(s) tem duas raízes reais s = 1 e s = 2. Assim,
F(s) =
s+ 3
(s\u2212 1)(s\u2212 2) =
A
s\u2212 1 +
B
s\u2212 2 ,
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3.1 Introdução 481
em que A e B são constantes a determinar. Multiplicando F(s) por (s \u2212 1)(s \u2212 2)
obtemos
s+ 3 = A(s\u2212 2) + B(s\u2212 1)
Substituindo-se s = 1 e s = 2 obtemos
4 = \u2212A e 5 = B
Assim,
F(s) =
s+ 3
(s\u2212 1)(s\u2212 2) = \u22124
1
s\u2212 1 + 5
1
s\u2212 2
e a função cuja transformada é F(s) é
f (t) = \u22124et + 5e2t.
Teorema 3.3 (1o. Teorema de Deslocamento). Seja a uma constante. Se a transformada de Laplace da função
f : [0,\u221e)\u2192 R é F(s), para s > c, então a transformada de Laplace da função
g(t) = eat f (t)
é
G(s) = F(s\u2212 a), para s > a+ c
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482 Transformada de Laplace
Demonstração.
G(s) =
\u222b \u221e
0
e\u2212steat f (t)dt =
\u222b \u221e
0
e\u2212(s\u2212a)t f (t)dt = F(s\u2212 a)
\ufffd
Exemplo 3.9. Sejam a, b \u2208 R. Se g(t) = cos(at), então pelo Exemplo 3.3 na página
475
G(s) =
s
s2 + a2
.
Pelo 1o. Teorema de Deslocamento
L[ebtg(t)](s) = G(s\u2212 b).
Logo, se f : [0,\u221e)