Matrizes Sistemas
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Matrizes Sistemas


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UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) 
Cursos de Engenharia 
Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 
 
 
 1 
 
 
 
APOSTILA RESUMO 
Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares 
 
MATRIZ. 
 
DEFINIÇÃO 1. É uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas. 
 
ORDEM OU DIMENSÃO. 
 
DEFINIÇÃO 2. A ordem de uma matriz é o número de linhas e colunas. 
 
NOTAÇÃO. Representaremos a matriz A de m linhas e n colunas, isto é, a matriz A de ordem m por n, por 
 
[ ]
nmij
mnmmm
n
n
n
nm a
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
××
=
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
L
MOMMM
L
L
L
321
3333231
2232221
1131211
 
OBSERVAÇÕES. 
 
1. Existem outras notações para matrizes, além de colchetes, como parênteses ou duas barras. 
 
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=×
232221
131211
32 bbb
bbb
B ou 
34333231
24232221
14131211
43
cccc
cccc
cccc
C =× 
 
2. Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes e minúsculas para os seus elementos. 
 
3. Os elementos de uma matriz podem ser números reais ou complexos, funções ou mesmo outras 
matrizes. 
 
4. Os elementos de uma matriz de ordem n × n que estão nas posições em que i = j, pertencem a diagonal 
que chamamos de diagonal principal. E a outra diagonal é chamada de diagonal secundária. 
 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=×
333231
232221
131211
33
mmm
mmm
mmm
M 
DIAGONAL SECUNDÁRIA DIAGONAL PRINCIPAL 
 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TIPOS DE MATRIZES. 
 
1. Nula: é a matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero (aij = 0, \u2200 i = 1,...,m e j = 1,...,n). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
2. Coluna: é a matriz que possui m linhas e uma única coluna (n = 1). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
3. Linha: é a matriz que possui uma única linha e n colunas (m = 1). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
4. Quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas (m = n), que será 
chamada de matriz de ordem m. 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
4.1. Diagonal: é a matriz quadrada que possui todos os elementos fora da diagonal principal iguais a 
zero (aij = 0, para i \u2260 j, \u2200 i = 1,...,n e j = 1,...,n). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
4.1.1. Escalar: é a matriz quadrada diagonal que tem os elementos da diagonal principal iguais e 
os outros iguais a zero (aij = 0, para i \u2260 j, \u2200 i = 1,...,n e j = 1,...,n). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
 
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4.1.1.1. Identidade: é a matriz escalar que tem os elementos da diagonal principal iguais a 
um (aij = 1, para i = j e aij = 0, para i \u2260 j, \u2200 i = 1,...,n e j = 1,...,n). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
4.2. Triangular Superior: é a matriz quadrada que possui todos os elementos abaixo da diagonal 
principal iguais a zero (e aij = 0, para i > j, \u2200 i = 1,...,n e j = 1,...,n). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
4.3. Triangular Inferior: é a matriz quadrada que possui todos os elementos acima da diagonal 
principal iguais a zero (e aij = 0, para i < j, \u2200 i = 1,...,n e j = 1,...,n). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
4.4. Simétrica: é a matriz quadrada que possui os seus elementos simétricos em relação à diagonal 
principal iguais (aij = aji, \u2200 i = 1,...,n e j = 1,...,n). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
4.5. Anti-Simétrica: é a matriz quadrada que possui os seus elementos simétricos em relação à 
diagonal principal opostos (aij = \u2013 aji, \u2200 i = 1,...,n e j = 1,...,n). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
 
IGUALDADE DE MATRIZES. 
 
DEFINIÇÃO 3. Duas matrizes [ ]
nmijnm aA ×× = e [ ] srijsr bB ×× = são iguais, A = B, se elas têm o mesmo número 
de linhas (m = r) e colunas (n = s), e todos os seus elementos correspondentes são iguais 
(aij = bij). 
 
EXEMPLO. Determine x, y, z e t, sabendo que as matrizes A e B são iguais: 
 
 
 
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(1) A = \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212 43
32 zx
 e B = \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
+
+
43
21
y
x
 (2) A = \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
2
2
54 t
yxx
 e B = \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
ttz
xx
5
32
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES MATRICIAIS. 
 
1. Adição: A soma de matrizes de mesma ordem ou de mesma dimensão, m × n, é ainda uma matriz de 
ordem m × n, cujos elementos são obtidos pela soma dos elementos correspondentes das matrizes 
dadas. 
 
NOTAÇÃO. Considere as matrizes Am×n = [ ]
nmija × e Bm×n = [ ] nmijb × . Então, 
 
Cm×n = Am×n + Bm×n \u21d4 [ ] [ ]
nmijijnmij bac ×× += 
 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
+++
+++
+++
=×
mnmnmmmm
nn
nn
nm
bababa
bababa
bababa
C
L
MOMM
L
L
2211
2222222121
1112121111
 
 
EXEMPLOS. 
 
(1) Dadas as matrizes A = \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
52
41
 , B = \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee \u2212
05
23
 e C = \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2212
\u2212
158
24
. Calcule D = A + B + C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) Dadas as matrizes A = 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
4
33
5
4
219
3 e B = 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212\u2212
10
5
1
2819
. Calcule C = A + B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(3) Dadas as matrizes A = 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
3
11
5
 e B = [ ]321 \u2212 . Calcule C = A + B. 
 
 
 
 
Como foi definida a adição de matrizes, esta operação tem as mesmas propriedades da adição de números reais. 
 
PROPRIEDADES. Considere as matrizes A, B e C de ordem m × n. 
 
[P1] Comutativa: A + B = B + A; 
[P2] Associativa: (A + B) + C = A + (B + C); 
[P3] Elemento Neutro: A + O = A, onde O é a matriz nula de ordem m × n; 
[P4] Elemento Simétrico: A \u2013 A = O, onde O é a matriz nula de ordem m × n. 
 
2. Subtração: Se o sinal da adição for mudado por subtração tem-se a operação. 
 
NOTAÇÃO. Considere as matrizes Am×n = [ ]
nmija × e Bm×n = [ ] nmijb × . Então, 
 
Cm×n = Am×n \u2013 Bm×n \u21d4 [ ] [ ]
nmijijnmij bac ×× \u2212= 
 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2212\u2212
\u2212\u2212\u2212
\u2212\u2212\u2212
=×
mnmnmmmm
nn
nn
nm
bababa
bababa
bababa
C
L
MOMM
L
L
2211
2222222121
1112121111
 
 
OBSERVAÇÃO. C = \u2013 D \u21d4 D = \u2013 C 
 
EXEMPLOS. 
(1) Dadas as matrizes A = \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2212 1741
18911
 e B = \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2212
\u2212
110134
1280
. Calcule C = A \u2013 B e 
D = B \u2013 A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(2) Dadas as matrizes A = 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
4
21
10
 e B = 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
76
522
13
. Calcule C = A \u2013 B e D = B \u2013 A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(3) Dadas as