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UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 1 APOSTILA RESUMO Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares MATRIZ. DEFINIÇÃO 1. É uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas. ORDEM OU DIMENSÃO. DEFINIÇÃO 2. A ordem de uma matriz é o número de linhas e colunas. NOTAÇÃO. Representaremos a matriz A de m linhas e n colunas, isto é, a matriz A de ordem m por n, por [ ] nmij mnmmm n n n nm a aaaa aaaa aaaa aaaa A ×× = = L MOMMM L L L 321 3333231 2232221 1131211 OBSERVAÇÕES. 1. Existem outras notações para matrizes, além de colchetes, como parênteses ou duas barras. =× 232221 131211 32 bbb bbb B ou 34333231 24232221 14131211 43 cccc cccc cccc C =× 2. Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes e minúsculas para os seus elementos. 3. Os elementos de uma matriz podem ser números reais ou complexos, funções ou mesmo outras matrizes. 4. Os elementos de uma matriz de ordem n × n que estão nas posições em que i = j, pertencem a diagonal que chamamos de diagonal principal. E a outra diagonal é chamada de diagonal secundária. =× 333231 232221 131211 33 mmm mmm mmm M DIAGONAL SECUNDÁRIA DIAGONAL PRINCIPAL EXEMPLOS. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 2 TIPOS DE MATRIZES. 1. Nula: é a matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero (aij = 0, ∀ i = 1,...,m e j = 1,...,n). EXEMPLOS. 2. Coluna: é a matriz que possui m linhas e uma única coluna (n = 1). EXEMPLOS. 3. Linha: é a matriz que possui uma única linha e n colunas (m = 1). EXEMPLOS. 4. Quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas (m = n), que será chamada de matriz de ordem m. EXEMPLOS. 4.1. Diagonal: é a matriz quadrada que possui todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero (aij = 0, para i ≠ j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n). EXEMPLOS. 4.1.1. Escalar: é a matriz quadrada diagonal que tem os elementos da diagonal principal iguais e os outros iguais a zero (aij = 0, para i ≠ j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n). EXEMPLOS. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 3 4.1.1.1. Identidade: é a matriz escalar que tem os elementos da diagonal principal iguais a um (aij = 1, para i = j e aij = 0, para i ≠ j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n). EXEMPLOS. 4.2. Triangular Superior: é a matriz quadrada que possui todos os elementos abaixo da diagonal principal iguais a zero (e aij = 0, para i > j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n). EXEMPLOS. 4.3. Triangular Inferior: é a matriz quadrada que possui todos os elementos acima da diagonal principal iguais a zero (e aij = 0, para i < j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n). EXEMPLOS. 4.4. Simétrica: é a matriz quadrada que possui os seus elementos simétricos em relação à diagonal principal iguais (aij = aji, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n). EXEMPLOS. 4.5. Anti-Simétrica: é a matriz quadrada que possui os seus elementos simétricos em relação à diagonal principal opostos (aij = – aji, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n). EXEMPLOS. IGUALDADE DE MATRIZES. DEFINIÇÃO 3. Duas matrizes [ ] nmijnm aA ×× = e [ ] srijsr bB ×× = são iguais, A = B, se elas têm o mesmo número de linhas (m = r) e colunas (n = s), e todos os seus elementos correspondentes são iguais (aij = bij). EXEMPLO. Determine x, y, z e t, sabendo que as matrizes A e B são iguais: UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 4 (1) A = − 43 32 zx e B = + + 43 21 y x (2) A = 2 2 54 t yxx e B = ttz xx 5 32 OPERAÇÕES MATRICIAIS. 1. Adição: A soma de matrizes de mesma ordem ou de mesma dimensão, m × n, é ainda uma matriz de ordem m × n, cujos elementos são obtidos pela soma dos elementos correspondentes das matrizes dadas. NOTAÇÃO. Considere as matrizes Am×n = [ ] nmija × e Bm×n = [ ] nmijb × . Então, Cm×n = Am×n + Bm×n ⇔ [ ] [ ] nmijijnmij bac ×× += +++ +++ +++ =× mnmnmmmm nn nn nm bababa bababa bababa C L MOMM L L 2211 2222222121 1112121111 EXEMPLOS. (1) Dadas as matrizes A = 52 41 , B = − 05 23 e C = −− − 158 24 . Calcule D = A + B + C. (2) Dadas as matrizes A = − − 4 33 5 4 219 3 e B = − −− 10 5 1 2819 . Calcule C = A + B. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 5 (3) Dadas as matrizes A = 3 11 5 e B = [ ]321 − . Calcule C = A + B. Como foi definida a adição de matrizes, esta operação tem as mesmas propriedades da adição de números reais. PROPRIEDADES. Considere as matrizes A, B e C de ordem m × n. [P1] Comutativa: A + B = B + A; [P2] Associativa: (A + B) + C = A + (B + C); [P3] Elemento Neutro: A + O = A, onde O é a matriz nula de ordem m × n; [P4] Elemento Simétrico: A – A = O, onde O é a matriz nula de ordem m × n. 2. Subtração: Se o sinal da adição for mudado por subtração tem-se a operação. NOTAÇÃO. Considere as matrizes Am×n = [ ] nmija × e Bm×n = [ ] nmijb × . Então, Cm×n = Am×n – Bm×n ⇔ [ ] [ ] nmijijnmij bac ×× −= −−− −−− −−− =× mnmnmmmm nn nn nm bababa bababa bababa C L MOMM L L 2211 2222222121 1112121111 OBSERVAÇÃO. C = – D ⇔ D = – C EXEMPLOS. (1) Dadas as matrizes A = −− 1741 18911 e B = −− − 110134 1280 . Calcule C = A – B e D = B – A. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 6 (2) Dadas as matrizes A = 4 21 10 e B = 76 522 13 . Calcule C = A – B e D = B – A. (3) Dadas asmatrizes A = − − 24 5 1 2 1 210 e B = − − − 215 5 11 2 3 85 3 . Calcule C = A – B e D = B – A. OBSERVAÇÃO. Em termologia e Álgebra Linear, chamaremos um número (real ou complexo) de escalar. 3. Multiplicação de um escalar por uma matriz: O produto de um escalar por uma matriz de ordem m × n, resulta em uma outra nova matriz também de ordem m × n, cujos elementos é o produto do escalar por cada elemento da matriz dada. NOTAÇÃO. Considere o escalar k e a matriz Am×n = [ ] nmija × . Então, Bm×n = k ⋅ Am×n ⇔ [ ] [ ] nmijnmij akb ×× ⋅= Bm×n = mnmm n n kakaka kakaka kakaka L MOMM L L 21 22221 11211 EXEMPLOS. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 7 (1) Dados o escalar k = 3 e a matriz A = − 41 30 12 . Calcule B = k ⋅ A. (2) Dados o escalar k = 2 1 e a matriz A = − 8 4 1 5 20 . Calcule B = k ⋅ A. (3) Dados o escalar k = – 5 e a matriz A = − −− 1210 3 5 5 202 3 25 41 . Calcule B = k ⋅ A. PROPRIEDADES. Considere as matrizes A e B de mesma ordem, m × n e os escalares k1 e k2. [P1] k1 ⋅ (k2 ⋅ A) = (k1 ⋅ k2) ⋅ A; [P2] k1 ⋅ (A + B) = k1 ⋅ A + k1 ⋅ B; [P3] (k1 + k2) ⋅ A = k1 ⋅ A + k2 ⋅ A; [P4] 0 ⋅ A = O, onde O é a matriz nula de ordem m × n; [P5] 1 ⋅ A = A; [P6] – 1 ⋅ A = – A. 4. Multiplicação entre matrizes: OBSERVAÇÃO PRELIMINAR. O símbolo de somatório (a notação sigma∑ ) : o uso do símbolo de somatório ajuda não somente na designação das localizações dos parâmetros e variáveis, mas também fornece um modo fácil e econômico de indicar somas de termos que surgirão no processo de multiplicação entre matrizes. EXEMPLOS. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 8 (1) ∑ = 4 0i ix = x0 + x1 + x2 + x3 + x4 [Generalizando: ∑ = n i ix 1 = x0 + x1 + x2 + x3 + ... + xn – 2 + xn – 1 + xn] (2) ∑ = 6 3j jax = a ⋅ x3 + a ⋅ x4 + a ⋅ x5 + a ⋅ x6 = a ⋅ (x3 + x4 + x5 + x6) = a ⋅∑ = 6 3j jx O produto matricial A ⋅ B só é definido se o número de colunas da primeira matriz, A, for igual ao número de linhas da segunda matriz, B. A matriz resultante do produto da matriz de ordem m × n, Am×n, por uma matriz de ordem n × p, Bn×p, é uma nova matriz de ordem m × p, Cm×p. NOTAÇÃO. Considere as matrizes Am×n = [ ] nmija × e Bn×p = [ ] pnjkb × . Então, Cm×p = Am×n ⋅ Bn×p = [ ] pmikc × O elemento cik da matriz resultante C é obtido, somando o produto dos elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz. NOTAÇÃO. cik = ai1 ⋅ b1k + ai2 ⋅ b2k + ai3 ⋅ b3k + … + ain ⋅ bnk = ∑ = ⋅ n j jkij ba 1 EXEMPLOS. (1) Dadas as matrizes A = −112 321 e B = − 4 2 1 . Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A. (2) Dadas as matrizes A = − 01 10 e B = − − 32 74 . Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 9 (3) Dadas as matrizes A = 1 5 e B = − 5 1 . Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A. (4) Dada a matriz A = 5 4 5 2 5 2 5 1 . Calcule A2. DEFINIÇÃO 4. A matriz A, de ordem n, que obedece a relação Ak = A, k ≥ 2, é chamada matriz idempotente. EXEMPLO. Outras matrizes idempotentes são as matrizes identidades e as matrizes nulas quadradas. DEFINIÇÃO 5. A matriz B, de ordem n, que obedece a relação Bk = O, k ≥ 2, onde O é a matriz nula de ordem n, é chamada matriz nilpotente. EXEMPLO. Mostre que a matriz A = −− −− − 444 333 111 é nilpotente. PROPRIEDADES. Considere as matrizes A de ordem m × n, B de ordem, n × p, C de ordem p × q. [P1] Associativa: (A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C); UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 10 [P2] Distributiva à direita em relação à adição: (A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C; [P3] Distributiva à esquerda em relação à adição: A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C; [P4] Elemento Neutro: A ⋅ In = A, onde In é a matriz identidade de ordem n × n; Im ⋅ A = A, onde Im é a matriz identidade de ordem m × m; [P5] Elemento Nulo: A ⋅ O1 = O, onde O1 é a matriz nula de ordem n × p; O2 ⋅ A = O, onde O2 é a matriz nula de ordem l × m; [P6] k ⋅ (A ⋅ B) = (k ⋅ A) ⋅ B = A ⋅ (k ⋅ B), onde k é um escalar. OBSERVAÇÃO. Em geral, a multiplicação entre matrizes não é comutativa, isto é, A ⋅ B nem sempre é igual a B ⋅ A. EXEMPLOS. (1) Dadas as matrizes A = − − 34 11 e B = − 12 06 . Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A. (2) Dadas as matrizes A = 321 642 321 e B = − −− − 012 123 111 . Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A. OBSERVAÇÃO. Pelo exemplo anterior temos que B ⋅ A = O, sem que A = O ou B = O, com é verificado para o produto entre números reais, isto é, x ⋅ y = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0. (3) Dadas as matrizes A = 10 21 e B = 0 1 . Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 11 (4) Dadas as matrizes A = 12 21 e B = 21 12 . Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A. MATRIZES TRANSPOSTAS. DEFINIÇÃO 6. Dada uma matriz [ ] nmijnm aA ×× = , pode-se obter uma outra matriz cujas linhas são as colunas da matriz A dada, chamada matriz transposta de A. NOTAÇÃO. Dada a matriz [ ] nmijnm aA ×× = , a sua transposta é a matriz [ ] mnjit mn aA ×× = Am×n = mnmm n n aaa aaa aaa L MOMM L L 21 22221 11211 ⇒ =× mnnn m m t mn aaa aaa aaa A L LOMM L L 21 22212 12111 EXEMPLOS. (1) Dada a matriz A = 30 12 , qual é a sua transposta?(2) Dada a matriz A = − − 569 321 , qual é a sua transposta? UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 12 PROPRIEDADES. Considere as matrizes A de ordem m × n e B de ordem, n × p. [P1] Toda matriz simétrica é igual à sua transposta. [P2] A transposta da transposta de uma matriz A é a própria matriz A. Em símbolos, ( ) AA tt = . [P3] A transposta da soma é a soma das transpostas. Em símbolos, (A + B)t = At + Bt. [P4] O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta At é uma matriz simétrica. [P5] (k ⋅ A)t = k ⋅ At, onde k é um escalar. [P6] (A ⋅ B)t = Bt ⋅ At. DEFINIÇÃO 7. Uma matriz M, de ordem n, que obedece a relação M · Mt= I, onde I é a matriz identidade de ordem n, é chamada matriz ortogonal. EXERCÍCIOS. (1) Dada a matriz simétrica A = − − 802 015 253 , qual a sua transposta? (2) Verifique as propriedades P2, P3, P4 e P5 anteriores, dados o escalar k e as matrizes A = ihg fed cba e B = srq pon mlj . (3) Mostre que a matriz M = − 100 0 2 1 2 3 0 2 3 2 1 é ortogonal. DETERMINANTE. O determinante de uma matriz A só é definido para matrizes quadradas. NOTAÇÃO. det A = det [aij] = A , onde as barras não indica o valor absoluto de A ou o módulo de A. DEFINIÇÃO 8. É um escalar associado a esta matriz, que é obtido dos elementos desta matriz, mediante operações da seguinte forma: 1. se A é uma matriz de ordem 1, então det A é o único de A, isto é, A = [a11] ⇒ det A = a11. EXEMPLOS. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 13 2. se A é uma matriz de ordem 2, então det A é calculada pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária, isto é, A = 2221 1211 aa aa ⇒ det A = a11 a22 – a12 a21. EXEMPLOS. 3. se A é uma matriz de ordem 3, A = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa , então det A é calculada por det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 EXEMPLOS. REGRA PRÁTICA: Regra de Sarrus 1. Repita as duas colunas (ou linhas) ao lado (ou abaixo) da matriz. 2. Os termos precedidos pelo sinal “+” são obtidos multiplicando os elementos da diagonal principal e os elementos das suas paralelas que têm três elementos. 3. Os termos precedidos pelo sinal “–” são obtidos multiplicando os elementos da diagonal secundária e os elementos das suas paralelas que têm três elementos. 3231 2221 1211 333231 232221 131211 aa aa aa aaa aaa aaa ou 232221 131211 333231 232221 131211 aaa aaa aaa aaa aaa EXEMPLOS. Dadas as matrizes abaixo calcule o seu determinante. (1) A = − − 313 420 341 (2) B = −− 233 022 231 (3) I = 100 010 001 UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 14 PROPRIEDADES. Considere uma matriz A de ordem n. [P1] det A = det At [P2] Se a matriz A tem uma linha ou uma coluna qualquer nula, então det A = 0. [P3] Se multiplicar uma linha ou uma coluna da matriz A por um escalar, o determinante desta nova matriz será o determinante da matriz A multiplicado por este escalar. EXEMPLO. Dada a matriz A = − − 740 561 321 , se for multiplicado 2 na 3ª linha é obtido a matriz B = − − 1480 561 321 . Calcule det A e det B. [P4] Se duas linhas forem trocadas da matriz A, então o determinante desta nova matriz tem sinal oposto ao de A. [P5] Se a matriz A tiver linhas ou colunas iguais, então det A = 0. [P6] Se a matriz A tiver linhas ou colunas formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det A = 0. EXEMPLO. Dadas as matrizes A = 163 342 021 e B = − − − 121 230 690 , calcule det A e det B. [P7] Se a matriz A for uma matriz diagonal, triangular superior ou triangular inferior, então o determinante destas matrizes é calculado pelo produto dos elementos da diagonal principal. [P8] Teorema de Binet: det (A ⋅ B) = det A ⋅ det B. [P9] Se a matriz A tiver uma linha ou uma coluna que é combinação linear das outras linhas ou colunas, então det A = 0. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 15 EXEMPLO. Dadas as matrizes A = − 945 314 532 , onde C3 = C1 + C2, e B = 23127 521 432 , onde L3 = 2L1 + 3L2. Calcule det A e det B. [P10] Em geral, det (A + B) ≠ det A + det B. EXEMPLOS. Dadas as matrizes abaixo, calcule seus determinantes e verifique a propriedade P10. (1) A = − 42 31 e B = − 58 06 (2) A = 03 40 e B = −10 02 [P11] Se a matriz M tiver uma linha ou uma coluna que é combinação linear dos elementos desta mesma linha ou coluna das matrizes A e B, então det M = det A + det B. EXEMPLO. Dadas as matrizes A = − 430 220 043 , B = −− 430 131 043 e M = −− 430 351 043 , calcule det A, det B e det M e verifique a propriedade P11. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 16 DESENVOLVIMENTO DE LAPLACE. [Pierre Simon Laplace - (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês] Observe que o determinante da matriz A3×3 pode ser expresso em função dos determinantes de submatrizes de ordem 2×2. 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A = = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 A = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 A = a11 (a22 a33 – a23 a32) – a12 (a21 a33 – a23 a31) + a13 (a21 a32 – a22 a31) 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa a aa aa a aa aa aA +−= 131312121111 AaAaAaA +−= Se ∆ij = (–1)i+j ijA , então 131312121111 ∆+∆+∆= aaaA , onde ijA é o determinante da submatriz obtida retirando a linha i e acoluna j da matriz inicial. DEFINIÇÃO 9. Chama-se cofator ou complemento algébrico do elemento aij o número ∆ij . O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de recorrência que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, onde n ≥ 2, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n – 1. E consiste em somar os produtos dos elementos de uma linha qualquer ou coluna qualquer pelos respectivos cofatores, isto é, ( ) ( ) ( ) ( ) ininninininiiiiiinm aaaaaiaA ∆+∆+∆++∆+∆+∆= −−−−× 11223321211 L ( )∑∑ = + = × −=∆= n j ij ji ij n j ijijnm AaaA 11 1 , onde ijA é o determinante da submatriz obtida retirando a linha i e a coluna j da matriz inicial. EXEMPLOS. (1) Dada a matriz A = 233 512 434 , calcule jA1 , onde j = 1,...,3, e conclua qual o valor de A . UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 17 (2) Dada a matriz B = −− − − 222 112 321 , calcule 2iB , onde i = 1,...,3, e conclua qual o valor de B . (3) Calcule 212 112 321 −− − − =A (4) Calcule 1352 0321 0024 4321 −− −− =B . (5) Calcule 3120 1032 2013 0231 =C . OBSERVAÇÃO. Quanto mais zeros houver em uma linha ou coluna, mais fácil será o cálculo do determinante se for usado esta linha ou coluna. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 18 MATRIZ DOS COFATORES. DEFINIÇÃO 10. A matriz formada pelos cofatores de cada elemento de uma matriz quadrada A, de ordem n, é chamada de matriz dos cofatores. NOTAÇÃO. ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ = nnnnn n n n A L MOMMM L L L 321 3333231 2232221 1131211 , onde ( ) ijjiij A⋅−=∆ +1 MATRIZ ADJUNTA. DEFINIÇÃO 11. Dada a matriz quadrada A, de ordem n, chama-se matriz adjunta de A à matriz transposta da matriz dos cofatores de A. NOTAÇÃO. adj A = tA EXEMPLO. Verifique que a matriz A = − 561 413 012 satisfaz a igualdade ( ) IAAA t ⋅=⋅ det , onde I é a matriz identidade de ordem 3. MATRIZES INVERSÍVEIS. DEFINIÇÃO 12. Dada a matriz A quadrada de ordem n. Diz-se que A é matriz inversível se existir uma matriz A–1, única, que obedece as seguintes relações: A ⋅ A–1 = In e A–1 ⋅ A = In, onde In é a matriz identidade de ordem n. NOTAÇÃO. A matriz inversa de A é a matriz A–1, de ordem n. DEFINIÇÃO 13. Se a matriz quadrada A possui uma inversa, A–1, diz-se que A é uma matriz não-singular. Caso contrário, A é dita matriz singular. EXEMPLOS. (1) A = 72 31 é inversível e A–1 = − − 12 37 , pois: A ⋅ A–1 = = +−− +−− = − − ⋅ 10 01 761414 3367 12 37 72 31 = I2 A–1 ⋅ A = = +−+− −− = ⋅ − − 10 01 7622 212167 72 31 12 37 = I2 UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 19 (2) A matriz A = 84 21 é singular, pois é impossível determinar a, b, c, e d que satisfaça a relação A ⋅ A–1 = I2, onde A–1 = dc ba . PROPRIEDADES. Considere as matrizes quadradas de ordem n, A e B. [P1] ( ) AA =−− 11 ; [P2] ( ) 111 −−− ⋅=⋅ ABBA ; [P3] ( ) ( )tt AA 11 −− = ; [P4] A matriz A só admite inversa se, e somente, se det A ≠ 0; [P5] det A–1 = Adet 1 ; [P6] A–1 = Adet 1 ⋅(adj A) EXEMPLOS. (1) Dada a matriz A–1 = − − 12 37 , determine A, sabendo que A = ( ) 11 −−A . (2) Dadas as matrizes A = 72 31 e B = 20 13 , determine (A ⋅ B)–1, B–1 ⋅ A–1 e verifique a igualdade ( ) 111 −−− ⋅=⋅ ABBA . UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 20 (3) Dada a matriz A = − 25 1 2 3 , verifique a igualdade ( ) ( )tt AA 11 −− = . (4) Dada a matriz A = − − 2 3 2 5 2 7 2 11 , determine det A. (5) Dada a matriz A = 210 412 351 , determine a inversa de A, usando a propriedade P6. PROCESSO DE INVERSÃO DE MATRIZES. Este processo consiste em efetuar operações com as linhas de uma matriz. Operações elementares sobre linhas de uma matriz. (O1) Permutação entre duas linhas, Li ↔ Lj. (O2) Substituição de uma linha por um múltiplo não nulo, Li → kLi, onde k ≠ 0. (O3) Substituição de uma linha pela soma dela com o múltiplo não nulo de outra linha, Li → Li + kLj, onde k ≠ 0. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 21 DEFINIÇÃO 14. Se a matriz B é obtida por uma quantidade finita de operações elementares em A, então se diz que a matriz B é linha-equivalente à matriz A. NOTAÇÕES. A ~ B ou A → B. EXEMPLO. A = +→ → ↔ 351 13165 420 ~ 3 351 412 420 ~ 2 351 412 210 ~ 210 412 351 3221131 LLLLLLL = B ⇒ A ~ B DEFINIÇÃO 15. Uma matriz obtida a partir da matriz identidade através da aplicação de uma única operação elementar sobre linhas é chamada matriz elementar, E. EXEMPLOS. (1) I = ELL = ↔ 001 010 100 100 010 001 31 (2) I = ELLL = +→ 140 010 001 4 100 010 001 233 TEOREMA 1. Toda matriz elementar E, é inversível e sua inversa E–1, é obtida da matriz identidade I, através da operação inversa da que transformou I em E. EXEMPLOS. (1) I = 11111 100 010 00 2 1 ~ 2 1 100 010 001 100 010 002 ~ 2 100 010 001 − = → =⇔= → ELLIE LL (2) I = 13232 010 100 001 100 010 001 010 100 001 100 010 001 − = ↔ =⇔= ↔ ELLIELL (3) I = − −→ =⇔= +→ 140 010 001 ~ 4 100 010 001 140 010 001 ~ 4 100 010 001 233233 LLLIE LLL TEOREMA 2. Se A ~ B então A é inversível se, e somente se, B é inversível UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 22 TEOREMA 3. Uma matriz quadrada A, é inversível se, e somente se, essa matriz é linha-equivalente à matriz identidade, I. Além isso, a seqüência de operações que transforma a matriz A em matriz identidade é a mesma que transforma a matriz identidade na matriz inversa de A, A–1, isto é [A | I] ~ [I | A–1]. EXEMPLO. Dadas as matrizes abaixo calcule a sua inversa usando o teorema 3. (1) A = 43 21 (2) B = 523 420 121 (3) C = − − 3001 1110 1101 0012 MATRIZ ESCADA (L.R.F.E.) DEFINIÇÃO 16. Uma matriz que satisfaz as seguintes condições é chamada matriz linha reduzida à forma escada ou matriz escada. (1) O primeiro elemento não-nulo de uma linha é sempre igual a um. (2) Todas as linhas nulas (se houverem) devem ficar abaixo das linhas não-nulas. (3) Cada coluna que tem o primeiro elemento não-nulo de uma linha tem todos os outros elementos iguais a zero. (4) A quantidade de zeros que precede o primeiro elemento não-nulo de uma linha aumenta a cada linha, até que sobrem somente linhas nulas, se houverem. EXEMPLOS. Verifique quais matrizes abaixo são matrizes escada. Justifique as respostas. (1) A = − 0200 0110 0001 (2) B = − 000 301 120 (3) C = − − 21000 00000 10310 (4) D = 00000 31000 20100 20010 UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 23 (5) E = (6) I4 = 1000 0100 0010 0001 TEOREMA 4. Toda matriz é linha-equivalente a uma única matriz escada. EXEMPLOS. Determine a matriz linha-equivalente na forma escada (ou linha reduzida à forma escada - LRFE) das matrizes abaixo. (1) A = − 654 321 (2) B = − 4112 2051 3420 DEFINIÇÃO 17. Seja A uma matriz de ordem m×n e B a sua matriz linha-equivalente à forma escada, também de ordem m×n. Chama-se posto da matriz A, a quantidade de linhas não nulas da matriz B. NOTAÇÃO. Posto da matriz A: PA OBSERVAÇÃO. Dada uma matriz A qualquer, para determinar seu posto PA deve-se primeiro determinar sua matriz linha-equivalente à forma escada e depois contar suas linhas não-nulas DEFINIÇÃO 18. Seja A uma matriz de ordem m×n. Chama-se nulidade da matriz A, a diferença entre a quantidade de colunas de A e seu posto. NOTAÇÃO. Nulidade da matriz A: NA = n – PA EXEMPLO. Dadas as matrizes abaixo, determine o posto e a nulidade de cada matriz. (1) A = 42 21 UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 24 (2) A = 311 142 021 SISTEMA DE EQUAÇÃO LINEAR. DEFINIÇÃO 19. Uma equação linear com “n” incógnitas x1, x2, ... , xn é toda equação de 1º grau, do tipo a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1(n – 1)x(n – 1) + a1nxn = b, onde cada a1j , com j = 1,2,...,n, é um escalar, chamado coeficiente da equação e b, também é um escalar, chamado termo independente da equação. EXEMPLOS. São equações lineares Não são equações lineares (1) 2x1 – 3x2 + 4x3 = 5 (1) 2 21x + 4x2+ 3x3 = 0 (2) x1 – x2 – 5x3 + 7x4 = 6 (2) 2x1x2 + 3x3 – 4x4 = – 3 (3) 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 (3) x1 + 2x – 2x3 = 8 (4) 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = – 4 (4) x1 – x2 + 13−x = 1 DEFINIÇÃO 20. Uma solução da equação linear a11x1 + a12x2 + ... + a1(n – 1)x(n – 1) + a1nxn = b é a n-úpla ordenada de escalares (s1, s2 ,..., s(n – 1), sn), que satisfaz a equação dada, isto é, quando a sentença a11s1 + a12s2 + ... + a1(n – 1)s(n – 1) + a1nsn = b é verdadeira. EXEMPLOS. (1) 2x1 – 3x2 + 4x3 = 5 A tripla ordenada 4 3 ,0,1 é solução da equação, pois 2(1) – 3(0) + 4 4 3 = 2 + 3 = 5. (2) 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 Qualquer tripla ordenada (s1, s2, s3) é solução da equação. (3) 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 4 Qualquer quádrupla ordenada (s1, s2, s3, s4) NÃO satisfaz equação, pois 0s1 + 0s2 + 0s3 + 0s4 ≠ 4. Então, 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 4 é uma sentença FALSA, ∀s1, s2, s3, s4 ∈R (ou C). DEFINIÇÃO 21. Um sistema de equações lineares de “m” equações e “n” incógnitas é um conjunto de equações de 1º grau do tipo S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++++ =++++ =++++ −− −− −− mnmnnnmmm nnnn nnnn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa 112211 22112222121 11111212111 L MMMMM L L . DEFINIÇÃO 22. Uma solução do sistema de equações lineares S é a n-úpla ordenada de escalares (s1, s2, ..., sn), que satisfaz simultaneamente todas as “m” equações do sistema S. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 25 S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++++ =++++ =++++ −− −− −− mnmnnnmmm nnnn nnnn bsasasasa bsasasasa bsasasasa 112211 22112222121 11111212111 L MMMMM L L . DEFINIÇÃO 23. Quando um sistema de equações lineares tem todos os seus termos independentes iguais a zero, é chamado de sistema de equações lineares homogêneo. EXEMPLOS. (1) S1 =− =+ 02 02 21 21 xx xx (2) S2 =+− =+− =−+ =+− 065 043 02 02 zyx zyx zyx zyx CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA SEGUNDO A SUA SOLUÇÃO Dado um sistema com “m” equações e “n” incógnitas, este sistema pode ser: (1) Possível ou compatível: é o sistema que admite solução, podendo ser: (1.1) Possível determinado: só admite uma única solução; (1.2) Possível indeterminado: admite mais de uma solução (infinitas soluções). (2) Impossível ou incompatível: é o sistema que não admite solução. EXEMPLOS. Determine a solução dos sistemas abaixo, quando houver, e classifique-os segundo a sua solução. (1) S1 =− =+ 12 32 21 21 xx xx UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 26 (2) S2 =+− =++ 432 12 321 321 xxx xxx (3) S3 =+− =+− =−+ 0532 0 01223 zyx zyx zyx (4) S4 =− =+ 02 02 yx yx OBSERVAÇÃO. Todo sistema homogêneo admite sempre a solução (s1, s2, ..., s(n – 1), sn ) = (0, 0, ... , 0), chamada solução nula, trivial ou imprópria. Portanto, um sistema homogêneo é sempre possível. Se for determinado, admitirá a solução trivial, e se for indeterminado, admitirá além da solução trivial, outras soluções não nulas, chamadas soluções próprias. SISTEMAS E MATRIZES Pode-se escrever o sistema de “m” equações lineares e “n” incógnitas UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 27 S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++++ =++++ =++++ −− −− −− mnmnnnmmm nnnn nnnn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa 112211 22112222121 11111212111 L MMMMM L L , como uma igualdade de matrizes, onde o primeiro membro é um produto entre matrizes. Assim; = × nnmnmm n n b b b x x x aaa aaa aaa MM L MOMM L L 2 1 2 1 21 22221 11211 . Isto é, na forma matricial Am×n × Xn×1 = Bm×1, onde A é a matriz dos coeficientes de ordem m×n, X é a matriz coluna das incógnitas e B é a matriz coluna dos termos independentes. DEFINIÇÃO 24. Associa-se ao sistema S uma outra matriz formada pela matriz dos coeficientes acrescida da coluna da matriz dos termos independentes. Chama-se esta matriz de matriz ampliada do sistema S, dada por M = mmnmm n n baaa baaa baaa L MMOMM L L 21 222221 111211 . EXEMPLOS. Dados os sistemas abaixo, determine as matrizes dos coeficientes, das incógnitas, dos termos independentes e a ampliada. (1) S1 =+− −=−+ 123 452 421 321 xxx xxx Matriz dos coeficientes Matriz das incógnitas A = − − 1023 0512 X = 4 3 2 1 x x x x Matriz dos termos independentes Matriz ampliada B = − 1 4 M = − −− 11023 40512 UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 28 (2) S2 =+−− =++ =−+ 38 979 5462 543 432 321 xxx xxx xxx SISTEMA DE CRAMER (REGRA) O cálculo da inversa de uma matriz fornece um método de resolução de sistemas lineares de equações. Porém, este só é aplicado em sistemas de equações lineares quadrados, isto é, o sistema que tem a quantidade de equações igual à quantidade de incógnitas. Suponha resolver o sistema linear de “n” equações e “n” incógnitas, S =++ =++ nnnnn nn bxaxa bxaxa L MMM L 11 11111 que na forma matricial é dado por = ⋅ nnnnn n b b x x aa aa MM L MOM L 11 1 111 ⇔ A ⋅ X = B, onde A é a matriz dos coeficientes de ordem n, X é a matriz coluna das incógnitas e B é a matriz coluna dos termos independentes. Para esta equação suponha que det A ≠ 0 e portanto, que a matriz A tem inversa A–1. Então A–1 ⋅ (A ⋅ X) = A–1 ⋅ B (A–1 ⋅ A) ⋅ X = A–1 ⋅ B In ⋅ X = A–1 ⋅ B X = A–1 ⋅ B X = Adet 1 ⋅(adj A) ⋅ B Na forma matricial A bb x nn det 1111 1 ∆++∆ = L A bb x nn det 2121 2 ∆++∆ = L M A bb x nnnnn det 11 ∆++∆ = L Observe que o numerador destas frações é igual ao determinante da matriz que é obtida da matriz A, substituindo a primeira coluna pela matriz dos termos independentes. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 29 REGRA. Considere um sistema quadrado S, isto é, com “n” equações e “n” incógnitas. Se det A ≠ 0, onde A é a matriz dos coeficientes deste sistema S, então S será um sistema possível determinado e terá a única solução (s1, s2,..., sn). Cada solução sj é determinada pela seguinte relação sj = A A j det det , onde Aj é a matriz obtida de A, substituindo a j-ésima coluna pela coluna dos termos independentes do sistema S. EXEMPLOS. Dados os sistemas abaixo, determine sua solução pela regra de Cramer, se houver. (1) S1 =+− −=−− =++ 12 4 6 321 321 321 xxx xxx xxx (2) S2 =− =+ 54 432 21 21 xx xx UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 30 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES EQUIVALENTES DEFINIÇÃO 25. Dois ou mais sistemas são equivalentes quando têm a mesma solução. EXEMPLO. S1 =− =+ 732 1 yx yx e S2 −=+− =− 732 823 yx yx Os sistemas S1 e S2 são equivalentes, pois têm como solução o par ordenado (2, –1). TEOREMA 5. Dois ou mais sistemas são equivalentes se, e somente se, suas matrizes ampliadas são equivalentes . EXEMPLO. S1 =+ =+ 542 3 yx yx , onde a matriz ampliada é M1 = 542 311 S2 =+ =+ 853 622 yx yx , onde a matriz ampliada é M2 = 853 622 S3 =+ −=−− 622 853 yx yx , onde a matriz ampliada é M3 = −−− 622 853 MÉTODO DE GAUSS Consiste em reduzir a matriz ampliada associada de um sistema à uma matriz que difere da matriz linha-equivalente à forma escada (LRFE) na condição 3 da sua definição, que dizia: “cada coluna que tem o primeiro elemento não nulo de uma linha tem todos os outros elementos iguais a zero” e passa a ser: “cada coluna que tem o primeiro elemento não nulo de uma linha tem todos os elementos abaixo desta linha iguais a zero”. Uma vez reduzida a matriz ampliada a esta forma, a solução final do sistema é obtida por substituição. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 31 EXEMPLOS. Dados os sistemas abaixo, determine sua solução pelo método de Gauss, se houver. (1) S1 =−− =++ =++ 523 4452 134 zyx zyx zyx � Matriz ampliada associada a S1: −− 5231 4452 1341 (2) S2 =++ =++ =+− 0124 0652 032 zyx zyx zyx (3) S3 =+− =+− =+− 022 42 1 zyx zyx zyx UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 32 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA SEGUNDO A RELAÇÃO ENTRE O POSTO DA MATRIZ DOS COEFICIENTES C [PC] E O POSTO DA SUA MATRIZ AMPLIADA A [PA] Dado um sistema com “m” equações e “n” incógnitas, este sistema será: (1) Possível (terá solução), quando PC = PA podendo ser: (1.1) Possível determinado (única solução), quando PC = PA = n; (1.2) Possível indeterminado (infinitas soluções), quando PC = PA < n. (2) Impossível (não terá solução), quando PC < PA. EXEMPLOS. Determine a solução dos sistemas abaixo, quando houver, e classifique-os segundo a sua solução. (1) S1 =− =+ 12 32 yx yx (2) S2 =+− =++ 432 12 zyx zyx (3) S3 −=+ =+ 563 42 yx yx UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 33 1. Considere as matrizes ( ) 22xijaA = , tal que ≠ =+ = ji jiji aij ,0 , e ( ) 22xijbB = , tal que jibij 32 −= . Determine A + B. 2. Determine x · y para que se tenha − + = + − 43 11 418 21 xy y x yx . 3. Sabendo que A = (aij)2 x 3 = 1, se , se i j i j i j = + ≠ e B = (bij)3 x 3 = 0, se 2 , se , se i j i j i j j i j = + > < , determine (A ⋅ B)t. 4. Que tipo de matriz é a matriz C, sabendo que A = (aij)3 x 3, onde aij = ≠− = ji,ij ji, se se 0 , B = (bij)3 x 3, onde bij = >+ = <−− ji,ji ji,i ji,ji se se se e C = A – B? 5. Considere as seguintes matrizes: − = 43 21 A , − = 76 05 B , − − = 562 431 C , = 43 21 D e = 116 45 E . (a) Determine 5 ⋅ A – 2 ⋅ B e 2 ⋅ A + 3 ⋅ B. (b) Determine A2 = A ⋅ A e A ⋅ C. (c) Mostre que as matrizes D e E comutam e A e B não comutam. 6. Determine as matrizes de ordem 2 e 3 que comutam, respectivamente, com: (a) 10 11 (b) 100 110 011 7. Determine, se possível, ℜ∈x para que a matriz + − 01 40 120 3 2 xx xx x seja: (a) Simétrica (b) Anti-simétrica UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 34 8. Dada a matriz −= 030 211 202 A , mostre que tAAS ⋅= é uma matriz simétrica. 9. Dada a matriz = 63 21 A , determine uma matriz ( ) 32xijbB = , com elementos distintos, tal que A ⋅ B = O, onde O é matriz nula de dimensão 2 × 3. 10. Seja −− −− − = 455 343 112 A . Mostre que A é idempotente. 11. Seja −− −− − = 444 333 111 B . Mostre que B é nilpotente de índice 2. 12. Seja ( ) 1032 −+= xxxg . Mostre que − = 43 21 A é uma raiz do polinômio ( )xg . 13. Resolva as equações matriciais abaixo: (a) − − =⋅ 1 1 32 43 X (b) =⋅ 2 7 5 132 012 001 Y (c) =⋅ + 72 71 53 21 55 22 W 14. Calcule o determinante das matrizes abaixo: (a) − 24 13 (b) yy xx cossen sencos (c) − yy xx cossen cossen (d) − xx xx sencos cossen (e) − 241 325 431 (f) − −− −−− 300 520 641 UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 35 (g) 3120 1032 2013 0231 (h) 01 0 0010 10 ab baa ba (i) d c b a 0000 1000 2100 3210 54321 15. Determine x nas equações abaixo: (a) 11 1354 22 = −+ − xx xx (b) 0 11 11 11 = − − x x x 16. Determine a área S do triângulo cujos vértices são ( ) ( ) ( )6,0 e 3,2 ,1,4 −− CBA , usando a fórmula ABCDS 2 1 = , onde 1 1 1 CC BB AA ABC YX YX YX D = . 17. Sejam A, B e C matrizes inversíveis de mesma ordem. Determine X sabendo-se que: (a) A ⋅ X ⋅ B = C (b) A ⋅ ( B + X) = A (c) A ⋅ C ⋅ X ⋅ B = C (d) ( ) ( ) 11 −− ⋅=⋅⋅⋅ CCXABA (e) tt ABXBA =⋅⋅⋅ −1 18. Dada a matriz ℜ∈ − = θθθ θθ , 100 0cossen 0sencos M , calcule M ⋅ Mt e conclua que 1−= MM t . 19. Usando operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa. (a) = 72 31 A (b) − − = 140 214 152 B (c) − − − = 210 423 211 C 20. Determine o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes: A = 0 0 0 1 0 0 0 4 1 B = 1 0 0 0 0 0 1 0 C = − 20 41 D = 2 1 0 0 1 0 0 1 E = 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 21. Sabendo-se que N(A) = nulidade de uma matriz A e P(A) = posto de uma matriz A, exemplifique, se possível, matrizes que satisfaçam as condições dadas abaixo. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 36 (a) B2× 3 , P(B) = 2 (d) F2× 3 , N(F) = 2 (g) J3, P(J) = 2 (b) C3× 2 , P(C) = 3 (e) G4× 3 , N(G) = 0 (c) D2× 4 , P(D) = 3 (f) H3, N(H) = 0 22. Sabendo-se que A = B, onde − = 8243 16 1 2 2log aA e = ca B b 5 92 , determine a + b + c. 23. Associe à figura abaixo à uma matriz A, de ordem 4, cujos elementos são definidos por aij = 1 se os pontos i e j estiverem ligados; caso contrário aij = –1. Calcule o determinante da matriz A, assim formada. 1 2 3 4 LISTA DE EXERCÍCIOS 24. Verifique se as seguintes sentenças são verdadeiras ou falsas. (A) Se duas linhas (colunas) de A são trocadas, para se tornar a matriz B, então: det (B) = –det (A). (B) Se AT é a transposta da matriz A, então det (AT) = det (A). (C) Se os elementos de uma linha (ou coluna) de A são multiplicadas por uma constante c, o valor do determinante da nova matriz é c ⋅ det (A). (D) Se qualquer linha (ou coluna) de A é um múltiplo de qualquer outra linha (ou coluna) de A, então o determinante da matriz A é nulo. (E) A matriz transposta de uma matriz simétrica é a própria matriz. (F) A matriz transposta de uma matriz linha é uma matriz linha. (G) A matriz transposta da matriz transposta de uma matriz A, é a matriz transposta da matriz A. (H) A soma de uma matriz A, de ordem 3 × 1, com uma matriz B, de ordem 1 × 3, é uma matriz de ordem 3 × 3. (I) O produto de uma matriz A, de ordem m × n, por uma matriz B, de ordem n × p, sendo m, n e p números inteiros positivos quaisquer, é tal que AB = BA. (J) Se A e B são matrizes de ordem 5 × 6 e 6 × 7 respectivamente, então A ⋅ B é uma matriz 5 × 7 e não existe B ⋅ A. (K) Se A e B são matrizes de ordem 3 × 5 e 5 × 3 respectivamente, então A ⋅ B é uma matriz 3 × 3 e B ⋅ A é uma matriz de ordem 5 × 3. (L) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3, então A ⋅ B e B ⋅ A também são matrizes quadradas de ordem 3. (M) Se A, B e C são matrizes de ordem 3 × 3, 3 × 1 e 2 × 1 respectivamente, então C ⋅ (A ⋅ B) é uma matriz 2 × 1. 25. Identifique as matrizes que compõem os sistemas abaixo. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 37 (a) S1 =+ =−− 523 04 yx yx (c) S3 =−+ −=+ =+− 724 132 13 zyx zx zyx (e) S5 −=++ =−−+− =+− =+++ 122 0 22 1 tzx tzyx zyx tzyx (b) S2 −=− =− 33 22 xy yx (d) S4 −=−+ =++ =−− 323 442 5 zxy zyx zxy (f) S6 =+−+ −=−−− =+− =+++ 032 12 22 1 xytz tzyx zxy tzyx 26. Resolva os sistemas da questão anterior pela regra de Cramer. 27. Mostre que os sistemas abaixo são compatíveis determinados. (a) S1 =− =−+ =+− 75 123 32 yx zyx zyx (c) S3 =++ =−− =++ 0223 1 1 zxy yxz zyx (e) S5 =+− −=+− =++ 12 232 1 xzy zxy zyx (b) S2 =++ =−− =−+ 42 12 0 yzx zyx zyx (d) S4 =+ −=− =+− 123 243 223 yx yz zyx (f) S6 =+−− −=−+− −=−+ =+++ 424 32 22 2 tzxy tzyx tyx tzyx LISTA DE EXERCÍCIOS 28. Quais dos sistemas abaixo estão na forma escalonada? (a) S1 =+ =+ 26 13 zy yx (c) S3 =+ =+ 12 32 yx yx (e) S5 =+ =+− =−+− 2 32 43 tz tzy tzyx (b) S2 =− =+− 1 532 zy zyx (d) S4 =+ =+ =− 12 03 032 zy zx yx (f) S6 −=+− =−+ =++ 43 32 92 zyx zyx zyx 29. Determine a matriz linha reduzida à forma escada (LRFE) de cada uma das seguintes matrizes: A = 1 0 0 0 0 1 2 2 0 0 4 1 B = − − 010 022 011 C = −− −− 2212 1231 D = − 332 412 310 E = 2 0 0 0 0 3 30. Descreva todas as possíveis matrizes 2 × 2 que estão na forma LRFE. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 38 31. Verifique que: “toda matriz LRFE é triangular superior”. Exiba um contra-exemplo para mostrar que a recíproca desta afirmação é verdadeira. 32. Por definição, uma matriz elementar, E, é a matriz obtida a partir da matriz identidade através da aplicação de uma única operação elementar sobre linhas. Considere as matrizes abaixo: a. Justifique se E1 e E2 são matrizes elementares. Em caso afirmativo, indique as operações elementares O1 e O2 que transforma a matriz identidade de dimensão 3 em E1 e E2, respectivamente. b. Calcule as matrizes B = E1 ⋅ A, C = E2 ⋅ B e D = E2 ⋅ E1 ⋅ A c. Determine as matrizes F, G e H, tais que F é obtida de A aplicando nas linhas de A a operação elementar O1 do item (a); G é obtida de B aplicando nas linhas de A a operação elementar O2 do item (a) e H é obtida de A aplicando nas linhas de A a operação elementar O1 e O2, nesta ordem. d. Compare as matrizes determinadas nos itens (b) e (c). O que se pode concluir sobre a multiplicação de matrizes elementares à esquerda de uma matriz A e aplicação de operações elementares nas linhas de A, correspondentes às matrizes elementares. 33. Determine o posto das matrizes dos coeficientes e das matrizes ampliadas dos sistemas abaixo, classifique-os segundo a relação entre posto da matriz dos coeficientes e da sua matriz ampliada e resolva-os por qualquer método estudado. (a) S1 =− =+ 123 22 yx yx (c) S3 =+ =+ 52 42 yx yx (e) S5 =++ =++− =−+− 322 132 23 xyz xzy zyx (b) S2 =+− =++ 432 12 zyx zyx (d) S4 =++ =−+− =−+ 222 134 42 zyx zyx zyx (f) S6 −=++ =+− =++ 12 2 2 zyx zyx zyx LISTA DE EXERCÍCIOS 34. Considere a matriz B = − − 0121 3112 1111 . Determine: a. uma matriz N, tal que N ~ B e N é LRFE; b. uma matriz inversível M de ordem 3, tal que N = M ⋅ B. 35. Em cada um dos seguintes itens considere a matriz escalonada linha equivalente à matriz ampliada de um sistema. A partir dessas matrizes, discuta o sistema original e dê o conjunto-solução, quando for o caso. (a) M1 = 00000 31210 52101 (c) M3 = 1000 0310 0201 UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 39 (b) M2 2100 2010 3001 (d) M4 = 5410 2301 36. Escalone, classifique e determine a solução dos seguintes sistemas: (a) S1 =− =+ 532 35 yx yx (f) S6 =−+− =++− =−− 23 3252 532 zyx zyx zyx (b) S2 =+ =+ 42 250 yx y,x (g)S7 −=− −=−+ −=−+ 953 2223 622 zx zyx zyx (c) S3 −=++ =++ =++ 10435 4453 223 zyx zyx zyx (h) S8 =++ =++ =+− 1 643 42 zyx zyx zyx (d) S4 −=+− =++− =−− 22 2 12 zyx zyx zyx (i) S9 =+− =−− 2 4 zyx zyx (e) S5 −=− −=− =+ 432 123 3 yx yx yx (j) S10 =−+ =−+ =−+ 3463 2242 032 zyx zyx zyx 37. Determine os valores de a e b que tornam o sistema S −+=+ +=+ =+ =− 12 2535 73 bayx bayx byx ayx , possível determinado. LISTA DE EXERCÍCIOS 38. Determine o valor de k para que os sistemas abaixo sejam compatíveis indeterminados. (a) S1 =++ =++ =++ 073 052 023 zyx kzyx zyx (b) S2 −=− =− =− kxy zx yz 332 224 143 (c) S3 =−+− =+− −=−+ kzyx zyx z,yx 242 43 1602 39. Discuta em função de k os seguintes sistemas: UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 40 (a) S1 =− =− =+− kyx yx yx 2 045 234 (c) S3 =+− =+− =+− 0 32 222 zkyx kzyx kzyx (b) S2 =−+ =−+ 2 0 zykx kzyx (d) S4 −=++ =−− −=+ 54 2 2 zkyx kzyx kzx RESPOSTAS 1. − 21 41 2. 10 3. ( ) =⋅ 1212 4634 4043 tBA 4. −−− −− − = 366 624 641 C é uma matriz anti-simétrica 5. (a) 5 ⋅ A – 2 ⋅ B = 3427 105 − − e 2 ⋅ A + 3 ⋅ B = − 1312 417 (b) A2 = 229 67 − − e A ⋅ C = −− − 32335 695 6. (a) Ryx x yx ∈∀ , , 0 (b) Rzyx x yx zyx ∈∀ ,, , 00 0 7. (a) 0=x (b) 2−=x 8. − −= 930 366 068 S 9. −−− = 321 642 B . Existem outras. 12. ( ) OAg = 13. (a) − = 1 1 X (b) −= 1 3 5 Y (c) −− = 130 211 W RESPOSTAS 14. (a) 10 (b) ( )yx +cos (c) ( )sen x y+ (d) 1 (e) 49 (f) –6 (g) 48 (h) a2 + b2 (i) abcd UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 41 15. (a) 21ou 1 =−= xx (b) 1ou 0 == xx 16. 25 17. (a) 11 .. −−= BCAX (b) BIX −= (c) ( ) 11 ... −−= CACBX (d) BX = (e) ( ) BAABX tt ... 11 −−= 18. 1−=⇒=⋅ MMIMM tt . M é chamada de matriz ortogonal. 19. (a) − − = − 12 371A (b) − − − = − 2711274278 274271272 616161 1B (c) C não é inversível. 20. P(A) = 2 e N(A) = 1 P(B) = 2 = N(B) P(C) = 2 e N(C) = 0 P(D) = 2 e N(D) = 0 P(E) = 3 e N(E) = 0 21. (a) B = 010 001 (b) Impossível (c) Impossível (d) F = 000 001 (e) G = 000 100 010 001 (f) H = 100 010 001 (g) J = 000 010 001 OBSERVAÇÃO. Estes exemplos não são únicos. 22. a + b + c = –4 23. det A = 0 24. (A) V, (B) V, (C) V, (D) V, (E) V, (F) F, (G) F, (H) F, (I) F, (J) V, (K) F, (L) V, (M) F 25. (a) Matriz dos coeficientes: −− 23 41 Matriz das incógnitas: y x Matriz dos termos independentes: 5 0 Matriz ampliada: −− 523 041 (b) Matriz dos coeficientes: − − 31 12 Matriz das incógnitas: y x Matriz dos termos independentes: − 3 2 Matriz ampliada: −− − 331 212 RESPOSTAS UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 42 (c) Matriz dos coeficientes: − − 214 302 113 Matriz das incógnitas: z y x Matriz dos termos independentes: − 7 1 1 Matriz ampliada: − − − 7214 1302 1113 (d) Matriz dos coeficientes: − −− 231 412 111 Matriz das incógnitas: z y x Matriz dos termos independentes: − 3 4 5 Matriz ampliada: −− −− 3231 4412 5111 (e) Matriz dos coeficientes: −−− − 1202 1111 0112 1111 Matriz das incógnitas: t z y x Matriz dos termos independentes: −1 0 2 1 Matriz ampliada: − −−− − 11202 01111 20112 11111 (f) Matriz dos coeficientes: − −−− − 2131 1112 0121 1111 Matriz das incógnitas: t z y x Matriz dos termos independentes: − 0 1 2 1 Matriz ampliada: − −−−− − 02131 11112 20121 11111 26. (a) − 2 1 ,2 (b) − 5 4 , 5 3 (c) ( )1,1,1 − (d) (–2,3,0) (e) − 2 2 11 2 14 ,,, (f) (0,0,2,–1) 27. Todos os sistemas são compatíveis determinados (têm solução única), pois o determinante da matriz dos coeficientes de cada sistema é diferente de zero. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 43 28. Está na forma escalonada o sistema dos itens (a), (b) e (e). RESPOSTAS 29. LRFEA = − 1000 0 6 110 0 3 201 LRFEB = 000 010 001 LRFEC = − − 0 5 210 1 5 401 LRFED = 100 010 001 LRFEE = 00 10 01 30. 00 00 , 00 10 , 10 01 e 00 1 k , com k ∈ R 31. A matriz 000 10 1 c ba , com a, b, c ∈ R, é triangular superior, mas não é LRFE. 32. (a) E1 é uma matriz elementar, pois é obtida da matriz identidade I3 a partir da operação elementar O1: 33 3 1 LL → e E2 é uma matriz elementar, pois é obtida da matriz identidade I3 a partir da operação elementar O2: 311 LLL +→ . (b) B = − 010 100 011 , C = 010 100 001 e D = C (c) F = B; G = H = C (d) Efetuar uma operação elementar sobre as linhas de uma matriz A é equivalente a multiplicar à esquerda de A uma matriz elementar correspondente à operação elementar aplicada. 33. (a) PC = PA = 2 = n. Sistema possível (compatível) determinado de solução única 8 13 4 3 , . (b) PC = PA = 2 < n = 3. Sistema possível (compatível) indeterminado (infinitas soluções). (c) PC = 1 ≠ PA = 2. Sistema impossível (incompatível). (d) PC = PA = 2 = n. Sistema possível (compatível) determinado de solução única −− 5 6 5 1 5 9 ,, (e) PC = PA = 2 < n. Sistema possível (compatível) indeterminado (infinitas soluções). (f) PC = 1 ≠ PA = 2. Sistema impossível (incompatível). UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 44 34. (a) N = − 2100 3010 4001 (b) M = −− − − 3 1 3 11 3 1 3 21 011 RESPOSTAS 35. (a) S1 é um sistema possível (compatível) indeterminado com duas variáveis livres, tal que S1 = {(x, y, z, w) ∈ R4; x = 5 − z − 2w e y = 3 − 2z − w}. (b) S2 é um sistema possível (compatível) determinado de solução única S2 = {(3, 2, 2)}. (c) S3 é um sistema impossível (incompatível). (d) S4 é um sistema possível (compatível) indeterminado com uma variável livre, tal que S4 = {(x, y, z) ∈ R3; x = 2 − 3z e y = 5 − 4z} 36. (a) S1 é um sistema possível (compatível) determinado de solução única 13 1 13 34 , . (b) S2 é um sistema possível (compatível) indeterminado de infinitas soluções do tipo (x, 4 – 2x), ∀ x ∈ R. (c) S3 é um sistema impossível (incompatível). (d) S4 é um sistema possível (compatível) determinado de solução única (−11, −6, −3). (e) S5 é um sistema possível (compatível) determinado de solução única (1, 2). (f) S6 é um sistema impossível (incompatível). (g) S7 é um sistema possível (compatível) determinado de solução única (2, −1, 3). (h) S8 é um sistema possível (compatível) indeterminado de infinitas soluções do tipo −− z, z , z 2 3 2 35 , ∀ z ∈ R. (i) S9 é um sistema possível (compatível) indeterminado de infinitas soluções do tipo (y + 3, y, −1), ∀ y ∈ R. (j) S10 é um sistema possível (compatível) indeterminado de infinitas soluções do tipo, −− 2 1 2 3 ,y,y , ∀ y ∈ R. 37. a = 2 e b = 4 38. (a) k = 2 3 (b) k = 5 (c) k = –6 39. (a) Se k = −6, então o sistema S1 é possível (compatível) determinado de solução única (−8, −10). Se k ≠ −6, então o sistema S1 é impossível (incompatível). (b) Se k ≠ 1, então o sistema S2 é possível (compatível) indeterminado. Se k = 1, então o sistema S2 é impossível (incompatível). (c) Se k ≠ 2, então o sistema S3 é possível (compatível) determinado de solução única (k + 2, 1, −2). Se k = 2, então o sistema S3 é possível (compatível) indeterminado. UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) Cursos de Engenharia Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 45 (d) Se k ≠1 e k ≠ −4, então o sistema S4 é possível (compatível) determinado. Se k = −4, então o sistema S4 é impossível (incompatível). Se k = 1, então o sistema S4 é possível (compatível) indeterminado de soluções infinitas do tipo x = −z − 2 e y = −3z − 3, com (x, y, z) ∈ R3.
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