Exercícios de Relações em Conjuntos

Prévia do material em texto

Exercícios: 
 
1) Seja o conjunto A = {a, b, c, d} e R uma relação em A, onde: 
x R y, x  A e y  A, se identifica por x  y. Considerando o diagrama abaixo, 
representativo de R, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) R é reflexiva. 
b) R é simétrica. 
c) R é transitiva. 
d) R é uma relação de equivalência. 
e) R é uma relação de ordem. 
Como nenhum elemento de A se relaciona com ele mesmo, então R não é reflexiva; 
como o elemento a se relaciona com o elemento b e o elemento b não se relaciona 
com o elemento a, então R não é simétrica. Quando, por exemplo, a se relaciona com 
b e b se relaciona com c ou com d, tem-se que a se relaciona com c ou com d, nesse 
caso R é transitiva. 
 
2) Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {3,4,5,6,7} e 
R = {(x, y)  A x B; x + y é um número par e menor que 10}. 
Descreva os elementos de R e dê o seu domínio e a imagem. 
 
Solução 
c 
d 
a 
b 
 
 
R: (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (4, 4) 
 
D(R) = {1, 2, 3, 4} 
Im(R) = {3, 4, 5, 6, 7} 
 
3) Sejam A e B dois conjuntos tais que n(A) = 3 e n(B) = 2. Determine o número de 
relações binárias diferentes que podem ser definidas de A em B. 
 
O número de relações binárias possíveis é dado por 2
m.p
 
Então: 2
3.2
= 2
6
 = 64 
 
4) Dado o conjunto A = {a, b, c} e a relação binária R definida em A por: 
aRa, aRb, bRb, bRa, cRc, temos que: 
 
a) R é uma relação de ordem. 
b) R é uma relação antissimétrica. 
c) R é uma relação não reflexiva. 
d) R é uma relação não transitiva. 
e) R é uma relação de equivalência. 
 
5) Considere o conjunto dos automóveis da cidade do Rio de Janeiro. Dizemos que 
o automóvel A será relacionado com o automóvel B, isto é, A R B, se o último 
algarismo de suas respectivas placas for o mesmo. Assinale a alternativa certa: 
a) R é uma relação de ordem. 
b) R é uma relação de equivalência. 
d) R é uma relação simétrica, mas não transitiva. 
c) R é uma relação reflexiva, mas não simétrica. 
e) R é uma relação transitiva, mas não reflexiva. 
 
 
 
6) Seja A o conjunto dos seres humanos e seja R o seguinte subconjunto de 
A x A: R = {(a, b)  A x A; a tem o mesmo pai que b ou a tem a mesma mãe que b}. 
Assinale a alternativa correta: 
a) R é uma relação de equivalência. 
b) R é uma relação de ordem. 
c) R não define uma relação em A. 
d) R não é uma relação de ordem porque não é reflexiva. 
e) R não é uma relação de equivalência porque não é transitiva. 
 
7)Dada a relação binária em N (conjunto dos números naturais) 
R = {(x, y)  N x N x + y = 10}. Assinale, entre as alternativas abaixo, a única 
correta: 
a) R é reflexiva. 
b) R é simétrica. 
c) R é antissimétrica. 
d) R é transitiva. 
e) R é antirreflexiva. 
 
8)Seja Z o conjunto dos inteiros. Sejam ainda os conjuntos 
A = {x Z; -1 < x  2} 
B = {3, 4, 5}. 
Então, se D = {(x, y)  A x B; y  x + 4}, tem-se que: 
a) D é um conjunto vazio. 
b) D tem um único elemento. 
c) D tem apenas dois elementos. 
d) D tem apenas três elementos. 
e) D tem oito elementos. 
 
9)Considere a relação R = {(a, b)  Z xZ; a + 2b = 6}, então R é igual a: 
 
 
Obs: Z = conjunto dos números inteiros 
a) {(0, 6), (1, 4), (6, 0)} 
b) {(2, 2), (3, 0)} 
c) {(0, 3), (2, 2), (4, 1). (6, 0)} 
d) {(0, 6), (1, 4), (3, 0)} 
e) {(0, 6), (3, 0)} 
 
10) Dado o conjunto A = {a,b,c,d}, escreva uma relação R que não seja apenas 
simétrica nem transitiva: 
a) {(a, a), (b, b), (c, c)} 
b) {(a, b), (b, a)} 
c) {(a, a), (a, b), (b, b), (a, c)} 
d){(a, b), (c, a), (b, c), (c, c} 
e) {(a, b), (b, a), (b, c), (a, c)} 
 
 
11)Sejam A = {-1, 0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, determine quantos são os 
elementos da relação R = {(x, y)  A x B; x2 = y2}: 
a) R tem 10 elementos. 
b) R tem 5 elementos. 
c) R tem 25 elementos. 
d) R tem 2 elementos. 
e) R tem 20 elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3}, os elementos da relação 
R = {(x, y) A x B; x < y} são: 
a) {(3, 1); (2, 1)} 
b) {(1, 1); (2, 2); (3, 3)} 
c) {(1, 2); (2, 1); (3, 2); (4, 1)} 
d) {(1, 2); (1, 3); (2, 3) 
e) {(1, 2); (1, 3)} 
 
 
Fonte: ftp://ftp.fe.up.pt/pub/Deec/fjr/md/Slides_10.pdf