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Matrizes Sistemas

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UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) 
Cursos de Engenharia 
Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 
 
 
 1 
 
 
 
APOSTILA RESUMO 
Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares 
 
MATRIZ. 
 
DEFINIÇÃO 1. É uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas. 
 
ORDEM OU DIMENSÃO. 
 
DEFINIÇÃO 2. A ordem de uma matriz é o número de linhas e colunas. 
 
NOTAÇÃO. Representaremos a matriz A de m linhas e n colunas, isto é, a matriz A de ordem m por n, por 
 
[ ]
nmij
mnmmm
n
n
n
nm a
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
××
=
















=
L
MOMMM
L
L
L
321
3333231
2232221
1131211
 
OBSERVAÇÕES. 
 
1. Existem outras notações para matrizes, além de colchetes, como parênteses ou duas barras. 
 






=×
232221
131211
32 bbb
bbb
B ou 
34333231
24232221
14131211
43
cccc
cccc
cccc
C =× 
 
2. Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes e minúsculas para os seus elementos. 
 
3. Os elementos de uma matriz podem ser números reais ou complexos, funções ou mesmo outras 
matrizes. 
 
4. Os elementos de uma matriz de ordem n × n que estão nas posições em que i = j, pertencem a diagonal 
que chamamos de diagonal principal. E a outra diagonal é chamada de diagonal secundária. 
 










=×
333231
232221
131211
33
mmm
mmm
mmm
M 
DIAGONAL SECUNDÁRIA DIAGONAL PRINCIPAL 
 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) 
Cursos de Engenharia 
Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
TIPOS DE MATRIZES. 
 
1. Nula: é a matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero (aij = 0, ∀ i = 1,...,m e j = 1,...,n). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
2. Coluna: é a matriz que possui m linhas e uma única coluna (n = 1). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
3. Linha: é a matriz que possui uma única linha e n colunas (m = 1). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
4. Quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas (m = n), que será 
chamada de matriz de ordem m. 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
4.1. Diagonal: é a matriz quadrada que possui todos os elementos fora da diagonal principal iguais a 
zero (aij = 0, para i ≠ j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
4.1.1. Escalar: é a matriz quadrada diagonal que tem os elementos da diagonal principal iguais e 
os outros iguais a zero (aij = 0, para i ≠ j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) 
Cursos de Engenharia 
Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 
 
 
 3 
 
4.1.1.1. Identidade: é a matriz escalar que tem os elementos da diagonal principal iguais a 
um (aij = 1, para i = j e aij = 0, para i ≠ j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
4.2. Triangular Superior: é a matriz quadrada que possui todos os elementos abaixo da diagonal 
principal iguais a zero (e aij = 0, para i > j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
4.3. Triangular Inferior: é a matriz quadrada que possui todos os elementos acima da diagonal 
principal iguais a zero (e aij = 0, para i < j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
4.4. Simétrica: é a matriz quadrada que possui os seus elementos simétricos em relação à diagonal 
principal iguais (aij = aji, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
4.5. Anti-Simétrica: é a matriz quadrada que possui os seus elementos simétricos em relação à 
diagonal principal opostos (aij = – aji, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n). 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
 
IGUALDADE DE MATRIZES. 
 
DEFINIÇÃO 3. Duas matrizes [ ]
nmijnm aA ×× = e [ ] srijsr bB ×× = são iguais, A = B, se elas têm o mesmo número 
de linhas (m = r) e colunas (n = s), e todos os seus elementos correspondentes são iguais 
(aij = bij). 
 
EXEMPLO. Determine x, y, z e t, sabendo que as matrizes A e B são iguais: 
 
 
 
UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) 
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Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 
 
 
 4 
(1) A = 





− 43
32 zx
 e B = 





+
+
43
21
y
x
 (2) A = 





2
2
54 t
yxx
 e B = 





ttz
xx
5
32
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES MATRICIAIS. 
 
1. Adição: A soma de matrizes de mesma ordem ou de mesma dimensão, m × n, é ainda uma matriz de 
ordem m × n, cujos elementos são obtidos pela soma dos elementos correspondentes das matrizes 
dadas. 
 
NOTAÇÃO. Considere as matrizes Am×n = [ ]
nmija × e Bm×n = [ ] nmijb × . Então, 
 
Cm×n = Am×n + Bm×n ⇔ [ ] [ ]
nmijijnmij bac ×× += 
 












+++
+++
+++
=×
mnmnmmmm
nn
nn
nm
bababa
bababa
bababa
C
L
MOMM
L
L
2211
2222222121
1112121111
 
 
EXEMPLOS. 
 
(1) Dadas as matrizes A = 





52
41
 , B = 




 −
05
23
 e C = 





−−
−
158
24
. Calcule D = A + B + C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) Dadas as matrizes A = 








−
−
4
33
5
4
219
3 e B = 








−
−−
10
5
1
2819
. Calcule C = A + B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 5 
 
(3) Dadas as matrizes A = 










3
11
5
 e B = [ ]321 − . Calcule C = A + B. 
 
 
 
 
Como foi definida a adição de matrizes, esta operação tem as mesmas propriedades da adição de números reais. 
 
PROPRIEDADES. Considere as matrizes A, B e C de ordem m × n. 
 
[P1] Comutativa: A + B = B + A; 
[P2] Associativa: (A + B) + C = A + (B + C); 
[P3] Elemento Neutro: A + O = A, onde O é a matriz nula de ordem m × n; 
[P4] Elemento Simétrico: A – A = O, onde O é a matriz nula de ordem m × n. 
 
2. Subtração: Se o sinal da adição for mudado por subtração tem-se a operação. 
 
NOTAÇÃO. Considere as matrizes Am×n = [ ]
nmija × e Bm×n = [ ] nmijb × . Então, 
 
Cm×n = Am×n – Bm×n ⇔ [ ] [ ]
nmijijnmij bac ×× −= 
 












−−−
−−−
−−−
=×
mnmnmmmm
nn
nn
nm
bababa
bababa
bababa
C
L
MOMM
L
L
2211
2222222121
1112121111
 
 
OBSERVAÇÃO. C = – D ⇔ D = – C 
 
EXEMPLOS. 
(1) Dadas as matrizes A = 





−− 1741
18911
 e B = 





−−
−
110134
1280
. Calcule C = A – B e 
D = B – A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 6 
(2) Dadas as matrizes A = 










4
21
10
 e B = 










76
522
13
. Calcule C = A – B e D = B – A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(3) Dadas asmatrizes A = 










−
−
24
5
1
2
1
210
 e B = 












−
−
−
215
5
11
2
3
85 3
. Calcule C = A – B e D = B – A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO. Em termologia e Álgebra Linear, chamaremos um número (real ou complexo) de escalar. 
 
3. Multiplicação de um escalar por uma matriz: O produto de um escalar por uma matriz de ordem m × n, 
resulta em uma outra nova matriz também de ordem m × n, cujos elementos é o produto do escalar por 
cada elemento da matriz dada. 
 
NOTAÇÃO. Considere o escalar k e a matriz Am×n = [ ]
nmija × . Então, 
 
Bm×n = k ⋅ Am×n ⇔ [ ] [ ]
nmijnmij akb ×× ⋅= 
 
Bm×n =












mnmm
n
n
kakaka
kakaka
kakaka
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
 
 
EXEMPLOS. 
 
 
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Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 
 
 
 7 
(1) Dados o escalar k = 3 e a matriz A = 










− 41
30
12
. Calcule B = k ⋅ A. 
 
 
 
 
 
 
(2) Dados o escalar k = 
2
1
 e a matriz A = 










− 8
4
1
5
20
. Calcule B = k ⋅ A. 
 
 
 
(3) Dados o escalar k = – 5 e a matriz A = 
















−
−−
1210
3
5
5
202
3
25
41
. Calcule B = k ⋅ A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES. Considere as matrizes A e B de mesma ordem, m × n e os escalares k1 e k2. 
 
[P1] k1 ⋅ (k2 ⋅ A) = (k1 ⋅ k2) ⋅ A; 
[P2] k1 ⋅ (A + B) = k1 ⋅ A + k1 ⋅ B; 
[P3] (k1 + k2) ⋅ A = k1 ⋅ A + k2 ⋅ A; 
[P4] 0 ⋅ A = O, onde O é a matriz nula de ordem m × n; 
[P5] 1 ⋅ A = A; 
[P6] – 1 ⋅ A = – A. 
 
4. Multiplicação entre matrizes: 
 
OBSERVAÇÃO PRELIMINAR. O símbolo de somatório (a notação sigma∑ ) : o uso do símbolo de somatório 
ajuda não somente na designação das localizações dos parâmetros e variáveis, mas também fornece um 
modo fácil e econômico de indicar somas de termos que surgirão no processo de multiplicação entre 
matrizes. 
 
EXEMPLOS. 
 
 
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Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 
 
 
 8 
(1) ∑
=
4
0i
ix = x0 + x1 + x2 + x3 + x4 [Generalizando: ∑
=
n
i
ix
1
= x0 + x1 + x2 + x3 + ... + xn – 2 + xn – 1 + xn] 
(2) ∑
=
6
3j
jax = a ⋅ x3 + a ⋅ x4 + a ⋅ x5 + a ⋅ x6 = a ⋅ (x3 + x4 + x5 + x6) = a ⋅∑
=
6
3j
jx 
 
 O produto matricial A ⋅ B só é definido se o número de colunas da primeira matriz, A, for igual ao 
número de linhas da segunda matriz, B. 
 A matriz resultante do produto da matriz de ordem m × n, Am×n, por uma matriz de ordem n × p, Bn×p, 
é uma nova matriz de ordem m × p, Cm×p. 
 
NOTAÇÃO. Considere as matrizes Am×n = [ ]
nmija × e Bn×p = [ ] pnjkb × . Então, 
 
Cm×p = Am×n ⋅ Bn×p = [ ] pmikc × 
 O elemento cik da matriz resultante C é obtido, somando o produto dos elementos da i-ésima linha da 
primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz. 
 
NOTAÇÃO. cik = ai1 ⋅ b1k + ai2 ⋅ b2k + ai3 ⋅ b3k + … + ain ⋅ bnk = ∑
=
⋅
n
j
jkij ba
1
 
 
 
EXEMPLOS. 
(1) Dadas as matrizes A = 





−112
321
 e B = 









−
4
2
1
. Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) Dadas as matrizes A = 





− 01
10
 e B = 





−
−
32
74
. Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 9 
(3) Dadas as matrizes A = 





1
5
 e B = 




−
5
1
. Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4) Dada a matriz A = 










5
4
5
2
5
2
5
1
. Calcule A2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO 4. A matriz A, de ordem n, que obedece a relação Ak = A, k ≥ 2, é chamada matriz 
idempotente. 
 
EXEMPLO. Outras matrizes idempotentes são as matrizes identidades e as matrizes nulas quadradas. 
 
DEFINIÇÃO 5. A matriz B, de ordem n, que obedece a relação Bk = O, k ≥ 2, onde O é a matriz nula de 
ordem n, é chamada matriz nilpotente. 
 
EXEMPLO. Mostre que a matriz A = 










−−
−−
−
444
333
111
 é nilpotente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES. Considere as matrizes A de ordem m × n, B de ordem, n × p, C de ordem p × q. 
 
[P1] Associativa: (A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C); 
 
 
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 10 
[P2] Distributiva à direita em relação à adição: (A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C; 
[P3] Distributiva à esquerda em relação à adição: A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C; 
[P4] Elemento Neutro: A ⋅ In = A, onde In é a matriz identidade de ordem n × n; 
 Im ⋅ A = A, onde Im é a matriz identidade de ordem m × m; 
[P5] Elemento Nulo: A ⋅ O1 = O, onde O1 é a matriz nula de ordem n × p; 
O2 ⋅ A = O, onde O2 é a matriz nula de ordem l × m; 
[P6] k ⋅ (A ⋅ B) = (k ⋅ A) ⋅ B = A ⋅ (k ⋅ B), onde k é um escalar. 
 
OBSERVAÇÃO. Em geral, a multiplicação entre matrizes não é comutativa, isto é, A ⋅ B nem sempre é 
igual a B ⋅ A. 
 
EXEMPLOS. 
(1) Dadas as matrizes A = 





−
−
34
11
 e B = 




−
12
06
. Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) Dadas as matrizes A = 










321
642
321
 e B = 










−
−−
−
012
123
111
. Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO. Pelo exemplo anterior temos que B ⋅ A = O, sem que A = O ou B = O, com é verificado para 
o produto entre números reais, isto é, x ⋅ y = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0. 
 
(3) Dadas as matrizes A = 





10
21
 e B = 





0
1
. Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A. 
 
 
 
 
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 11 
 
 
 
 
 
 
 
(4) Dadas as matrizes A = 





12
21
 e B = 





21
12
. Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATRIZES TRANSPOSTAS. 
 
DEFINIÇÃO 6. Dada uma matriz [ ]
nmijnm aA ×× = , pode-se obter uma outra matriz cujas linhas são as colunas 
da matriz A dada, chamada matriz transposta de A. 
 
NOTAÇÃO. Dada a matriz [ ]
nmijnm aA ×× = , a sua transposta é a matriz [ ] mnjit mn aA ×× = 
 
Am×n = 












mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
 ⇒ 












=×
mnnn
m
m
t
mn
aaa
aaa
aaa
A
L
LOMM
L
L
21
22212
12111
 
 
EXEMPLOS. 
 
(1) Dada a matriz A = 





30
12
, qual é a sua transposta?(2) Dada a matriz A = 





−
−
569
321
, qual é a sua transposta? 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) 
Cursos de Engenharia 
Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 
 
 
 12 
 
 
PROPRIEDADES. Considere as matrizes A de ordem m × n e B de ordem, n × p. 
 
[P1] Toda matriz simétrica é igual à sua transposta. 
[P2] A transposta da transposta de uma matriz A é a própria matriz A. Em símbolos, ( ) AA tt = . 
[P3] A transposta da soma é a soma das transpostas. Em símbolos, (A + B)t = At + Bt. 
[P4] O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta At é uma matriz simétrica. 
[P5] (k ⋅ A)t = k ⋅ At, onde k é um escalar. 
[P6] (A ⋅ B)t = Bt ⋅ At. 
 
DEFINIÇÃO 7. Uma matriz M, de ordem n, que obedece a relação M · Mt= I, onde I é a matriz identidade de 
ordem n, é chamada matriz ortogonal. 
 
EXERCÍCIOS. 
(1) Dada a matriz simétrica A = 










−
−
802
015
253
, qual a sua transposta? 
 
(2) Verifique as propriedades P2, P3, P4 e P5 anteriores, dados o escalar k e as matrizes 
A = 










ihg
fed
cba
 e B = 










srq
pon
mlj
. 
 
(3) Mostre que a matriz M = 


















−
100
0
2
1
2
3
0
2
3
2
1
 é ortogonal. 
 
DETERMINANTE. 
 
O determinante de uma matriz A só é definido para matrizes quadradas. 
 
NOTAÇÃO. det A = det [aij] = A , onde as barras não indica o valor absoluto de A ou o módulo de A. 
 
DEFINIÇÃO 8. É um escalar associado a esta matriz, que é obtido dos elementos desta matriz, mediante 
operações da seguinte forma: 
 
1. se A é uma matriz de ordem 1, então det A é o único de A, isto é, A = [a11] ⇒ det A = a11. 
 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
 
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 13 
2. se A é uma matriz de ordem 2, então det A é calculada pela diferença entre o produto dos 
elementos da diagonal principal e da diagonal secundária, isto é, 
A = 





2221
1211
aa
aa
 ⇒ det A = a11 a22 – a12 a21. 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
3. se A é uma matriz de ordem 3, A = 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, então det A é calculada por det 
A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 
 
EXEMPLOS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA PRÁTICA: Regra de Sarrus 
 
1. Repita as duas colunas (ou linhas) ao lado (ou abaixo) da matriz. 
2. Os termos precedidos pelo sinal “+” são obtidos multiplicando os elementos da 
diagonal principal e os elementos das suas paralelas que têm três elementos. 
3. Os termos precedidos pelo sinal “–” são obtidos multiplicando os elementos da diagonal 
secundária e os elementos das suas paralelas que têm três elementos. 
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
 ou 
232221
131211
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
 
 
EXEMPLOS. Dadas as matrizes abaixo calcule o seu determinante. 
 
(1) A = 










−
−
313
420
341
 (2) B = 










−−
233
022
231
 (3) I = 










100
010
001
 
 
 
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 14 
 
 
 
PROPRIEDADES. Considere uma matriz A de ordem n. 
 
[P1] det A = det At 
[P2] Se a matriz A tem uma linha ou uma coluna qualquer nula, então det A = 0. 
[P3] Se multiplicar uma linha ou uma coluna da matriz A por um escalar, o determinante desta nova 
matriz será o determinante da matriz A multiplicado por este escalar. 
EXEMPLO. Dada a matriz A = 










−
−
740
561
321
, se for multiplicado 2 na 3ª linha é obtido a matriz 
B = 










−
−
1480
561
321
. Calcule det A e det B. 
 
 
 
 
 
 
[P4] Se duas linhas forem trocadas da matriz A, então o determinante desta nova matriz tem sinal oposto 
ao de A. 
[P5] Se a matriz A tiver linhas ou colunas iguais, então det A = 0. 
[P6] Se a matriz A tiver linhas ou colunas formadas por elementos respectivamente proporcionais, então 
det A = 0. 
EXEMPLO. Dadas as matrizes A = 










163
342
021
 e B = 










−
−
−
121
230
690
, calcule det A e det B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
[P7] Se a matriz A for uma matriz diagonal, triangular superior ou triangular inferior, então o determinante 
destas matrizes é calculado pelo produto dos elementos da diagonal principal. 
[P8] Teorema de Binet: det (A ⋅ B) = det A ⋅ det B. 
[P9] Se a matriz A tiver uma linha ou uma coluna que é combinação linear das outras linhas ou colunas, 
então det A = 0. 
 
 
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 15 
EXEMPLO. Dadas as matrizes A = 










−
945
314
532
, onde C3 = C1 + C2, e B = 










23127
521
432
, onde 
L3 = 2L1 + 3L2. Calcule det A e det B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
[P10] Em geral, det (A + B) ≠ det A + det B. 
 
EXEMPLOS. Dadas as matrizes abaixo, calcule seus determinantes e verifique a propriedade P10. 
(1) A = 




 −
42
31
 e B = 




−
58
06
 (2) A = 





03
40
 e B 
= 





−10
02
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[P11] Se a matriz M tiver uma linha ou uma coluna que é combinação linear dos elementos desta mesma 
linha ou coluna das matrizes A e B, então det M = det A + det B. 
 
EXEMPLO. Dadas as matrizes A = 










−
430
220
043
, B = 










−−
430
131
043
 e M = 










−−
430
351
043
, calcule 
det A, det B e det M e verifique a propriedade P11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 16 
DESENVOLVIMENTO DE LAPLACE. [Pierre Simon Laplace - (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês] 
 
Observe que o determinante da matriz A3×3 pode ser expresso em função dos determinantes de 
submatrizes de ordem 2×2. 
 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A = = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 
 
A = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 
 
A = a11 (a22 a33 – a23 a32) – a12 (a21 a33 – a23 a31) + a13 (a21 a32 – a22 a31) 
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
aA +−= 
 
131312121111 AaAaAaA +−= 
 
Se ∆ij = (–1)i+j ijA , então 131312121111 ∆+∆+∆= aaaA , onde ijA é o determinante da submatriz 
obtida retirando a linha i e acoluna j da matriz inicial. 
 
DEFINIÇÃO 9. Chama-se cofator ou complemento algébrico do elemento aij o número ∆ij . 
 
O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de recorrência que permite calcular o determinante de 
uma matriz de ordem n, onde n ≥ 2, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n – 1. 
E consiste em somar os produtos dos elementos de uma linha qualquer ou coluna qualquer pelos 
respectivos cofatores, isto é, 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ininninininiiiiiinm aaaaaiaA ∆+∆+∆++∆+∆+∆= −−−−× 11223321211 L 
( )∑∑
=
+
=
× −=∆=
n
j
ij
ji
ij
n
j
ijijnm AaaA
11
1 , 
onde ijA é o determinante da submatriz obtida retirando a linha i e a coluna j da matriz inicial. 
 
 
EXEMPLOS. 
(1) Dada a matriz A = 










233
512
434
, calcule jA1 , onde j = 1,...,3, e conclua qual o valor de A . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 17 
(2) Dada a matriz B = 










−−
−
−
222
112
321
, calcule 2iB , onde i = 1,...,3, e conclua qual o valor de B . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(3) Calcule 
212
112
321
−−
−
−
=A 
 
 
 
 
 
(4) Calcule 
1352
0321
0024
4321
−−
−−
=B . 
 
 
 
 
 
 
(5) Calcule 
3120
1032
2013
0231
=C . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO. Quanto mais zeros houver em uma linha ou coluna, mais fácil será o cálculo do determinante 
se for usado esta linha ou coluna. 
 
 
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 18 
 
MATRIZ DOS COFATORES. 
 
DEFINIÇÃO 10. A matriz formada pelos cofatores de cada elemento de uma matriz quadrada A, de ordem n, 
é chamada de matriz dos cofatores. 
 
NOTAÇÃO. 
















∆∆∆∆
∆∆∆∆
∆∆∆∆
∆∆∆∆
=
nnnnn
n
n
n
A
L
MOMMM
L
L
L
321
3333231
2232221
1131211
, onde ( ) ijjiij A⋅−=∆ +1 
 
MATRIZ ADJUNTA. 
 
DEFINIÇÃO 11. Dada a matriz quadrada A, de ordem n, chama-se matriz adjunta de A à matriz transposta da 
matriz dos cofatores de A. 
 
NOTAÇÃO. adj A = tA 
 
EXEMPLO. Verifique que a matriz A = 










−
561
413
012
 satisfaz a igualdade ( ) IAAA t ⋅=⋅ det , onde I é a 
matriz identidade de ordem 3. 
 
 
MATRIZES INVERSÍVEIS. 
 
DEFINIÇÃO 12. Dada a matriz A quadrada de ordem n. Diz-se que A é matriz inversível se existir uma 
matriz A–1, única, que obedece as seguintes relações: A ⋅ A–1 = In e A–1 ⋅ A = In, onde In é a 
matriz identidade de ordem n. 
 
NOTAÇÃO. A matriz inversa de A é a matriz A–1, de ordem n. 
 
DEFINIÇÃO 13. Se a matriz quadrada A possui uma inversa, A–1, diz-se que A é uma matriz não-singular. 
Caso contrário, A é dita matriz singular. 
 
EXEMPLOS. 
 
(1) A = 





72
31
 é inversível e A–1 = 





−
−
12
37
, pois: 
 
A ⋅ A–1 = 





=





+−−
+−−
=





−
−
⋅





10
01
761414
3367
12
37
72
31
 = I2 
 
A–1 ⋅ A = 





=





+−+−
−−
=





⋅





−
−
10
01
7622
212167
72
31
12
37
 = I2 
 
 
 
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 19 
(2) A matriz A = 





84
21
 é singular, pois é impossível determinar a, b, c, e d que satisfaça a relação 
A ⋅ A–1 = I2, onde A–1 = 





dc
ba
. 
 
 
 
PROPRIEDADES. Considere as matrizes quadradas de ordem n, A e B. 
 
[P1] ( ) AA =−− 11 ; 
[P2] ( ) 111 −−− ⋅=⋅ ABBA ; 
[P3] ( ) ( )tt AA 11 −− = ; 
[P4] A matriz A só admite inversa se, e somente, se det A ≠ 0; 
[P5] det A–1 = Adet
1
; 
[P6] A–1 = Adet
1
⋅(adj A) 
 
EXEMPLOS. 
(1) Dada a matriz A–1 = 





−
−
12
37
, determine A, sabendo que A = ( ) 11 −−A . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) Dadas as matrizes A = 





72
31
 e B = 





20
13
, determine (A ⋅ B)–1, B–1 ⋅ A–1 e verifique a igualdade 
( ) 111 −−− ⋅=⋅ ABBA . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 20 
(3) Dada a matriz A = 








−
25
1
2
3
, verifique a igualdade ( ) ( )tt AA 11 −− = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4) Dada a matriz A = 










−
−
2
3
2
5
2
7
2
11
, determine det A. 
 
 
 
 
 
 
 
(5) Dada a matriz A = 










210
412
351
, determine a inversa de A, usando a propriedade P6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROCESSO DE INVERSÃO DE MATRIZES. 
 
Este processo consiste em efetuar operações com as linhas de uma matriz. 
 
Operações elementares sobre linhas de uma matriz. 
 
(O1) Permutação entre duas linhas, Li ↔ Lj. 
(O2) Substituição de uma linha por um múltiplo não nulo, Li → kLi, onde k ≠ 0. 
(O3) Substituição de uma linha pela soma dela com o múltiplo não nulo de outra linha, Li → Li + kLj, onde 
k ≠ 0. 
 
 
 
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 21 
DEFINIÇÃO 14. Se a matriz B é obtida por uma quantidade finita de operações elementares em A, então se 
diz que a matriz B é linha-equivalente à matriz A. 
 
NOTAÇÕES. A ~ B ou A → B. 
 
EXEMPLO. 
 
A = 










+→










→










↔










351
13165
420
~
3
351
412
420
~
2
351
412
210
~
210
412
351
3221131 LLLLLLL
 = B ⇒ A ~ B 
 
DEFINIÇÃO 15. Uma matriz obtida a partir da matriz identidade através da aplicação de uma única operação 
elementar sobre linhas é chamada matriz elementar, E. 
EXEMPLOS. 
 
(1) I = ELL =










↔










001
010
100
100
010
001
31 
 
(2) I = ELLL =










+→










140
010
001
4
100
010
001
233 
 
TEOREMA 1. Toda matriz elementar E, é inversível e sua inversa E–1, é obtida da matriz identidade I, 
através da operação inversa da que transformou I em E. 
 
 
 
EXEMPLOS. 
 
(1) I = 11111
100
010
00
2
1
~
2
1
100
010
001
100
010
002
~
2
100
010
001
−
=














→










=⇔=










→










ELLIE
LL
 
 
(2) I = 13232
010
100
001
100
010
001
010
100
001
100
010
001
−
=










↔









=⇔=










↔










ELLIELL 
 
(3) I = 










−
−→










=⇔=










+→










140
010
001
~
4
100
010
001
140
010
001
~
4
100
010
001
233233 LLLIE
LLL
 
 
TEOREMA 2. Se A ~ B então A é inversível se, e somente se, B é inversível 
 
 
 
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 22 
TEOREMA 3. Uma matriz quadrada A, é inversível se, e somente se, essa matriz é linha-equivalente à matriz 
identidade, I. Além isso, a seqüência de operações que transforma a matriz A em matriz 
identidade é a mesma que transforma a matriz identidade na matriz inversa de A, A–1, isto é 
[A | I] ~ [I | A–1]. 
 
EXEMPLO. Dadas as matrizes abaixo calcule a sua inversa usando o teorema 3. 
 
(1) A = 





43
21
 (2) B = 










523
420
121
 (3) C 
= 












−
−
3001
1110
1101
0012
 
 
 
 
 
MATRIZ ESCADA (L.R.F.E.) 
 
DEFINIÇÃO 16. Uma matriz que satisfaz as seguintes condições é chamada matriz linha reduzida à forma 
escada ou matriz escada. 
 
(1) O primeiro elemento não-nulo de uma linha é sempre igual a um. 
(2) Todas as linhas nulas (se houverem) devem ficar abaixo das linhas não-nulas. 
(3) Cada coluna que tem o primeiro elemento não-nulo de uma linha tem todos os outros 
elementos iguais a zero. 
(4) A quantidade de zeros que precede o primeiro elemento não-nulo de uma linha aumenta 
a cada linha, até que sobrem somente linhas nulas, se houverem. 
 
EXEMPLOS. Verifique quais matrizes abaixo são matrizes escada. Justifique as respostas. 
 
(1) A = 










−
0200
0110
0001
 (2) B = 










−
000
301
120
 
 
 
(3) C = 










−
−
21000
00000
10310
 (4) D = 












00000
31000
20100
20010
 
 
 
 
 
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 23 
(5) E = (6) I4 = 












1000
0100
0010
0001
 
 
TEOREMA 4. Toda matriz é linha-equivalente a uma única matriz escada. 
 
EXEMPLOS. Determine a matriz linha-equivalente na forma escada (ou linha reduzida à forma escada - 
LRFE) das matrizes abaixo. 
 
(1) A = 





− 654
321
 (2) B = 










− 4112
2051
3420
 
 
 
 
DEFINIÇÃO 17. Seja A uma matriz de ordem m×n e B a sua matriz linha-equivalente à forma escada, 
também de ordem m×n. Chama-se posto da matriz A, a quantidade de linhas não nulas da 
matriz B. 
 
NOTAÇÃO. Posto da matriz A: PA 
 
OBSERVAÇÃO. Dada uma matriz A qualquer, para determinar seu posto PA deve-se primeiro determinar sua 
matriz linha-equivalente à forma escada e depois contar suas linhas não-nulas 
 
DEFINIÇÃO 18. Seja A uma matriz de ordem m×n. Chama-se nulidade da matriz A, a diferença entre a 
quantidade de colunas de A e seu posto. 
 
NOTAÇÃO. Nulidade da matriz A: NA = n – PA 
 
 
EXEMPLO. Dadas as matrizes abaixo, determine o posto e a nulidade de cada matriz. 
 
(1) A = 





42
21
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 24 
(2) A = 










311
142
021
 
 
 
 
SISTEMA DE EQUAÇÃO LINEAR. 
 
DEFINIÇÃO 19. Uma equação linear com “n” incógnitas x1, x2, ... , xn é toda equação de 1º grau, do tipo 
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1(n – 1)x(n – 1) + a1nxn = b, onde cada a1j , com j = 1,2,...,n, é um 
escalar, chamado coeficiente da equação e b, também é um escalar, chamado termo 
independente da equação. 
 
EXEMPLOS. 
 
São equações lineares Não são equações lineares 
(1) 2x1 – 3x2 + 4x3 = 5 (1) 2 21x + 4x2+ 3x3 = 0 
(2) x1 – x2 – 5x3 + 7x4 = 6 (2) 2x1x2 + 3x3 – 4x4 = – 3 
(3) 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 (3) x1 + 2x – 2x3 = 8 
(4) 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = – 4 (4) x1 – x2 + 13−x = 1 
 
DEFINIÇÃO 20. Uma solução da equação linear a11x1 + a12x2 + ... + a1(n – 1)x(n – 1) + a1nxn = b é a n-úpla 
ordenada de escalares (s1, s2 ,..., s(n – 1), sn), que satisfaz a equação dada, isto é, quando a 
sentença a11s1 + a12s2 + ... + a1(n – 1)s(n – 1) + a1nsn = b é verdadeira. 
 
EXEMPLOS. 
 
(1) 2x1 – 3x2 + 4x3 = 5 
A tripla ordenada 





4
3
,0,1 é solução da equação, pois 2(1) – 3(0) + 4 





4
3
 = 2 + 3 = 5. 
 
 (2) 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 
 
Qualquer tripla ordenada (s1, s2, s3) é solução da equação. 
 
 (3) 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 4 
 
Qualquer quádrupla ordenada (s1, s2, s3, s4) NÃO satisfaz equação, pois 0s1 + 0s2 + 0s3 + 0s4 ≠ 4. 
Então, 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 4 é uma sentença FALSA, ∀s1, s2, s3, s4 ∈R (ou C). 
 
DEFINIÇÃO 21. Um sistema de equações lineares de “m” equações e “n” incógnitas é um conjunto de 
equações de 1º grau do tipo 
 
S 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )






=++++
=++++
=++++
−−
−−
−−
mnmnnnmmm
nnnn
nnnn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
112211
22112222121
11111212111
L
MMMMM
L
L
. 
 
DEFINIÇÃO 22. Uma solução do sistema de equações lineares S é a n-úpla ordenada de escalares 
(s1, s2, ..., sn), que satisfaz simultaneamente todas as “m” equações do sistema S. 
 
 
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 25 
 
S 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )






=++++
=++++
=++++
−−
−−
−−
mnmnnnmmm
nnnn
nnnn
bsasasasa
bsasasasa
bsasasasa
112211
22112222121
11111212111
L
MMMMM
L
L
. 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO 23. Quando um sistema de equações lineares tem todos os seus termos independentes iguais a 
zero, é chamado de sistema de equações lineares homogêneo. 
 
EXEMPLOS. 
 
(1) S1 



=−
=+
02
02
21
21
xx
xx
 (2) S2 







=+−
=+−
=−+
=+−
065
043
02
02
zyx
zyx
zyx
zyx
 
 
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA SEGUNDO A SUA SOLUÇÃO 
 
Dado um sistema com “m” equações e “n” incógnitas, este sistema pode ser: 
 
(1) Possível ou compatível: é o sistema que admite solução, podendo ser: 
(1.1) Possível determinado: só admite uma única solução; 
(1.2) Possível indeterminado: admite mais de uma solução (infinitas soluções). 
 
(2) Impossível ou incompatível: é o sistema que não admite solução. 
 
EXEMPLOS. Determine a solução dos sistemas abaixo, quando houver, e classifique-os segundo a sua 
solução. 
(1) S1 



=−
=+
12
32
21
21
xx
xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 26 
(2) S2 


=+−
=++
432
12
321
321
xxx
xxx
 
 
 
 
 
 
(3) S3 





=+−
=+−
=−+
0532
0
01223
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4) S4 



=−
=+
02
02
yx
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO. Todo sistema homogêneo admite sempre a solução (s1, s2, ..., s(n – 1), sn ) = (0, 0, ... , 0), 
chamada solução nula, trivial ou imprópria. Portanto, um sistema homogêneo é sempre 
possível. Se for determinado, admitirá a solução trivial, e se for indeterminado, admitirá além 
da solução trivial, outras soluções não nulas, chamadas soluções próprias. 
 
SISTEMAS E MATRIZES 
 
Pode-se escrever o sistema de “m” equações lineares e “n” incógnitas 
 
 
 
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 27 
S 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )






=++++
=++++
=++++
−−
−−
−−
mnmnnnmmm
nnnn
nnnn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
112211
22112222121
11111212111
L
MMMMM
L
L
, 
 
como uma igualdade de matrizes, onde o primeiro membro é um produto entre matrizes. Assim; 
 












=












×












nnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
MM
L
MOMM
L
L
2
1
2
1
21
22221
11211
. 
 
Isto é, na forma matricial 
 
Am×n × Xn×1 = Bm×1, 
 
onde A é a matriz dos coeficientes de ordem m×n, X é a matriz coluna das incógnitas e B é a matriz 
coluna dos termos independentes. 
 
DEFINIÇÃO 24. Associa-se ao sistema S uma outra matriz formada pela matriz dos coeficientes acrescida da 
coluna da matriz dos termos independentes. Chama-se esta matriz de matriz ampliada do 
sistema S, dada por 
 
M = 












mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
L
MMOMM
L
L
21
222221
111211
. 
 
EXEMPLOS. Dados os sistemas abaixo, determine as matrizes dos coeficientes, das incógnitas, dos termos 
independentes e a ampliada. 
 
(1) S1 



=+−
−=−+
123
452
421
321
xxx
xxx
 
 
Matriz dos coeficientes 
 
Matriz das incógnitas 
A = 





−
−
1023
0512
 X = 












4
3
2
1
x
x
x
x
 
 
Matriz dos termos independentes 
 
Matriz ampliada 
B = 




−
1
4
 M = 





−
−−
11023
40512
 
 
 
 
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 28 
(2) S2 





=+−−
=++
=−+
38
979
5462
543
432
321
xxx
xxx
xxx
 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE CRAMER (REGRA) 
 
O cálculo da inversa de uma matriz fornece um método de resolução de sistemas lineares de equações. 
Porém, este só é aplicado em sistemas de equações lineares quadrados, isto é, o sistema que tem a 
quantidade de equações igual à quantidade de incógnitas. 
Suponha resolver o sistema linear de “n” equações e “n” incógnitas, 
 
S 





=++
=++
nnnnn
nn
bxaxa
bxaxa
L
MMM
L
11
11111
 
 
que na forma matricial é dado por 
 










=










⋅










nnnnn
n
b
b
x
x
aa
aa
MM
L
MOM
L 11
1
111
 ⇔ A ⋅ X = B, 
 
onde A é a matriz dos coeficientes de ordem n, X é a matriz coluna das incógnitas e B é a matriz coluna 
dos termos independentes. 
Para esta equação suponha que det A ≠ 0 e portanto, que a matriz A tem inversa A–1. Então 
 
A–1 ⋅ (A ⋅ X) = A–1 ⋅ B 
(A–1 ⋅ A) ⋅ X = A–1 ⋅ B 
In ⋅ X = A–1 ⋅ B 
X = A–1 ⋅ B 
X = 
Adet
1
⋅(adj A) ⋅ B 
 
Na forma matricial 
 
A
bb
x nn
det
1111
1
∆++∆
=
L
 
 
A
bb
x nn
det
2121
2
∆++∆
=
L
 
 
M 
 
A
bb
x nnnnn det
11 ∆++∆
=
L
 
 
Observe que o numerador destas frações é igual ao determinante da matriz que é obtida da matriz A, 
substituindo a primeira coluna pela matriz dos termos independentes. 
 
 
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 29 
 
REGRA. Considere um sistema quadrado S, isto é, com “n” equações e “n” incógnitas. Se det A ≠ 0, onde A 
é a matriz dos coeficientes deste sistema S, então S será um sistema possível determinado e terá 
a única solução (s1, s2,..., sn). Cada solução sj é determinada pela seguinte relação 
 
sj = A
A j
det
det
, 
 
onde Aj é a matriz obtida de A, substituindo a j-ésima coluna pela coluna dos termos 
independentes do sistema S. 
 
 
 
EXEMPLOS. Dados os sistemas abaixo, determine sua solução pela regra de Cramer, se houver. 
 
(1) S1 





=+−
−=−−
=++
12
4
6
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) S2 



=−
=+
54
432
21
21
xx
xx
 
 
 
 
 
 
 
 
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 30 
 
 
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES EQUIVALENTES 
 
DEFINIÇÃO 25. Dois ou mais sistemas são equivalentes quando têm a mesma solução. 
 
EXEMPLO. 
S1 



=−
=+
732
1
yx
yx
 e S2 



−=+−
=−
732
823
yx
yx
 
 
Os sistemas S1 e S2 são equivalentes, pois têm como solução o par ordenado (2, –1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA 5. Dois ou mais sistemas são equivalentes se, e somente se, suas matrizes ampliadas são 
equivalentes . 
 
EXEMPLO. 
 
S1 



=+
=+
542
3
yx
yx
, onde a matriz ampliada é M1 = 





542
311
 
 
S2 



=+
=+
853
622
yx
yx
, onde a matriz ampliada é M2 = 





853
622
 
 
S3 



=+
−=−−
622
853
yx
yx
, onde a matriz ampliada é M3 = 




 −−−
622
853
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODO DE GAUSS 
 
Consiste em reduzir a matriz ampliada associada de um sistema à uma matriz que difere da matriz 
linha-equivalente à forma escada (LRFE) na condição 3 da sua definição, que dizia: “cada coluna que tem 
o primeiro elemento não nulo de uma linha tem todos os outros elementos iguais a zero” e passa a ser: 
“cada coluna que tem o primeiro elemento não nulo de uma linha tem todos os elementos abaixo desta 
linha iguais a zero”. Uma vez reduzida a matriz ampliada a esta forma, a solução final do sistema é obtida 
por substituição. 
 
 
 
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 31 
 
 
 
EXEMPLOS. Dados os sistemas abaixo, determine sua solução pelo método de Gauss, se houver. 
 
(1) S1 





=−−
=++
=++
523
4452
134
zyx
zyx
zyx
 � Matriz ampliada associada a S1: 









−− 5231
4452
1341
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) S2 





=++
=++
=+−
0124
0652
032
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(3) S3 





=+−
=+−
=+−
022
42
1
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
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 32 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA SEGUNDO A RELAÇÃO ENTRE O POSTO DA MATRIZ DOS COEFICIENTES C [PC] 
E O POSTO DA SUA MATRIZ AMPLIADA A [PA] 
 
Dado um sistema com “m” equações e “n” incógnitas, este sistema será: 
 
(1) Possível (terá solução), quando PC = PA podendo ser: 
(1.1) Possível determinado (única solução), quando PC = PA = n; 
(1.2) Possível indeterminado (infinitas soluções), quando PC = PA < n. 
 
(2) Impossível (não terá solução), quando PC < PA. 
 
EXEMPLOS. Determine a solução dos sistemas abaixo, quando houver, e classifique-os segundo a sua 
solução. 
(1) S1 



=−
=+
12
32
yx
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) S2 



=+−
=++
432
12
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(3) S3 



−=+
=+
563
42
yx
yx
 
 
 
 
 
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 33 
 
 
 
1. Considere as matrizes ( )
22xijaA = , tal que 



≠
=+
= ji
jiji
aij
 ,0
 ,
 e ( )
22xijbB = , tal que jibij 32 −= . 
Determine A + B. 
 
2. Determine x · y para que se tenha 





−
+
=





+
−
43
11
418
21
xy
y
x
yx
. 
 
3. Sabendo que A = (aij)2 x 3 = 
1, se 
, se 
i j
i j i j
=

+ ≠
 e B = (bij)3 x 3 = 
0, se 
2 , se 
, se 
i j
i j i j
j i j
=

+ >
 <
, determine (A ⋅ B)t. 
 
4. Que tipo de matriz é a matriz C, sabendo que A = (aij)3 x 3, onde aij = 



≠−
=
ji,ij
ji,
 se 
 se 0
, B = (bij)3 x 3, 
onde bij = 





>+
=
<−−
ji,ji
ji,i
ji,ji
 se 
 se 
 se 
 e C = A – B? 
 
5. Considere as seguintes matrizes: 





−
=
43
21
A , 





−
=
76
05
B , 





−
−
=
562
431
 C , 





=
43
21
D e 






=
116
45
E . 
 
(a) Determine 5 ⋅ A – 2 ⋅ B e 2 ⋅ A + 3 ⋅ B. 
(b) Determine A2 = A ⋅ A e A ⋅ C. 
(c) Mostre que as matrizes D e E comutam e A e B não comutam. 
 
6. Determine as matrizes de ordem 2 e 3 que comutam, respectivamente, com: 
 
(a) 





10
11
 (b) 










100
110
011
 
 
7. Determine, se possível, ℜ∈x para que a matriz 










+
−
01
40
120
3
2
xx
xx
x
 seja: 
 
(a) Simétrica (b) Anti-simétrica 
 
 
 
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 34 
8. Dada a matriz 










−=
030
211
202
A , mostre que tAAS ⋅= é uma matriz simétrica. 
 
 
 
 
 
9. Dada a matriz 





=
63
21
A , determine uma matriz ( )
32xijbB = , com elementos distintos, tal que 
A ⋅ B = O, onde O é matriz nula de dimensão 2 × 3. 
 
10. Seja 










−−
−−
−
=
455
343
112
A . Mostre que A é idempotente. 
 
11. Seja 










−−
−−
−
=
444
333
111
B . Mostre que B é nilpotente de índice 2. 
 
12. Seja ( ) 1032 −+= xxxg . Mostre que 





−
=
43
21
A é uma raiz do polinômio ( )xg . 
 
13. Resolva as equações matriciais abaixo: 
 
(a) 





−
−
=⋅





1
1
32
43
X (b) 










=⋅










2
7
5
132
012
001
Y 
 
(c) 





=⋅





+





72
71
53
21
55
22
W 
 
14. Calcule o determinante das matrizes abaixo: 
 
(a) 




 −
24
13
 (b) 





yy
xx
cossen
sencos
 (c) 




 −
yy
xx
cossen
cossen
 
 
(d) 




 −
xx
xx
sencos
cossen
 (e) 










−
241
325
431
 (f) 










−
−−
−−−
300
520
641
 
 
 
 
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 35 
(g) 












3120
1032
2013
0231
 (h) 












01
0
0010
10
ab
baa
ba
 (i) 
















d
c
b
a
0000
1000
2100
3210
54321
 
 
15. Determine x nas equações abaixo: 
 
(a) 11
1354
22
=
−+
−
xx
xx
 (b) 0
11
11
11
=
−
−
x
x
x
 
 
 
 
16. Determine a área S do triângulo cujos vértices são ( ) ( ) ( )6,0 e 3,2 ,1,4 −− CBA , usando a fórmula 
ABCDS 2
1
= , onde
1
1
1
CC
BB
AA
ABC
YX
YX
YX
D = . 
 
17. Sejam A, B e C matrizes inversíveis de mesma ordem. Determine X sabendo-se que: 
 
(a) A ⋅ X ⋅ B = C (b) A ⋅ ( B + X) = A (c) A ⋅ C ⋅ X ⋅ B = C 
(d) ( ) ( ) 11 −− ⋅=⋅⋅⋅ CCXABA (e) tt ABXBA =⋅⋅⋅ −1 
 
18. Dada a matriz ℜ∈









 −
= θθθ
θθ
 ,
100
0cossen
0sencos
M , calcule M ⋅ Mt e conclua que 1−= MM t . 
 
19. Usando operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em 
caso afirmativo, determine a sua inversa. 
 
(a) 





=
72
31
A (b) 










−
−
=
140
214
152
B (c) 










−
−
−
=
210
423
211
C 
 
20. Determine o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes: 
 
A = 










0 0 0
1 0 0
0 4 1
 B = 





1 0 0 0
0 0 1 0 
 C = 




 −
20
41
 D = 












2 1
0 0
1 0
0 1
 E = 












1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
21. Sabendo-se que N(A) = nulidade de uma matriz A e P(A) = posto de uma matriz A, exemplifique, se 
possível, matrizes que satisfaçam as condições dadas abaixo. 
 
 
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 36 
 
(a) B2× 3 , P(B) = 2 (d) F2× 3 , N(F) = 2 (g) J3, P(J) = 2 
 
(b) C3× 2 , P(C) = 3 (e) G4× 3 , N(G) = 0 
 
(c) D2× 4 , P(D) = 3 (f) H3, N(H) = 0 
 
22. Sabendo-se que A = B, onde 








−
=
8243
16
1
2
2log
aA e 








=
ca
B
b
5
92
, determine a + b + c. 
 
23. Associe à figura abaixo à uma matriz A, de ordem 4, cujos elementos são definidos por aij = 1 se os 
pontos i e j estiverem ligados; caso contrário aij = –1. Calcule o determinante da matriz A, assim 
formada. 
1 2 
 
 
 
3 4 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
24. Verifique se as seguintes sentenças são verdadeiras ou falsas. 
 
(A) Se duas linhas (colunas) de A são trocadas, para se tornar a matriz B, então: det (B) = –det (A). 
(B) Se AT é a transposta da matriz A, então det (AT) = det (A). 
(C) Se os elementos de uma linha (ou coluna) de A são multiplicadas por uma constante c, o valor do 
determinante da nova matriz é c ⋅ det (A). 
(D) Se qualquer linha (ou coluna) de A é um múltiplo de qualquer outra linha (ou coluna) de A, então 
o determinante da matriz A é nulo. 
(E) A matriz transposta de uma matriz simétrica é a própria matriz. 
(F) A matriz transposta de uma matriz linha é uma matriz linha. 
(G) A matriz transposta da matriz transposta de uma matriz A, é a matriz transposta da matriz A. 
(H) A soma de uma matriz A, de ordem 3 × 1, com uma matriz B, de ordem 1 × 3, é uma matriz de 
ordem 3 × 3. 
(I) O produto de uma matriz A, de ordem m × n, por uma matriz B, de ordem n × p, sendo m, n e p 
números inteiros positivos quaisquer, é tal que AB = BA. 
(J) Se A e B são matrizes de ordem 5 × 6 e 6 × 7 respectivamente, então A ⋅ B é uma matriz 5 × 7 e 
não existe B ⋅ A. 
(K) Se A e B são matrizes de ordem 3 × 5 e 5 × 3 respectivamente, então A ⋅ B é uma matriz 3 × 3 e 
B ⋅ A é uma matriz de ordem 5 × 3. 
(L) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3, então A ⋅ B e B ⋅ A também são matrizes quadradas 
de ordem 3. 
(M) Se A, B e C são matrizes de ordem 3 × 3, 3 × 1 e 2 × 1 respectivamente, então C ⋅ (A ⋅ B) é uma 
matriz 2 × 1. 
 
25. Identifique as matrizes que compõem os sistemas abaixo. 
 
 
 
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 37 
(a) S1 



=+
=−−
523
04
yx
yx
 (c) S3 





=−+
−=+
=+−
724
132
13
zyx
zx
zyx
 (e) S5 







−=++
=−−+−
=+−
=+++
122
0
22
1
tzx
tzyx
zyx
tzyx
 
 
(b) S2 



−=−
=−
33
22
xy
yx
 (d) S4 





−=−+
=++
=−−
323
442
5
zxy
zyx
zxy
 (f) S6 







=+−+
−=−−−
=+−
=+++
032
12
22
1
xytz
tzyx
zxy
tzyx
 
 
26. Resolva os sistemas da questão anterior pela regra de Cramer. 
 
27. Mostre que os sistemas abaixo são compatíveis determinados. 
 
(a) S1 





=−
=−+
=+−
75
123
32
yx
zyx
zyx
 (c) S3 





=++
=−−
=++
0223
1
1
zxy
yxz
zyx
 (e) S5 





=+−
−=+−
=++
12
232
1
xzy
zxy
zyx
 
 
(b) S2 





=++
=−−
=−+
42
12
0
yzx
zyx
zyx
 (d) S4 





=+
−=−
=+−
123
243
223
yx
yz
zyx
 (f) S6 







=+−−
−=−+−
−=−+
=+++
424
32
22
2
tzxy
tzyx
tyx
tzyx
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
28. Quais dos sistemas abaixo estão na forma escalonada? 
 
(a) S1 



=+
=+
26
13
zy
yx
 (c) S3 



=+
=+
12
32
yx
yx
 (e) S5 





=+
=+−
=−+−
2
32
43
tz
tzy
tzyx
 
 
(b) S2 



=−
=+−
1
532
zy
zyx
 (d) S4 





=+
=+
=−
12
03
032
zy
zx
yx
 (f) S6 





−=+−
=−+
=++
43
32
92
zyx
zyx
zyx
 
 
29. Determine a matriz linha reduzida à forma escada (LRFE) de cada uma das seguintes matrizes: 
 
A = 










1 0 0 0
0 1 2 2
0 0 4 1
 B = 










−
−
010
022
011
 C = 





−−
−−
2212
1231
 D = 










−
332
412
310
 E = 










2 0
0 0
0 3
 
 
30. Descreva todas as possíveis matrizes 2 × 2 que estão na forma LRFE. 
 
 
 
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 38 
31. Verifique que: “toda matriz LRFE é triangular superior”. Exiba um contra-exemplo para mostrar que 
a recíproca desta afirmação é verdadeira. 
 
32. Por definição, uma matriz elementar, E, é a matriz obtida a partir da matriz identidade através da 
aplicação de uma única operação elementar sobre linhas. Considere as matrizes abaixo: 
 
a. Justifique se E1 e E2 são matrizes elementares. Em caso afirmativo, indique as operações 
elementares O1 e O2 que transforma a matriz identidade de dimensão 3 em E1 e E2, 
respectivamente. 
b. Calcule as matrizes B = E1 ⋅ A, C = E2 ⋅ B e D = E2 ⋅ E1 ⋅ A 
c. Determine as matrizes F, G e H, tais que F é obtida de A aplicando nas linhas de A a operação 
elementar O1 do item (a); G é obtida de B aplicando nas linhas de A a operação elementar O2 do 
item (a) e H é obtida de A aplicando nas linhas de A a operação elementar O1 e O2, nesta ordem. 
d. Compare as matrizes determinadas nos itens (b) e (c). O que se pode concluir sobre a 
multiplicação de matrizes elementares à esquerda de uma matriz A e aplicação de operações 
elementares nas linhas de A, correspondentes às matrizes elementares. 
 
33. Determine o posto das matrizes dos coeficientes e das matrizes ampliadas dos sistemas abaixo, 
classifique-os segundo a relação entre posto da matriz dos coeficientes e da sua matriz ampliada e 
resolva-os por qualquer método estudado. 
 
(a) S1 



=−
=+
123
22
yx
yx
 (c) S3 



=+
=+
52
42
yx
yx
 (e) S5 





=++
=++−
=−+−
322
132
23
xyz
xzy
zyx
 
(b) S2 



=+−
=++
432
12
zyx
zyx
 (d) S4 





=++
=−+−
=−+
222
134
42
zyx
zyx
zyx
 (f) S6 





−=++
=+−
=++
12
2
2
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
34. Considere a matriz B = 










−
−
0121
3112
1111
. Determine: 
 
a. uma matriz N, tal que N ~ B e N é LRFE; 
b. uma matriz inversível M de ordem 3, tal que N = M ⋅ B. 
 
35. Em cada um dos seguintes itens considere a matriz escalonada linha equivalente à matriz ampliada de 
um sistema. A partir dessas matrizes, discuta o sistema original e dê o conjunto-solução, quando for o 
caso. 
 
(a) M1 = 










00000
31210
52101
 (c) M3 = 










1000
0310
0201
 
 
 
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 39 
(b) M2 










2100
2010
3001
 (d) M4 = 





5410
2301
 
 
36. Escalone, classifique e determine a solução dos seguintes sistemas: 
 
(a) S1 



=−
=+
532
35
yx
yx
 (f) S6 





=−+−
=++−
=−−
23
3252
532
zyx
zyx
zyx
 
 
(b) S2 



=+
=+
42
250
yx
y,x
 (g)S7 





−=−
−=−+
−=−+
953
2223
622
zx
zyx
zyx
 
 
(c) S3 





−=++
=++
=++
10435
4453
223
zyx
zyx
zyx
 (h) S8 





=++
=++
=+−
1
643
42
zyx
zyx
zyx
 
(d) S4 





−=+−
=++−
=−−
22
2
12
zyx
zyx
zyx
 (i) S9 



=+−
=−−
2
4
zyx
zyx
 
(e) S5 





−=−
−=−
=+
432
123
3
yx
yx
yx
 (j) S10 





=−+
=−+
=−+
3463
2242
032
zyx
zyx
zyx
 
 
37. Determine os valores de a e b que tornam o sistema S 







−+=+
+=+
=+
=−
12
2535
73
bayx
bayx
byx
ayx
, possível determinado. 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
38. Determine o valor de k para que os sistemas abaixo sejam compatíveis indeterminados. 
 
(a) S1 





=++
=++
=++
073
052
023
zyx
kzyx
zyx
 (b) S2 





−=−
=−
=−
kxy
zx
yz
332
224
143
 (c) S3 





=−+−
=+−
−=−+
kzyx
zyx
z,yx
242
43
1602
 
 
39. Discuta em função de k os seguintes sistemas: 
 
 
 
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 40 
(a) S1 





=−
=−
=+−
kyx
yx
yx
2
045
234
 (c) S3 





=+−
=+−
=+−
0
32
222
zkyx
kzyx
kzyx
 
(b) S2 



=−+
=−+
2
0
zykx
kzyx
 (d) S4 





−=++
=−−
−=+
54
2
2
zkyx
kzyx
kzx
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1. 




 −
21
41
 2. 10 
 
3. ( )










=⋅
1212
4634
4043
tBA 4. 










−−−
−−
−
=
366
624
641
C é uma matriz anti-simétrica 
 
5. (a) 5 ⋅ A – 2 ⋅ B = 
 
3427
105






−
−
 e 2 ⋅ A + 3 ⋅ B = 





− 1312
417
 
 
 (b) A2 = 
 
229
67






−
−
e A ⋅ C = 





−−
−
32335
695
 
 
 
6. (a) Ryx
x
yx
∈∀





, ,
0
 (b) Rzyx
x
yx
zyx
∈∀










,, ,
00
0 
 
7. (a) 0=x (b) 2−=x 
 
8. 










−
−=
930
366
068
S
 
9. 





−−−
=
321
642
B . Existem outras. 
12. ( ) OAg = 
 
13. (a) 





−
=
1
1
X (b) 










−=
1
3
5
Y (c) 




 −−
=
130
211
W 
 
 
RESPOSTAS 
 
14. (a) 10 (b) ( )yx +cos (c) ( )sen x y+ 
 (d) 1 (e) 49 (f) –6 
 (g) 48 (h) a2 + b2 (i) abcd 
 
 
 
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 41 
15. (a) 21ou 1 =−= xx (b) 1ou 0 == xx 16. 25 
 
17. (a) 11 .. −−= BCAX (b) BIX −= (c) ( ) 11 ... −−= CACBX 
 
(d) BX = (e) ( ) BAABX tt ... 11 −−= 
 
18. 1−=⇒=⋅ MMIMM tt . M é chamada de matriz ortogonal. 
 
19. (a) 





−
−
=
−
12
371A (b) 










−
−
−
=
−
2711274278
274271272
616161
1B 
 
(c) C não é inversível. 
 
20. P(A) = 2 e N(A) = 1 P(B) = 2 = N(B) P(C) = 2 e N(C) = 0 
 P(D) = 2 e N(D) = 0 P(E) = 3 e N(E) = 0 
 
21. (a) B = 





010
001
 (b) Impossível (c) Impossível 
 
(d) F = 





000
001
 (e) G = 












000
100
010
001
 (f) H = 










100
010
001
 
 
(g) J = 










000
010
001
 OBSERVAÇÃO. Estes exemplos não são únicos. 
22. a + b + c = –4 23. det A = 0 
 
24. (A) V, (B) V, (C) V, (D) V, (E) V, (F) F, (G) F, (H) F, (I) F, (J) V, (K) F, (L) V, (M) F 
 
25. (a) 
Matriz dos coeficientes: 




 −−
23
41
 Matriz das incógnitas: 





y
x
 
 
Matriz dos termos independentes: 





5
0
 Matriz ampliada: 




 −−
523
041
 
 
 (b) 
Matriz dos coeficientes: 





−
−
31
12
 Matriz das incógnitas: 





y
x
 
 
Matriz dos termos independentes: 





− 3
2
 Matriz ampliada: 





−−
−
331
212
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
 
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 42 
 
 (c) 
Matriz dos coeficientes: 










−
−
214
302
113
 Matriz das incógnitas: 










z
y
x
 
 
Matriz dos termos independentes: 










−
7
1
1
 Matriz ampliada: 










−
−
−
7214
1302
1113
 
 
 (d) 
Matriz dos coeficientes: 










−
−−
231
412
111
 Matriz das incógnitas: 










z
y
x
 
 
Matriz dos termos independentes: 










− 3
4
5
 Matriz ampliada: 










−−
−−
3231
4412
5111
 
 
 (e) 
Matriz dos coeficientes: 












−−−
−
1202
1111
0112
1111
 Matriz das incógnitas: 












t
z
y
x
 
 
Matriz dos termos independentes: 












−1
0
2
1
 Matriz ampliada: 












−
−−−
−
11202
01111
20112
11111
 
 
 (f) 
Matriz dos coeficientes: 












−
−−−
−
2131
1112
0121
1111
 Matriz das incógnitas: 












t
z
y
x
 
 
Matriz dos termos independentes: 












−
0
1
2
1
 Matriz ampliada: 












−
−−−−
−
02131
11112
20121
11111
 
 
26. (a) 





−
2
1
,2 (b) 





−
5
4
,
5
3
 (c) ( )1,1,1 − 
 
(d) (–2,3,0) (e) 





− 2
2
11
2
14 ,,, (f) (0,0,2,–1) 
 
 
27. Todos os sistemas são compatíveis determinados (têm solução única), pois o determinante da matriz 
dos coeficientes de cada sistema é diferente de zero. 
 
 
 
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 43 
28. Está na forma escalonada o sistema dos itens (a), (b) e (e). 
 
 
RESPOSTAS 
 
29. 
LRFEA = 
















−
1000
0
6
110
0
3
201
 LRFEB = 










000
010
001
 
LRFEC = 












−
−
0
5
210
1
5
401
 
 
 
LRFED = 









100
010
001
 LRFEE = 










00
10
01
 
 
 
30. 





00
00
, 





00
10
, 





10
01
 e 





00
1 k
, com k ∈ R 
 
31. A matriz 










000
10
1
c
ba
, com a, b, c ∈ R, é triangular superior, mas não é LRFE. 
 
32. (a) E1 é uma matriz elementar, pois é obtida da matriz identidade I3 a partir da operação elementar 
O1: 33 3
1 LL → e E2 é uma matriz elementar, pois é obtida da matriz identidade I3 a partir da 
operação elementar O2: 311 LLL +→ . 
 
 
(b) B = 









 −
010
100
011
, C = 










010
100
001
 e D = C 
 
 (c) F = B; G = H = C 
 
 (d) Efetuar uma operação elementar sobre as linhas de uma matriz A é equivalente a multiplicar à 
esquerda de A uma matriz elementar correspondente à operação elementar aplicada. 
 
33. (a) PC = PA = 2 = n. Sistema possível (compatível) determinado de solução única 





8
13
4
3
, . 
 (b) PC = PA = 2 < n = 3. Sistema possível (compatível) indeterminado (infinitas soluções). 
 (c) PC = 1 ≠ PA = 2. Sistema impossível (incompatível). 
 (d) PC = PA = 2 = n. Sistema possível (compatível) determinado de solução única 





−−
5
6
5
1
5
9
,, 
 (e) PC = PA = 2 < n. Sistema possível (compatível) indeterminado (infinitas soluções). 
 (f) PC = 1 ≠ PA = 2. Sistema impossível (incompatível). 
 
 
 
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 44 
34. 
(a) N = 









 −
2100
3010
4001
 (b) M = 
















−−
−
−
3
1
3
11
3
1
3
21
011
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
35. (a) S1 é um sistema possível (compatível) indeterminado com duas variáveis livres, tal que 
S1 = {(x, y, z, w) ∈ R4; x = 5 − z − 2w e y = 3 − 2z − w}. 
 
(b) S2 é um sistema possível (compatível) determinado de solução única S2 = {(3, 2, 2)}. 
 
(c) S3 é um sistema impossível (incompatível). 
 (d) S4 é um sistema possível (compatível) indeterminado com uma variável livre, tal que 
S4 = {(x, y, z) ∈ R3; x = 2 − 3z e y = 5 − 4z} 
 
36. (a) S1 é um sistema possível (compatível) determinado de solução única 





13
1
13
34
, . 
 (b) S2 é um sistema possível (compatível) indeterminado de infinitas soluções do tipo (x, 4 – 2x), 
∀ x ∈ R. 
 (c) S3 é um sistema impossível (incompatível). 
 (d) S4 é um sistema possível (compatível) determinado de solução única (−11, −6, −3). 
 (e) S5 é um sistema possível (compatível) determinado de solução única (1, 2). 
 (f) S6 é um sistema impossível (incompatível). 
 (g) S7 é um sistema possível (compatível) determinado de solução única (2, −1, 3). 
 (h) S8 é um sistema possível (compatível) indeterminado de infinitas soluções do tipo 





 −−
z,
z
,
z
2
3
2
35
, ∀ z ∈ R. 
 (i) S9 é um sistema possível (compatível) indeterminado de infinitas soluções do tipo 
(y + 3, y, −1), ∀ y ∈ R. 
 (j) S10 é um sistema possível (compatível) indeterminado de infinitas soluções do tipo, 






−−
2
1
2
3
,y,y , ∀ y ∈ R. 
 
37. a = 2 e b = 4 
 
38. (a) k = 
2
3
 (b) k = 5 (c) k = –6 
 
39. (a) Se k = −6, então o sistema S1 é possível (compatível) determinado de solução única (−8, −10). 
Se k ≠ −6, então o sistema S1 é impossível (incompatível). 
 (b) Se k ≠ 1, então o sistema S2 é possível (compatível) indeterminado. 
Se k = 1, então o sistema S2 é impossível (incompatível). 
 (c) Se k ≠ 2, então o sistema S3 é possível (compatível) determinado de solução única 
(k + 2, 1, −2). 
Se k = 2, então o sistema S3 é possível (compatível) indeterminado. 
 
 
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Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 
 
 
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 (d) Se k ≠1 e k ≠ −4, então o sistema S4 é possível (compatível) determinado. 
Se k = −4, então o sistema S4 é impossível (incompatível). 
Se k = 1, então o sistema S4 é possível (compatível) indeterminado de soluções infinitas do tipo 
x = −z − 2 e y = −3z − 3, com (x, y, z) ∈ R3.

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