Apresentação Números Primos - Visão geral

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Prof. Enio Lima
UECE-FECLI
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O que é mesmo um número primo????
Um número inteiro p > 1 é dito ser um número primo se seus únicos divisores positivos são o 1 e próprio p.
Exemplos (clássicos): 2,3,5,7,...,43,89 , etc...
Um número inteiro p > 1 que não é primo é dito 			composto.
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Pitágoras de Samos (580-497 a.C) Profeta, místico, filósofo, astrônomo e matemático grego.
Possível origem
O número 1 era chamado de unidade (monad, do grego).
Demais números : 2 (dyad),3,4,8, etc... arithmós, do grego.
2,3,5,7,11, etc.. eram chamados de protoi arithmói.
Deuterói arithmói: números que podem ser gerados pelo produto protoi arithmói: 4,6,24,66,etc..
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Os Elementos de Euclides
 cerca. 300 AC.
A Aritmética de Nicômaco cerca de 100 dC.
Livros influentes
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O De Institutione Arithmetica, 
do romano Boécio cerca
 de 500 dC.
O Liber Abacci, do italiano Fibonacci em torno de 1200 dC.
Livros influentes
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O Teorema Fundamental da Aritmética
“Todo inteiro positivo composto se fatora de maneira única como um produto de números primos.”
Euclides de Alexandria
 (360 a.C. — 295 a.C.)
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Os números primos são finitos?
“Há uma infinidade de números primos” 
Euclides de Alexandria
 (360 a.C. — 295 a.C.)
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 A demonstração de Hermite 
Charles Hermite (1822 —1901) foi um matemático francês.
Prova: para cada número natural n>1 defina x(n)=n!+1. Como x(n) é um número natural (para cada n natural) , então existe um primo p fator de x(n). Esse primo p não pode dividir um número menor do que ou igual a n, pois neste caso, dividiria n! e daí, dividiria x(n)-n!=1
Conclusão: dado qualquer natural n>1, sempre existe um primo p > n, ou seja : 
Há uma infinidade de números primos! 
 
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Descobrindo primos – O crivo de 
Eratóstenes (276 a.C. — 194 a.C.), foi um matemático, bibliotecário e astrônomo grego
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Sobre a distribuição dos primos
 2) Existem 9 números primos entre 9 999 900 e  10 000000
  9 999 901          9 999 907            9 999 929          9 999 931   9 999 937          9 999 943            9 999 971          9 999 973   9 999 991 
Como vimos no crivo existem 29 números primos entre 1 e 120
3) Mas já entre os cem números seguintes , 10 000000  até 10 000 100, existem apenas 2: 
   10 000 019     e     10 000 079 
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Sobre a distribuição dos primos Gauss e Legendre
Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833) 
foi um matemático francês 
Johann Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
matemático alemão 
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Sobre a distribuição dos primos – O Teorema dos números primos
Charles Poussin (1866-1962 ) matemático 
belga
Jacques Hadamard (1865-1963 ) matemático francês.
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Em 1949, Erdös (1913-1996) e Selberg (1917-), independentemente , demonstraram o Teorema dos Números Primos sem apelo à teoria analítica dos números.
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Sobre a distribuição dos primos
alguns valores
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Um pouco sobre os números de:
Pierre Fermat (1601 – 1665) matemático e cientista francês.
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 1.238.926 .361.552.897 × 93.461.639 .715.357.977 .769.163.558 .199.606.896 .584.051.237 .541.638.188 .580.280.321 
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Um pouco sobre os primos de:
 Marin Mersenne (1588 - 1648) foi um matemático, padre ,teólogo e filósofo francês. 
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Números perfeitos e os primos de Mersenne
Um número se diz perfeito se é igual à soma de seus divisores próprios. 
Exemplo: 6 é perfeito, pois 1+2+3=6.
A última proposição do nono livro dos Elementos de Euclides prova que se 2n-1 é um número primo então 2n-1 . 2n-1 é um número perfeito, e estes números são pares. Euler provou que todo número perfeito par tem essa forma. 
Não se conhecem actualmente números perfeitos ímpares e conjectura-se, com fortes indícios experimentais, que não existe nenhum. 
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Alguns Primos de Mersenne
 219-1= 524287
 2⁶¹-1= 2305843009213693951
2⁸⁹-1= 618970019642690137449562111
2¹⁰⁷-1= 162259276829213363391578 010288127
2⁵²¹-1= 6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394463459185543183397656052122559640661454554977296311391480858037121987999716643812 574028291115057151
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2⁶⁰⁷-1= 531 137992816 767098689 588206552 468627329 593117727031923199444138200 403559860 852242739 162502265 229285668 889329486 246501015 346579337 652707239 409519978 766587351 943831270 835393219 031728127
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10 maiores primos de Mersenne já encontrados até 2009
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Sophie Germain (1776 —1831) matemática francesa
Os primos de:
Um primo p é dito ser um primo de Sophie Germain quando p e 2p+1 são primos.
Exemplos: 
1) 3 é um deles pois: 3 e 2 .3+1=7 são primos.
2) 5 é um deles pois: 5 e 2 .5+1=11 são primos
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05 maiores primos de Sophie Germain já encontrados até 2009
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Alguns testes de primalidade
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91 é composto
9901 é primo
999001 é composto
99990001 é primo
9999900001 é composto
999999000001 é primo
99999990000001 é composto
9999999900000001 é primo 
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 2000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000003000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0050000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000070 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000110000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0130000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000017 
1) Um primo com 1240 dígitos
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Alguns problemas em aberto sobre Primos
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 Observem os primos: 13,17,29,37,41 e 341
Todos eles são da forma 4k+1, vejam:
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Todos eles são soma de quadrados de dois inteiros, vejam:
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Demonstração:
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c.q.d
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Relembrem!!!
Conclusão:
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 é irracional!!
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Vendo geometricamente:
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Conclusões:
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Numeros primos
Czczczczc
Numeros primos
Numeros primos
Numeros primos
Numeros primos
Numeros primos
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