Algebra Linear - TRANSFORMAÇÕES LINEARES, ESTUDO DE RETAS E PLANOS: COMO RELACIONAR ESTES ELEMENTOS DA GEOMETRIA

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA 
LINEAR
CAPÍTULO 3 - TRANSFORMAÇÕES 
LINEARES, ESTUDO DE RETAS E PLANOS: 
COMO RELACIONAR ESTES ELEMENTOS DA 
GEOMETRIA?
Oswaldo Luiz Cobra Guimarães
- -2
Introdução
Neste capítulo, estudaremos importantes conceitos da Álgebra Linear e da Geometria Analítica. Você se lembra
do conceito de uma função matemática? Uma função matemática é uma relação, uma aplicação que associa a
cada elemento de um conjunto um único elemento de um segundo conjunto, por exemplo, considerando que 
, logo, esta é uma aplicação ou uma relação que transforma o número dado por em seu cubo.
Uma transformação linear transforma elementos de um espaço vetorial arbitrário em elementos vetoriais de
outro espaço arbitrário . Estes resultados possuem forte aplicação nos campos da Física, da Matemática, da
área da Computação e em diversos ramos das Engenharias.
Você sabia que as diversas imagens na tela de seu computador são produzidas através de transformações
lineares? Estudaremos, também neste capítulo, importantes elementos da Geometria Euclidiana, neste caso,
retas e planos. Muitos objetos de nosso cotidiano são formados por planos e muitas medidas destes objetos são
determinadas através de retas. Ao criar uma mesa para que você faça suas refeições, o engenheiro modela
diversas equações de planos e retas para que ocorra o equilíbrio e resistência dos objetos. A Geometria e a
Álgebra Linear estão, portanto, presentes em nosso dia a dia. Vamos estudar estes conceitos a partir de agora.
3.1 Transformações Lineares
Ao estudarmos uma função matemática verificamos que transformamos um número real em outro número real.
Por exemplo, a função tranforma um número real qualquer em seu quadrado. Neste tópico estudaremos
outro tipo de função ou de operação, no qual trabalharemos com espaços vetoriais. Desta forma, veremos sobre
operações e aplicações nas quais tanto o conjunto de variáveis dependentes quanto o conjunto de variáveis
independentes são vetores. Além disso, estudaremos as chamadas transformações lineares.
Lembre-se sempre de que na Álgebra Linear estamos interessados em funções nas quais o domínio e o
contradomínio são espaços vetoriais, desde que preservem as operações de multiplicação de escalares por
vetores e soma de vetores.
3.1.1 Definição
Considere e dois espaços vetoriais. Uma operação é uma transformação linear de se, e
somente se obedecer as regras abaixo. Clique na interação para ver.
b) 
Para
Desta forma, uma transformação linear preserva a adição entre vetores e a multiplicação de um vetor
por escalar. Quando , uma transformação linear é chamada também de operador linear.
Outro aspecto importante é que em toda transformação linear , a imagem do vetor é o vetor ,
ou seja, Logo, nosso objetivo neste tópico será a transformação de vetores em vetores.
Uma leitura importante em relação às transformações lineares é que se é um vetor pertencente ao conjunto ,
temos que é a imagem do vetor sobre a transformação . Dizemos, então, que transforma ou mapeia 
Exemplo 1
Considere a transformação linear:
Verifique se a transformação é linear.
Resolução
Iremos, então, verificar se:
- -3
Iremos, então, verificar se:
b) 
Para
Considere e vetores quaisquer . Então:
Vejamos agora :
Logo: 
Verificaremos agora se :
E, finalmente, .
Logo, .
Portanto, trata-se de uma transformação linear. Observe também que geometricamente representa
uma reta que passa pela origem: .
Figura 1 - Transformação linear 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
Exemplo 2
Considere a transformação . Verifique se esta transformação é linear.
Resolução
Iremos escolher dois vetores , ambos Vamos verificar se :
O lado esquerdo da igualdade :
Temos, então, que e a tranformação não é linear.
Outra maneira de verificar que não é uma transformação linear é verificar se a Temos,
então, que , não sendo uma transformação linear.
Exemplo 3
A aplicação , é uma tranformação linear?
Resolução
Considere dois elementos quaisquer de . Vamos verificar se:
b) 
Para: 
- -4
Para: 
Desta forma, é uma transformação linear.
Exemplo 4
Considere a transformação: × . Verifique se esta transformação é linear.
Resolução
Vamos verificar se 
Temos que . Logo, . Portanto, não é uma
transformação linear.
Exemplo 5
Vamos verificar se com é uma transformação linear.
Resolução
Observe a figura representativa desta transformação.
Figura 2 - Representação da transformação com .
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
Analisando a figura acima verificamos que a transformação com representa a
projeção ortogonal de elementos de sobre o plano Vamos verificar se:
b) 
Para .
Temos, então, que:
- -5
Exemplo 6
Verifique se a aplicação dada por com é uma transformação linear.
Resolução
Considere .
Iremos verificar agora se 
Temos que e, portanto, não é uma transformação linear.
Exemplo 7
Considere a transformação dada por , com Verifique se esta aplicação é uma
transformação linear.
Resolução
Temos que:
Desta forma, é uma transformação linear.
Exemplo 8
Vamos verificar se a transformação , com é linear.
Resolução
Considere Temos que provar que:
b) 
Para: 
Desta forma:
Portanto, temos que é linear.
Exemplo 9
Neste exemplo falaremos um pouco sobre o significado geométrico de uma transformação linear. Para isso,
vamos considerar uma transformação linear definida por e
também consideraremos os vetores Iremos calcular 
Resolução
Temos que 
Temos também que é a diagonal do paralelogramo formado por Observe na figura abaixo que é
a diagonal do paralelogramo formado por 
- -6
Figura 3 - Adição de vetores.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
Observe que preserva a adição de vetores.
Aqui, vamos falar um pouco sobre uma importante propriedade das transformações lineares. Se é uma
transformação linear, temos que . Ou seja, a imagem de
uma combinação linear dos vetores é uma combinação linear das imagens com os mesmos
coeficientes Portanto, temos que 
Exemplo 10
Temos que é uma transformação linear e é uma base do .
Sabemos também que Determine 
Resolução
Vamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base:
Teremos o sistema:
A solução deste sistema é dada por . Então, . Aplicando a
transformação, teremos:
Para fixarmos mais ainda esta operação, vamos determinar nas condições do enunciado do exemplo:
A solução é dada por: .
Então: .
Aplicando a transformação aos membros desta expressão, teremos:
.
.
Outra propriedade importante das transformações lineares é que elas ficam perfeitamente definidas quando
conhecemos seus valores nos vetores de uma base em seu domínio. Vamos a outro exemplo.
- -7
Exemplo 11
Vamos determinar a transformação linear com 
Resolução
Vamos verificar se o conjunto é uma base para .Como este conjunto é linearmente
independente e , é uma base de . Temos que se :
 se, e somente se, . Desta forma:
.
3.1.2 Núcleo e Imagem de uma transformação linear
Steimbruch e Winterle (2002, p. 168) define uma transformação linear ao conjunto de todos os vetores 
 que são transformados em Indica-se esse conjunto por 
Figura 4 - Núcleo de transformação linear.
Fonte: STEIMBRUCH; WINTERLE, 2002, p, 168.
Observe que e pois , tendo em vista que Podemos dizer que um elemento de
um dado conjunto pertence ao núcleo de uma transformação linear quando a aplicação o transforma no
elemento neutro de outro conjunto. Vejamos alguns exemplos adaptados de Steimbruch e Winterle (2002).
Exemplo 12
Qual é o núcleo da transformação com ?
Resolução
O que implica em . Teremos, portanto:
Com solução dada por O núcleo é dado por 
- -8
Exemplo 13
Considere a transformação linear com . Determine o núcleo desta
transformação.
Resolução
O que implica em .Teremos, portanto:
Este é um sistema com solução Desta forma, teremos que:
Exemplo 14
Considere a transformação linear com . Determine o núcleo desta transformação linear.
Resolução
O que implica O núcleo é a reta .
Figura 5 - Núcleo da transformação .
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
Exemplo15
Considere a transformação dada por com . Determine o
núcleo desta transformação.
Resolução
. Teremos o sistema:
Escalonando, teremos:
O que nos fornece: 
O núcleo será dado por 
Denominamos imagem de uma transformação linear dada por ao conjunto de vetores que são
- -9
Denominamos imagem de uma transformação linear dada por ao conjunto de vetores que são
imagens de pelo menos um vetor . Representamos a imagem por ou . Matematicamente, temos
que:
.
Figura 6 - Imagem de uma transformação.
Fonte: STEIMBRUCH; WINTERLE, 2002, p. 172
Exemplo 16
Neste exemplo iremos determinar o núcleo e a imagem do operador linear com 
.
Resolução
Temos que . Logo, segue que , o que
implica em:
Este sistema tem por solução .
O núcleo será, então, dado por .
A imagem da transformação é da forma: . Assim:
A solução deste sistema é dada por A imagem é dada por: .
Exemplo 17
Temos, neste exemplo, o vetor dado por . Desejamos determinar se este vetor pertence à transformação
linear dada por 
Resolução
Para que um vetor pertença à imagem de uma transformação linear deve existir algum , ou seja, 
- -10
Para que um vetor pertença à imagem de uma transformação linear deve existir algum , ou seja, 
. Temos, então, que:
Este sistema tem por solução .
Logo, o vetor pertence à imagem da transformação 
De forma resumida, podemos estabelecer algumas propriedades para o núcleo e imagem de uma transformação
linear:
O núcleo é um espaço vetorial de um conjunto ;
A imagem é um subespaço vetorial de ;
.
3.1.3 Matriz de uma transformação linear
Vamos iniciar nossos estudos sobre matrizes de transformação linear com um exemplo. Considere a
transformação linear Podemos reescrever esta transformação, expressando-a
na forma matricial:
Procedendo esta multiplicação, teremos o vetor transposto de :
.
A matriz de transformação será, então, dada por .
Desta forma, a ideia de matrizes de transformação é associarmos uma matriz a uma transformação linear.
Exemplo 18
Considere . A transformação matricial definida por transforma ou mapeia o
vetor no vetor , ou seja, segundo:
Exemplo 19
Considere e . Vamos considerar uma transformação linear , dada por . Qual
é a transformação produzida?
Resolução
Vamos determinar .
Desta forma, .
A matriz transformou o vetor no vetor .
Exemplo 20
Considere a matriz e a transformação , dada por . Qual é a transformação
produzida por 
Resolução
Vamos tomar o exemplo de .
- -11
Vamos tomar o exemplo de .
Desta forma, .
De forma geral:
Se , então: 
Exemplo 21
Se , determine tal que 
Resolução
Façamos . Então, leva à .
O que conduz à .
Somando as duas equações, teremos:
Subtraindo as mesmas duas equações, teremos:
Portanto, todo vetor , é levado a pela transformação matricial 
Seja a transformação linear dada por . Sem perda de generalização, para fins de simplificação, vamos
considerar que (STEIMBRUCH; WINTERLE, 2002, p. 182).
Consideraremos também que sejam, respectivamente, as bases de . Vamos
expressar o vetor por . Vamos expressar a imagem 
_1. Aplicando a transformação linear em temos que:
Visto que são vetores de eles são combinações lineares dos vetores de B:
Iremos, então, substituir estes valores em e teremos:
Então, comparando esta última igualdade com 
Na forma matricial, teremos:
Simbolicamente, . Em que é chamada matriz de em relação às bases 
Temos que:
a) A matriz é de ordem quando Se a transformação linear tiver 
 , a transformação será uma matriz de ordem ;
b) As colunas da matriz são as componentes das imagens dos vetores da base em relação à 
c) representa as coordenadas do vetor na base ;
d) representa as coordenadas do vetor na base .
Exemplo 22
Neste exemplo temos a transformação linear com Iremos considerar
- -12
Neste exemplo temos a transformação linear com Iremos considerar
as bases com e Determine a
matriz de transformação .
Resolução
A matriz é de ordem 
Desta forma: .
Exemplo 23
Quando são bases canônicas temos que a matriz de transformação recebe o nome de matriz canônica.
Vamos considerar , com . Determine , em que são bases
canônicas.
Resolução
Temos: 
Reescrevendo como combinação linear, teremos:
Desta forma, temos que:
Exemplo 24
Temos a transformação com . Determine a matriz de transformação 
sendo bases canônicas.
Resolução
As bases de são bases canônicas e dadas por Sendo temos A matriz de
transformação será uma matriz de ordem Teremos, então:
Escrevendo como combinação linear:
A matriz de transformação será dada por Vamos verificar se chegamos a um resultado correto.
Fazendo , temos que:
Desta forma, a matriz realmente transforma, mapeia ou leva a .
- -13
3.1.4 Aplicações
Veremos agora algumas aplicações de transformações lineares às diversas situações por meio de exemplos.
Nosso objetivo não é a resolução de problemas, a qual exigiria o conhecimento de conceitos que ainda não
estudamos e, sim, a exemplificação de situações nas quais poderiam ser aplicados os conceitos de transformação
linear.
Exemplo 25
Uma corretora de criptomoedas trabalha com 4 moedas virtuais. Iremos chamar estas moedas de Um
cliente, então, resolve trabalhar com estas quatro moedas criando a chamada carteira virtual e distribui seu
dinheiro nestas quatro moedas. A carteira do cliente pode ser representada por um vetor de ordem , na
forma: .
Vamos supor que a moeda resultou em e assim por diante. O rendimento total de cada
cliente poderá ser calculado pela transformação linear dada por:
.
Exemplo 26
Ao projetar uma estrutura, um engenheiro civil deve estudar os esforços ou transformações que ocorrem nas
estruturas projetadas. Esforços de tração ocorrem quando uma estrutura sofre uma distensão ou estiramento, o
que pode ser associado ao conceito de dilatação.
Esforços de compressão em vigas, por exemplo, podem ser associados a conceitos de transformação lineares
associados à contração. Outro efeito que ocorre em estruturas é o efeito de torção que, relacionadas à Álgebra
Linear, assemelham-se a efeitos de rotações.
Outro esforço que ocorre em estruturas é o efeito de cisalhamento, que pode ser definido como efeitos de tensão
executados por forças em sentidos iguais ou opostos e que estão associados, na Álgebra Linear, às
transformações lineares de cisalhamento.
Exemplo 27
Na computação gráfica, os objetos criados e movimentados na tela do computador utilizam matrizes e
transformações lineares para a realização de efeitos gráficos. Vamos imaginar a letra I projetada na tela de um
computador no sistema de coordenadas cartesianas Observe a representação:
- -14
Figura 7 - Letra I em coordenadas cartesianas.
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em GONÇALVES, 2013.
Podemos, então, representar esta letra pela matriz de coordenadas dos pontos:
A projeção do desenho da nova letra I, em formato itálico, pode ser obtida por uma ação de cisalhamento
paralela ao eixo dos .
Figura 8 - Letra I em itálico em coordenadas cartesianas.
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em GONÇALVES, 2003.
Esta letra I em itálico pode ser programada em computador usando a matriz de cisalhamento dada por , de
forma que as novas coordenadas são dadas por:
As coordenadas são dadas pelas colunas desta nova matriz.
Exemplo 28
Muitos outros efeitos em computação gráfica são realizados utilizando transformações lineares. Vejamos alguns
deles.
a) Reflexão em torno do eixo x: é obtida pela transformação linear com . Na forma
- -15
a) Reflexão em torno do eixo x: é obtida pela transformação linear com . Na forma
matricial temos .
Em que é a matriz de transformação.
Figura 9 - Reflexão de um ponto qualquer em relação ao eixo x.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
b) Reflexão em torno do eixo y: é obtida pela transformação linear , com . Na forma
matricial, temos .
Em que é a matriz de transformação.
- -16
Figura 10 - Reflexão de um ponto qualquer em relação ao eixo y.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
c) Reflexão em torno de uma reta : é obtida pela transformação linear , com . Na
formamatricial, temos .
Em que é a matriz de transformação.
Figura 11 - Reflexão de um ponto qualquer em relação à reta .
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
- -17
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
d) Reflexão em torno de uma reta : é obtida pela transformação linear , com . Na
forma matricial, temos .
Em que é a matriz de transformação.
Figura 12 - Reflexão de um ponto qualquer em relação à reta .
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
e) Dilatação ou contração: é obtida pela transformação linear , com . Na forma matricial,
temos .
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Figura 13 - Dilatação de um ponto qualquer no plano coordenado.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
Em que é a matriz de transformação.
Para 
Para .
Para .
Para .
- -19
Apresentamos aqui apenas algumas transformações implementadas em computação gráfica para criação ou
deslocamento de vetores, as quais possibilitam os movimentos de imagens que obtemos em nossas telas de
computadores, televisores e celulares, claro, de uma maneira bem simplificada.
CASO
Um engenheiro de computação deseja deslocar um à extremidade de um vetor na direção .x
Vejamos o movimento de cisalhamento na direção utilizado em computação gráfica para
transformação de letras em itálico. Para obtermos efeitos de cisalhamento podemos utilizar a
transformação linear . Na direção , teremos a transformação dada por x
. Escrevendo na forma matricial, teremos: , em que 
representa a matriz de transformação.
Figura: Cisalhamento na direção , posição original.x
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
A próxima figura apresenta o movimento de cisalhamento.
Figura: Cisalhamento na direção , posição final.x
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
- -20
computadores, televisores e celulares, claro, de uma maneira bem simplificada.
3.2 Transformação de coordenadas
Quando conhecemos a equação de uma curva em um dado sistema de coordenadas ou mesmo um ponto neste
sistema, podemos obter novas coordenadas em outro sistema de coordenadas, processo que se denomina
transformação de coordenadas. Estaremos interessados em como podemos converter coordenadas do sistema
cartesiano para os sistemas polar, cilíndrico e esférico.
Vamos, inicialmente, abordar o sistema de coordenadas cartesianas. O sistema de coordenadas polares consiste
de uma medida de um ângulo e de uma distância em relação a um ponto fixo. Observe a figura abaixo na qual
ilustramos o ponto 
Figura 14 - Sistema de coordenadas polares.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
Vamos coincidir a origem do sistema cartesiano com a origem do sistema de coordenadas polares e teremos:
- -21
Figura 15 - Coordenadas polares.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
Façamos a projeção do ponto em relação aos eixos coordenados do sistema cartesiano.
Figura 16 - Sistema de coordenadas polares.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
Observando a figura acima, temos o que é apresentado na interação a seguir. Clique para ver.
Temos, então, as equações de transformação do sistema cartesiano para polar. Temos também a equação auxiliar 
Agora, vamos estudar a transformação de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas cilíndricas.
- -22
Agora, vamos estudar a transformação de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas cilíndricas.
Além de coordenadas cartesianas, no espaço, podemos empregar os sistemas de coordenadas cilíndricas e o
sistema de coordenadas esféricas. Observe a figura abaixo:
Figura 17 - Sistema de coordenadas cilíndricas.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
Observando a figura acima, as equações de transformação do sistema cartesiano para o sistema de coordenadas
cilíndricas são:
Temos também:
Vejamos agora a representação do sistema de coordenadas esféricas. Vamos considerar um ponto e sua
projeção no plano Observe a figura abaixo:
- -23
Figura 18 - Sistema de coordenadas esféricas.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
Vamos considerar: variando de A partir do triângulo de vértices , temos que:
A partir do triângulo , temos que:
 e 
Portanto:
Temos também, observando a figura acima, que:
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 29
Determinar as coordenadas cilíndricas e esféricas do ponto que possui coordenadas dadas por 
Resolução
a) Coordenadas cilíndricas
Desta forma, as coordenadas cilíndricas do ponto são 
b) Coordenadas esféricas
- -24
Logo, as coordenadas esféricas são dadas por 
Exemplo 30
Neste exemplo, estaremos interessados em encontrar as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas
polares são dadas por .
Resolução
Temos que: 
Logo, as coordenadas cartesianas do ponto são dadas por 
Exemplo 31
Neste exemplo vamos passar a equação dada em coordenadas cartesianas por 
para coordenadas cilíndricas.
Resolução
Utilizaremos as fórmulas:
.
.
.
.
No tópico a seguir estudaremos diversas representações do elemento geométrico reta.
3.3 Estudo de retas
Podemos representar a reta sob diversas formas: vetorial, paramétrica e simétrica. Estudamos que por dois
pontos distintos podemos traçar uma reta. Entretanto, em muitas situações temos o conhecimento de apenas um
ponto e sua direção. Neste tópico, analisaremos as condições para a determinação de uma reta, identificaremos e
escreveremos as retas em várias representações e também verificaremos se um ponto pertence a uma dada reta.
3.3.1 Equações de retas
Uma reta pode ser representada, no sistema cartesiano, por meio de uma equação. Esta equação pode ser obtida,
basicamente, quando conhecemos dois pontos pelos quais a reta passa ou quando conhecemos um ponto pelo
qual ela passa e seu declive ou inclinação, também nomeado como coeficiente angular. Para seu conhecimento,
vamos nos lembrar de que uma reta, no plano, também pode possuir:
Equação fundamental da reta
, em que representando o coeficiente angular da reta e um ponto pertencente à
reta.
Equação reduzida da reta
, em que representa o coeficiente angular e representa o coeficiente linear, ou seja, o ponto onde a
reta intercepta o eixo .
Equação geral da reta
.
Dois pontos definem uma reta. Podemos determinar a equação de uma reta pela condição de alinhamento de 3
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Dois pontos definem uma reta. Podemos determinar a equação de uma reta pela condição de alinhamento de 3
pontos, que nos diz que 3 pontos pertencem a uma mesma reta, ou seja, estão alinhados quando o determinante
de uma matriz associada a estes pontos é igual à zero. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 32
Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos 
Resolução
Como conhecemos apenas dois pontos, chamaremos o terceiro ponto de O determinante será dado por:
Resolvendo o determinante, temos a equação geral da reta dada por 
Observe que a representação geral da reta é obtida montando-se um determinante com as coordenadas de dois
pontos conhecidos e pertencentes à reta. Observe também que a terceira coluna do determinante é preenchida
com o valor 1. Vejamos outras formas de representação de retas.
• Equação Vetorial da reta
Para deduzirmos a equação vetorial da reta utilizaremos a figura abaixo:
Figura 19 - Equação vetorial da reta.
Fonte: WINTERLE, 2014, p. 103.
Na figura acima temos um vetor paralelo à reta e que determina a direção desta mesma reta. Chamaremos
este vetor de vetor diretor da reta de coordenadas não nulo. Iremos considerar também um ponto 
 pertencente à reta . Observe que existe somente uma reta que passa pelo ponto e que possui a
direção do vetor . Iremos considerar também um ponto tal que .
Reescrevendo a expressão teremos a chamada equação vetorial da reta, expressa em termos de um
parâmetro escalar .
Exemplo 33
Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto e que possui a direção do vetor 
•
- -26
Resolução
Vamos lembrar que a equação vetorial é dada por Desta forma, teremos:
, que é a equação vetorial da reta.
Vejamos uma representação em gráfico:
Figura 20 - Gráfico da reta de equação vetorial .
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
Desta forma, para determinarmos a equação vetorial de uma reta, basta que seja conhecido um ponto
pertencenteà reta e um vetor não nulo que tenha a direção desta reta.
Exemplo 34
Considere uma reta denominada que é determinada pelos pontos . Determine a equação
vetorial desta reta.
Resolução
Temos que dois pontos distintos determinam uma reta (axioma da Geometria). Desta forma, podemos encontrar
a equação desta reta seguindo os procedimentos:
• vamos determinar o vetor diretor da reta, sendo ele definido por , visto que qualquer um dos •
- -27
• vamos determinar o vetor diretor da reta, sendo ele definido por , visto que qualquer um dos 
dois é paralelo à reta;
• Assim, teremos ou ou ou .
Desta forma, o vetor diretor é dado por: .
A equação vetorial pode ser dada então por: .
Exemplo 35
Determine qual é a equação vetorial da reta sabendo que:
• a reta passa pelo ponto ;
• a reta possui a direção do vetor .
Resolução
As coordenadas do vetor diretor são dadas por 
A equação vetorial possui a forma .
Portanto, 
Exemplo 36
Considere a equação vetorial dada por . Desejamos verificar se os pontos e 
pertencem à reta .
Resolução
Para que um determinado ponto pertença a uma reta é necessário existir de forma que 
.
Reescrevendo na forma de sistema de equações, teremos:
O sistema possui solução 
• Equações paramétricas da reta
Em um dos postulados da Geometria Euclidiana é dado que, conhecidas as coordenadas de dois pontos, a
equação da reta que passa por estes dois pontos está determinada e que apenas uma única reta passa por tais
pontos. Já vimos que a equação vetorial da reta é dada por:
.
Façamos e teremos:
Reescrevendo, teremos:
Simplificando:
, que é conhecida como equações paramétricas da reta.
Podemos pensar no parâmetro como sendo o tempo e, desta forma, a equação paramétrica da reta pode ser
visualizada como a trajetória de um móvel ao longo do tempo, fornecendo as coordenadas deste movimento.
•
•
•
•
•
- -28
Exemplo 37
Quais são as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos de coordenadas ?
Resolução
Dados dois pontos, iremos determinar um dos vetores diretores desta reta:
.
As equações paramétricas são dadas por:
Em que são as coordenadas de um ponto pertencente à reta e as coordenadas do vetor diretor da
reta. Portanto, teremos:
Exemplo 38
Dado o ponto e o vetor diretor , determine:
a) quais são as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e possui a direção do vetor 
b) os pontos de parâmetros iguais a , respectivamente.
c) o ponto cuja abscissa possui valor igual a 
d) e verifique se o ponto pertence à reta 
e) quais são as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e é paralela ao eixo dos ?
Resolução
a) As equações paramétricas são dadas por:
Substituindo os valores dados, teremos:
b) Para , teremos:
O ponto terá coordenadas .
Para teremos:
VOCÊ QUER LER?
Um bom livro para consulta e aprofundamento dos conceitos de Geometria Analítica é o livro
“Geometria Analítica em espaços de duas e três dimensões” (2014), dos autores Álvaro Emílio
Leite e Nelson Pereira Castanheira. No livro, os autores apresentam diversos exemplos
resolvidos de como a Geometria Analítica contribui para a análise de retas e planos. Vale a
pena dar uma leitura nesta excelente obra. Você pode acessar esta obra em:
< >.https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/ga-bibliotecaSSO-BBLEARN/homePearson
https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/ga-bibliotecaSSO-BBLEARN/homePearson
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O ponto C terá coordenadas .
c) Para abscissa com valor , teremos:
Substituindo , teremos:
d) Vamos verificar se o ponto pertence à reta 
A reta possui equações paramétricas dadas por:
Substituindo 
Não existe um único valor de que satisfaça simultaneamente as 3 equações e desta forma, o ponto não
pertence à reta .
• Equação simétrica da reta
Verificamos que as equações paramétricas são dadas por:
Isolando e igualando o parâmetro , teremos as chamadas equações simétricas da reta:
Em que são coordenadas de um ponto pertencentes à reta e são coordenadas do vetor diretor da
reta.
VOCÊ QUER LER?
Uma boa leitura é o livro “Geometria Analítica” (2016), de Luana Fonseca Duarte Fernandes. A
autora utiliza uma linguagem simples sem perder o rigor matemático, utilizando figuras e
exemplos e exercícios resolvidos que ajudam o aluno a entender os conceitos da Geometria
abordados no livro, como retas, planos e outros elementos da Geometria Analítica. O livro se
destina a alunos de cursos de Matemática e áreas afins. Para ter uma agradável leitura, acesse:
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•
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Exemplo 39
Determine as equações simétricas da reta sabendo-se que a reta passa pelo ponto e possui a direção de
vetor (WINTERLE, 2014, p. 138).
Resolução
Temos que as equações simétricas da reta são dadas por:
Substituindo os valores dados, teremos:
3.4 Estudo de planos
Iremos, neste tópico, estabelecer como um plano pode ser descrito, ou seja, buscaremos as representações de um
plano. Inicialmente, estudaremos a equação geral do plano. Observe a figura abaixo:
VOCÊ SABIA?
Inúmeros matemáticos deram importantes contribuições à Geometria Plana e espacial,
podendo citar Pitágoras, Euclides, Arquimedes, Apolônio de Perga, dentre outros. Através dos
estudos destes matemáticos e sábios ecléticos, a Matemática deixa seu aspecto intuitivo e
empírico e passa a assumir um caráter racional, dedutivo e lógico, com definições, axiomas,
postulados e teoremas.
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Figura 21 - Plano e vetor normal ao plano.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
Vamos obter a equação geral do plano. Temos que os vetores e formam um ângulo de noventa graus.
Portanto, o produto escalar entre estes dois vetores é igual à zero. Teremos:
Fazendo , chegaremos à:
Portanto, temos que a equação geral do plano é dada por: .
Observe que são as coordenadas do vetor normal ao plano.
Exemplo 40
Qual é a equação do plano que passa pelo ponto e que possui vetor normal ?
Resolução
A equação geral do plano é dada por: . O vetor normal é dado por e desta forma,
teremos:
O ponto pertencente à reta é dado por e desta forma: . Substituindo os valores na
expressão podemos determinar o valor da constante 
.
A equação do plano será dada por .
Exemplo 41
Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto Sabe-se que o plano é paralelo ao plano de
equação geral dada por .
Resolução
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O vetor normal do plano é dado por . Visto que os dois planos são paralelos,
eles possuem a mesma direção e, portanto, o mesmo vetor diretor.
A equação geral do plano é dada por Logo, teremos que:
 é a equação do plano procurado.
Para determinar o valor da constante façamos a substituição do ponto na equação e
chegaremos a:
Logo, a equação do plano será dada por .
• Equação Vetorial e Paramétrica do Plano
Para determinarmos um plano precisamos conhecer no mínimo três pontos não colineares. Observe a figura
abaixo na qual temos os pontos pertencentes ao plano .
Figura 22 - Plano .
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
A coordenada do ponto é dada por .
Temos também, pertencentes ao plano , os vetores e . Observe que temos também
um ponto pertencente ao plano de tal forma que:
, onde são dois números reais.
Reescrevendo, teremos:
.
Iremos, então, substituir as coordenadas conhecidas:
, que é a equação vetorial do plano.
Nesta expressão, e são vetores diretores do plano. Igualando as componentes chegamos A:
 , que são chamadas de equações paramétricas da reta.
•
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Exemplo 42
Neste exemplo temos o plano passando pelo ponto de coordenadas . Sabemos que este plano é paralelo
a dois vetores de coordenadas e . Obtenha as equações geral, vetorial e paramétrica deste
plano.
Resolução
Inicialmente, vamos obter a equação geral do plano. O vetor normal ao plano é ortogonal simultaneamente aos
vetores e . Este vetor normal, portanto, será dado por:
.
A equação geral é dada por: , com sendo as coordenadas do vetor normal ao plano.
Portanto, teremos.
Ou seja: . Para determinarmos a constante utilizaremos o fato que o ponto pertence ao
plano. Desta forma:
A equação geral do plano será dada por . A equação vetorial do plano é dada por 
Substituindo os valores dados no enunciado do exemplo, teremos:
As equações paramétricas são dadas por:
VOCÊ QUER VER?
Assista ao filme (2016), do diretor Theodore Melfi. O filme mostra trêsEstrelas além do tempo
mulheres matemáticas cujos trabalhos foram importantes durante a guerra fria para que
foguetes chegassem à Lua. Em particular, apresenta Dorothy Vaughn, especialista em
Geometria Analítica. Você pode assistir ao trailer em:
< >.http://www.adorocinema.com/filmes/filme-219070/trailer-19551995/
VOCÊ O CONHECE?
Apolônio de Perga (262(?) – 190(?) a.C.). Pouco se sabe sobre sua vida, mas parece que era
considerado como um rival cordial de Arquimedes. Nascido em Perga, no sul da Ásia Menor,
recebeu dos antigos a honra de ser conhecido como Grande Geômetra. Infelizmente, a maior
parte de sua obra desapareceu. Estima-se que a obra de Apolônio continha uma matemática
considerada bastante avançada e o que se conhece sobre ela foi descrita por Pappus de
Alexandria, o qual realizou uma descrição de suas obras.
http://www.adorocinema.com/filmes/filme-219070/trailer-19551995/
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Exemplo 43
Os pontos pertencem ao plano . Determine a equação geral do plano e a
equação paramétrica.
Resolução
Inicialmente, vamos determinar dois vetores diretores do plano 
O vetor normal ao plano será dado por:
Portanto, a equação normal é na forma . Sabemos que o ponto pertencen ao plano e,
desta forma:
A equação geral do plano é dada por . As equações paramétricas são dadas por:
• Equação segmentária do plano
A equação geral do plano é dada por . Se , temos que:
Fazendo: , temos a chamada equação segmentária do plano.
Vamos ao exemplo final deste tópico.
Exemplo 44
Temos um plano que contém os pontos de coordenadas , respectivamente.
Determine as equações vetorial, paramétrica, geral e segmentária deste plano.
Resolução
Vamos determinar alguns vetores pertencentes ao plano:
A equação vetorial pode ser determinada por:
As equações paramétricas são dadas por:
VOCÊ QUER LER?
Uma excelente leitura é “História da Matemática” (1974), de Carl B. Boyer, em que o autor
escreve: “foi a Matemática pura de Apolônio que permitiu, cerca de 1800 anos mais tarde, os
Princípios de Newton” (BOYER, 1974).
•
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Vamos tomar como pontos pertencentes ao plano. Logo, os vetores 
 são coplanares.
Logo: 
A equação geral do plano é dada por 
A equação segmentária é dada por:
Desta forma, temos diferentes representações para o mesmo plano .
Para finalizarmos nosso estudo de planos, falaremos um pouco sobre alguns casos particulares. Navegue na
interação a seguir para conhecê-los.
a) Quando o plano passa pela origem possui equação geral dada por 
b) Plano paralelo ao eixo , possui equação geral dada por .
c) Plano paralelo ao eixo , possui equação geral dada por .
d) Plano paralelo ao eixo , possui equação geral dada por .
e) Plano que passa pelo eixo possui equação geral dada por 
f) Plano que passa pelo eixo possui equação geral dada por 
g) Plano que passa pelo eixo possui equação geral dada por 
h) Plano paralelo ao plano possui equação geral dada por 
i) Plano paralelo ao plano possui equação geral dada por 
j) Plano paralelo ao plano possui equação geral dada por 
O vídeo a seguir apresenta uma forma prática de aplicar os conhecimentos teóricos sobre situações geométricas
utilizando-se o Geogebra, um ambiente em que é possível, dentre outras coisas, a reprodução gráfica e
manipulação de situações geométricas em dois e 3D.
https://cdnapisec.kaltura.com/p/1972831/sp/197283100/embedIframeJs/uiconf_id/30443981/partner_id
/1972831?iframeembed=true&playerId=kaltura_player_1552719622&entry_id=1_tvzbf7pf
Chegamos ao final de mais um capítulo do curso Geometria Analítica e Álgebra Linear, que fundamentam muitos
dos conceitos matemáticos utilizados em outras disciplinas das áreas de Exatas e afins.
Síntese
Neste capítulo estudamos como podemos transformar vetores pelas chamadas transformações lineares e
também estudamos importantes elementos da Geometria Analítica. Os assuntos estudados relacionaram
Geometria Analítica e Álgebra Linear, em representações escalares e vetoriais. Importantes elementos da
Geometria, como retas e planos, foram estudados sob representações geral, vetoriais, paramétricas e simétricas,
perfazendo uma abordagem completa de como podemos visualizar e representar tais elementos.
Em conjunto, estudamos outra abordagem, mais completa, de funções matemáticas, a saber, as transformações
lineares, que nos permitem trabalhar com espaços vetoriais de forma a mapear conjuntos, transformando, por
exemplo, espaços bidimensionais em espaços tridimensionais. Estudamos uma importante aplicação de
transformações lineares, as chamadas transformações especiais, utilizadas em computação gráfica e em diversas
engenharias. Este capítulo nos apresentou o elo existe entre duas importantes áreas de Matemática: Geometria
Analítica e Álgebra Linear.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
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Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• entender o significado de transformações lineares, bem como seu sentido geométrico, suas propriedades 
e aplicações;
• converter coordenadas em representações de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas, 
polares e esféricas;
• representar retas e planos em diferentes formas, como vetorial, segmentária, paramétrica e geral.
Bibliografia
ANTON, H. . 10. Porto Alegre: Bookman 2012.Álgebra linear com aplicações
BOYER, C. B. . Tradução da terceira edição americana. São Paulo: Blucher, 2012.História da matemática
ESTRELAS além do tempo. Direção: Theodore Melfi. Roteiro: Theodore Melfi, Allison Schroeder. Intérpretes:
Taraji P. Henson, Janelle Monáe, Octávia Spencer, Kevin Costner, Jim Parsons e outros. Distribuição: 20th Century
Fox. Estados Unidos, 2016. 1 filme (127min.).
GONÇALVES, H. S. . 2013. 42 f.A importância das matrizes e transformações lineares na computação gráfica
TCC (Graduação em Matemática do Ensino) Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal de
Goiás, Goiânia. Disponível em: < . Acesso em: 14 fev. 2019.>https://goo.gl/JwFbwR
STEIMBRUCH, A.; WINTERLE, P. . São Paulo: Pearson, 2002.Álgebra linear
WINTERLE, P. . 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.Vetores e geometria analítica
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https://goo.gl/JwFbwR
	Introdução
	3.1 Transformações Lineares
	3.1.1 Definição
	3.1.2 Núcleo e Imagem de uma transformação linear
	3.1.3 Matriz de uma transformação linear
	3.1.4 Aplicações
	3.2 Transformação de coordenadas
	3.3 Estudo de retas
	3.3.1 Equações de retas
	3.4 Estudo de planos
	Síntese
	Bibliografia