INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERECIAIS ORDINARIAS
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INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERECIAIS ORDINARIAS


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52 Equações Diferenciais de 1a. Ordem
1.5 Substituições em Equações de 1a. Ordem
Vamos estudar algumas equações de 1a. ordem que podem ser transformadas em
equações já estudadas em seções anteriores fazendo-se uma mudança de variáveis
adequada.
1.5.1 Equações Homogêneas de 1a. Ordem
As equações homogêneas de 1a. ordem são equações que podem ser escritas como
dy
dx
= F(y/x) (1.33)
Ou seja, o lado direito da equação (1.33) apesar de depender de x e de y, depende
apenas do quociente y/x. Seja
v = y/x.
Então,
y = vx
e derivando o produto vx em relação a x obtemos pela regra da cadeia
dy
dx
= x
dv
dx
+ v.
Substituindo-se este valor de
dy
dx
e y/x = v na equação (1.33) obtemos a equação
x
dv
dx
+ v = F(v)
ou
x
dv
dx
= F(v)\u2212 v.
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1.5 Substituições em Equações de 1a. Ordem 53
Multiplicando-se por
1
x(F(v)\u2212 v) esta equação se torna
1
F(v)\u2212 v
dv
dx
=
1
x
, (1.34)
que é uma equação separável. Podemos encontrar a solução geral desta equação
usando a técnica apresentada na Seção 1.3, página 27. Depois de encontrada a solu-
ção geral da equação (1.34) devemos substituir
v = y/x
para encontrar a solução geral de (1.33).
Exemplo 1.16. Considere a equação
dy
dx
=
y\u2212 x
y+ x
.
Dividindo numerador e denominador por x obtemos
dy
dx
=
y
x \u2212 1
y
x + 1
.
Seja v =
y
x
. Então, y = vx e derivando o produto vx em relação a x obtemos pela
regra da cadeia
dy
dx
= x
dv
dx
+ v.
Substituindo-se este valor de
dy
dx
e
y
x
= v na equação obtemos
x
dv
dx
+ v =
v\u2212 1
v+ 1
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54 Equações Diferenciais de 1a. Ordem
ou
x
dv
dx
=
v\u2212 1
v+ 1
\u2212 v = v
2 + 1
\u22121\u2212 v .
Multiplicando-se por
v+ 1
x(v2 + 1)
esta equação se torna
v+ 1
v2 + 1
dv
dx
= \u2212 1
x
.
Como \u222b v+ 1
v2 + 1
dv =
\u222b v
v2 + 1
dv+
\u222b 1
v2 + 1
dv =
1
2
ln(v2 + 1) + arctan v,
então a equação diferencial tem solução
1
2
ln(v2 + 1) + arctan v = \u2212 ln |x|+ c,
ou
ln
\u2223\u2223\u2223(v2 + 1)1/2x\u2223\u2223\u2223+ arctan v = c.
Substituindo-se v = yx obtemos a solução
ln
\u2223\u2223\u2223((y/x)2 + 1)1/2x\u2223\u2223\u2223+ arctan(y/x) = c,
que pode ainda ser escrita como
ln(y2 + x2)1/2 + arctan(y/x) = c.
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1.5 Substituições em Equações de 1a. Ordem 55
1.5.2 Equações de Bernoulli
As equações de Bernoulli são equações da forma
dy
dx
+ p(x)y = q(x)yn (1.35)
em que n é um número real qualquer. Para n = 0 e n = 1 esta equação é linear. Para
n 6= 0 e n 6= 1, fazemos a mudança de variáveis v = y1\u2212n.
Multiplicando-se a equação de Bernoulli (1.35) por y\u2212n obtemos
y\u2212n dy
dx
+ p(x)y1\u2212n = q(x) (1.36)
Derivando v = y1\u2212n em relação a x obtemos pela regra da cadeia
dv
dx
= (1\u2212 n)y\u2212n dy
dx
,
de onde obtemos que
y\u2212n dy
dx
=
1
1\u2212 n
dv
dx
.
Fazendo as substituições y\u2212n dydx =
1
1\u2212n
dv
dx e y
1\u2212n = v em (1.36) obtemos
1
1\u2212 n
dv
dx
+ p(x)v = q(x)
que é uma equação linear. Depois de encontrada a solução geral desta equação,
devemos substituir
v = y1\u2212n
para encontrar a solução geral de (1.35).
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56 Equações Diferenciais de 1a. Ordem
Exemplo 1.17. Vamos encontrar a solução geral da equação
y\u2032 + 1
x
y = xy2
fazendo a mudança de variáveis v = y\u22121.
Se v = y\u22121, então
dv
dx
= \u2212y\u22122 dy
dx
.
Multiplicando-se a equação diferencial por y\u22122 obtemos
y\u22122 dy
dx
+
1
x
y\u22121 = x.
Fazendo as substituições y\u22122 dydx = \u2212 dvdx e y\u22121 = v obtemos
\u2212 dv
dx
+
1
x
v = x.
Multiplicando esta equação por \u22121 obtemos
v\u2032 \u2212 1
x
v = \u2212x
que é uma equação linear e tem solução
v(x) = \u2212x2 + cx.
Assim, a solução da equação dada é
y(x) =
1
\u2212x2 + cx .
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1.5 Substituições em Equações de 1a. Ordem 57
1.5.3 Equações de Ricatti
As equações de Ricatti são equações da forma
dy
dx
= p(x) + q(x)y+ r(x)y2. (1.37)
Sendo conhecida uma solução particular da equação y1(x), a equação de Ricatti pode
ser resolvida fazendo a substituição
y(x) = y1(x) + v(x). (1.38)
Então,
dy
dx
=
dy1
dx
+
dv
dx
. (1.39)
Substituindo-se (1.38) e (1.39) em (1.37) obtemos
dy1
dx
+
dv
dx
= p(x) + q(x)(y1 + v) + r(x)(y1 + v)2.
Usando o fato de que y1(x) é solução da equação obtemos
dv
dx
\u2212 (q(x) + 2y1(x)r(x))v = r(x)v2,
que é uma equação de Bernoulli com n = 2.
Exemplo 1.18. Considere a equação
dy
dx
= e2x + (1+ 2ex)y+ y2.
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58 Equações Diferenciais de 1a. Ordem
Deixamos como exercício para o leitor verificar que y1(x) = \u2212ex é uma solução desta
equação. Fazendo a substituição
y(x) = \u2212ex + v(x),
obtemos a equação
dv
dx
\u2212 v = v2.
que pode ser resolvida como uma equação separável
1
v2 + v
dv
dx
= 1. (1.40)
Decompondo 1v2+v em frações parciais obtemos
1
v2 + v
=
1
v(v+ 1)
=
A
v
+
B
v+ 1
Multiplicando-se por v(v+ 1) obtemos
1 = A(v+ 1) + Bv.
Substituindo-se v = 0,\u22121 obtemos A = 1 e B = \u22121. Assim, a equação (1.40) pode
ser escrita como
d
dx
(ln |v| \u2212 ln |v+ 1|) = 1.
Integrando-se obtemos
ln
\u2223\u2223\u2223\u2223 vv+ 1
\u2223\u2223\u2223\u2223 = x+ c1
Aplicando-se a exponencial obtemos
v
v+ 1
= ±ec1ex = cex.
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1.5 Substituições em Equações de 1a. Ordem 59
Substituindo-se v = y+ ex obtemos que a solução da equação é dada implicitamente
por
y+ ex
y+ 1+ ex
= cex.
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60 Equações Diferenciais de 1a. Ordem
1.5.4 Equações da forma y\u2032 = F(ax+ by)
As equações da forma y\u2032 = F(ax + by), com a e b não nulos, podem ser resolvidas
fazendo-se a mudança de variáveis v = ax+ by. Assim,
dv
dx
= a+ b
dy
dx
.
Substituindo-se
dy
dx
=
1
b
dv
dx
\u2212 a
b
na equação diferencial obtemos
1
b
dv
dx
\u2212 a
b
= F(v).
Somando-se ab e multiplicando-se por b:
dv
dx
=
F(v) + ab
b
.
Dividindo-se por F(v)+abb obtemos a equação
b
F(v) + ab
dv
dx
= 1,
que é uma equação separável.
Exemplo 1.19. Considere a equação
dy
dx
=
y\u2212 x
y\u2212 x\u2212 1 .
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1.5 Substituições em Equações de 1a. Ordem 61
Vamos resolvê-la fazendo a substituição v = y\u2212 x. O que implica que
dv
dx
=
dy
dx
\u2212 1 ou dy
dx
=
dv
dx
+ 1.
Substituindo-se v = y\u2212 x e y\u2032 = v\u2032 + 1 na equação obtemos
dv
dx
+ 1 =
v
v\u2212 1
dv
dx
=
1
v\u2212 1
(v\u2212 1) dv
dx
= 1
que é uma equação separável cuja solução é
v2
2
\u2212 v = x+ c
Substituindo-se de volta v = y\u2212 x obtemos que a solução da equação é dada impli-
citamente por
(y\u2212 x)2
2
\u2212 y = c.
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62 Equações Diferenciais de 1a. Ordem
Figura 1.15. Soluções da equação do Exem-
plo 1.19
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
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1.5 Substituições em Equações de 1a. Ordem 63
Exercícios (respostas na página 186)
5.1. Resolva as equações seguintes fazendo a mudança de variáveis v = y/x:
(a)
dy
dx
=
3y+ x
3x+ y
.
(b)
dy
dx
=
2x2 + 5y2
2xy
.
(c) (x+
\u221a
xy)
dy
dx
+ x\u2212 y = x\u22121/2y3/2.
5.2. Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
(a) y\u2032 + 2
x
y =
y3
x3
, v = y\u22122.
(b) y\u2032 + 4
x
y = \u2212x5exy2, v = y\u22121.
(c) y\u2032 = \u2212 4
x2
\u2212 1
x
y+ y2, y = 2x\u22121 + u.
(d) y\u2032 = (y\u2212 x)2, v = y\u2212 x.