Matrizes Sistemas
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coluna j da matriz inicial. 
 
DEFINIÇÃO 9. Chama-se cofator ou complemento algébrico do elemento aij o número \u2206ij . 
 
O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de recorrência que permite calcular o determinante de 
uma matriz de ordem n, onde n \u2265 2, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n \u2013 1. 
E consiste em somar os produtos dos elementos de uma linha qualquer ou coluna qualquer pelos 
respectivos cofatores, isto é, 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ininninininiiiiiinm aaaaaiaA \u2206+\u2206+\u2206++\u2206+\u2206+\u2206= \u2212\u2212\u2212\u2212× 11223321211 L 
( )\u2211\u2211
=
+
=
× \u2212=\u2206=
n
j
ij
ji
ij
n
j
ijijnm AaaA
11
1 , 
onde ijA é o determinante da submatriz obtida retirando a linha i e a coluna j da matriz inicial. 
 
 
EXEMPLOS. 
(1) Dada a matriz A = 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
233
512
434
, calcule jA1 , onde j = 1,...,3, e conclua qual o valor de A . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE SALVADOR (UNIFACS ) 
Cursos de Engenharia 
Disciplinas: Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Profa. Andréa Cirino e Prof. Clevenson Atanásio 
 
 
 17 
(2) Dada a matriz B = 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2212
\u2212
\u2212
222
112
321
, calcule 2iB , onde i = 1,...,3, e conclua qual o valor de B . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(3) Calcule 
212
112
321
\u2212\u2212
\u2212
\u2212
=A 
 
 
 
 
 
(4) Calcule 
1352
0321
0024
4321
\u2212\u2212
\u2212\u2212
=B . 
 
 
 
 
 
 
(5) Calcule 
3120
1032
2013
0231
=C . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO. Quanto mais zeros houver em uma linha ou coluna, mais fácil será o cálculo do determinante 
se for usado esta linha ou coluna. 
 
 
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MATRIZ DOS COFATORES. 
 
DEFINIÇÃO 10. A matriz formada pelos cofatores de cada elemento de uma matriz quadrada A, de ordem n, 
é chamada de matriz dos cofatores. 
 
NOTAÇÃO. 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2206\u2206\u2206\u2206
\u2206\u2206\u2206\u2206
\u2206\u2206\u2206\u2206
\u2206\u2206\u2206\u2206
=
nnnnn
n
n
n
A
L
MOMMM
L
L
L
321
3333231
2232221
1131211
, onde ( ) ijjiij A\u22c5\u2212=\u2206 +1 
 
MATRIZ ADJUNTA. 
 
DEFINIÇÃO 11. Dada a matriz quadrada A, de ordem n, chama-se matriz adjunta de A à matriz transposta da 
matriz dos cofatores de A. 
 
NOTAÇÃO. adj A = tA 
 
EXEMPLO. Verifique que a matriz A = 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
561
413
012
 satisfaz a igualdade ( ) IAAA t \u22c5=\u22c5 det , onde I é a 
matriz identidade de ordem 3. 
 
 
MATRIZES INVERSÍVEIS. 
 
DEFINIÇÃO 12. Dada a matriz A quadrada de ordem n. Diz-se que A é matriz inversível se existir uma 
matriz A\u20131, única, que obedece as seguintes relações: A \u22c5 A\u20131 = In e A\u20131 \u22c5 A = In, onde In é a 
matriz identidade de ordem n. 
 
NOTAÇÃO. A matriz inversa de A é a matriz A\u20131, de ordem n. 
 
DEFINIÇÃO 13. Se a matriz quadrada A possui uma inversa, A\u20131, diz-se que A é uma matriz não-singular. 
Caso contrário, A é dita matriz singular. 
 
EXEMPLOS. 
 
(1) A = \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
72
31
 é inversível e A\u20131 = \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u2212
12
37
, pois: 
 
A \u22c5 A\u20131 = \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\u2212\u2212
+\u2212\u2212
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u2212
\u22c5\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
10
01
761414
3367
12
37
72
31
 = I2 
 
A\u20131 \u22c5 A = \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\u2212+\u2212
\u2212\u2212
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u22c5\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u2212
10
01
7622
212167
72
31
12
37
 = I2 
 
 
 
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(2) A matriz A = \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
84
21
 é singular, pois é impossível determinar a, b, c, e d que satisfaça a relação 
A \u22c5 A\u20131 = I2, onde A\u20131 = \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
dc
ba
. 
 
 
 
PROPRIEDADES. Considere as matrizes quadradas de ordem n, A e B. 
 
[P1] ( ) AA =\u2212\u2212 11 ; 
[P2] ( ) 111 \u2212\u2212\u2212 \u22c5=\u22c5 ABBA ; 
[P3] ( ) ( )tt AA 11 \u2212\u2212 = ; 
[P4] A matriz A só admite inversa se, e somente, se det A \u2260 0; 
[P5] det A\u20131 = Adet
1
; 
[P6] A\u20131 = Adet
1
\u22c5(adj A) 
 
EXEMPLOS. 
(1) Dada a matriz A\u20131 = \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u2212
12
37
, determine A, sabendo que A = ( ) 11 \u2212\u2212A . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) Dadas as matrizes A = \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
72
31
 e B = \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
20
13
, determine (A \u22c5 B)\u20131, B\u20131 \u22c5 A\u20131 e verifique a igualdade 
( ) 111 \u2212\u2212\u2212 \u22c5=\u22c5 ABBA . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(3) Dada a matriz A = 
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
25
1
2
3
, verifique a igualdade ( ) ( )tt AA 11 \u2212\u2212 = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4) Dada a matriz A = 
\uf8f7\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u2212
2
3
2
5
2
7
2
11
, determine det A. 
 
 
 
 
 
 
 
(5) Dada a matriz A = 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
210
412
351
, determine a inversa de A, usando a propriedade P6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROCESSO DE INVERSÃO DE MATRIZES. 
 
Este processo consiste em efetuar operações com as linhas de uma matriz. 
 
Operações elementares sobre linhas de uma matriz. 
 
(O1) Permutação entre duas linhas, Li \u2194 Lj. 
(O2) Substituição de uma linha por um múltiplo não nulo, Li \u2192 kLi, onde k \u2260 0. 
(O3) Substituição de uma linha pela soma dela com o múltiplo não nulo de outra linha, Li \u2192 Li + kLj, onde 
k \u2260 0. 
 
 
 
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DEFINIÇÃO 14. Se a matriz B é obtida por uma quantidade finita de operações elementares em A, então se 
diz que a matriz B é linha-equivalente à matriz A. 
 
NOTAÇÕES. A ~ B ou A \u2192 B. 
 
EXEMPLO. 
 
A = 
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
+\u2192
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2192
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2194
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
351
13165
420
~
3
351
412
420
~
2
351
412
210
~
210
412
351
3221131 LLLLLLL
 = B \u21d2 A ~ B 
 
DEFINIÇÃO 15. Uma matriz obtida a partir da matriz identidade através da aplicação de uma única operação 
elementar sobre linhas é chamada matriz elementar, E. 
EXEMPLOS. 
 
(1) I = ELL =
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2194
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
001
010
100
100
010
001
31 
 
(2) I = ELLL =
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\u2192
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
140
010
001
4
100
010
001
233 
 
TEOREMA 1. Toda matriz elementar E, é inversível e sua inversa E\u20131, é obtida da matriz identidade I, 
através da operação inversa da que transformou I em E. 
 
 
 
EXEMPLOS. 
 
(1) I = 11111
100
010
00
2
1
~
2
1
100
010
001
100
010
002
~
2
100
010
001
\u2212
=
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2192
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=\u21d4=
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2192
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
ELLIE
LL
 
 
(2) I = 13232
010
100
001
100
010
001
010
100
001
100
010
001
\u2212
=
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2194
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9