Apostila Matemática Financeira
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Apostila Matemática Financeira


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carteira de ações que passou a valer R$35.000,00, seis meses 
depois. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 8%. Qual foi sua taxa real de perda? 
 
2) Suponha agora que outro investidor tenha aplicado R$12.000,00 numa carteira de ações que depois de um 
tempo passa a valer R$15.000,00. Se esse dinheiro ficou aplicado durante 18 meses e a taxa de inflação nesse 
período foi de 9%. Determine a taxa real de juros. 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Braulino Mattos 
 
 
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Capítulo 4 
Descontos 
 
O desconto é um evento que está relacionado com o abatimento dado em situações de compra e 
venda. No comércio é comum o vendedor oferecer desconto por pagamento à vista ou se a compra é feita em 
grande quantidade. Nestas condições, o desconto costuma ser expresso por um percentual aplicado sobre o 
preço. 
Por exemplo, consideremos que o preço cobrado por unidade de um produto seja de R$150,00 e que, 
caso ele compre mais de 100 unidades, haja um desconto de 20%. Assim, o desconto em cada unidade será de 
R$30,00 (20% de R$150,00) e o novo preço cobrado será de R$120,00. 
Outra situação envolvendo desconto ocorre quando uma empresa vende um produto a prazo; neste 
caso, o vendedor emite uma duplicata que lhe dará o direito de receber do comprador, em data estipulada, o 
valor combinado. É comum o vendedor ir a um banco e efetuar o desconto da duplicata. Isto é, o vendedor 
cede ao banco o direito de receber a duplicata e em troca recebe antecipadamente o valor desta, 
descontados, naturalmente, as taxas e juros bancários. 
De modo semelhante, uma empresa pode descontar notas promissórias num banco. As notas 
promissórias podem ser usadas entre pessoas físicas ou entre instituições financeiras. Consiste num título de 
crédito que corresponde a uma promessa de pagamento do devedor para o credor, nela vão especificados o 
valor nominal, a data de vencimento do título e a assinatura do devedor. 
 
Em resumo: o desconto é o abatimento que o devedor tem direito quando antecipa o pagamento de 
um título. Por outro lado, podemos considerá-lo como o juro cobrado pelo credor por antecipar determinada 
quantia de vencimento futuro. 
 
O desconto D, propriamente falando, é a diferença entre o valor nominal (VN) e o valor presente (VP) 
de um título de crédito que foi resgatado antecipadamente, ou seja: 
D VN VP\uf03d \uf02d
 . 
 
 
 
\uf071 Valor Nominal de um título de crédito é a importância declarada no título ou a importância a ser 
paga por um devedor na data do vencimento do título. 
\uf071 Valor Presente de um título de crédito é o valor do título numa data anterior a aquela do seu efetivo 
vencimento. É o valor antecipado do Valor Nominal do título. 
 
 
 
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4.1 Descontos Simples 
 
4.1.1 Desconto Comercial ( Bancário ou \u201cPor Fora\u201d ) 
As operações com desconto (de duplicatas e notas promissórias), possuem um sistema de cálculo bem 
caracterizado, denominado: desconto comercial ou bancário, também conhecido como desconto por fora. 
O desconto comercial é aquele onde a referência para o cálculo percentual do desconto é o valor 
nominal. 
D VN d n\uf03d \uf0d7 \uf0d7
 , 
 
onde D é o valor do desconto comercial, VN é o valor nominal do título, d é a taxa de desconto e n é o prazo 
de antecipação (prazo até o vencimento do título). 
 
Chamamos de valor descontado, valor líquido ou ainda de valor presente comercial ao seguinte: 
 
dV VN D\uf03d \uf02d
 . 
 
Exemplo 1: Uma duplicata cujo valor de face (valor nominal) é R$500,00 foi resgatada 3 meses antes do 
vencimento através do desconto bancário, à taxa de 28% a.a. Qual é o valor do desconto? 
 
Como 3 meses equivalem a ¼ de um ano, então 
1
500 0,28
4
35
D VN d n D
D
\uf03d \uf0d7 \uf0d7 \uf0de \uf03d \uf0d7 \uf0d7 \uf0de
\uf03d
 O valor do desconto é de R$ 35,00. 
 
Exemplo 2: Uma duplicata de R$18.000,00 foi descontada 2 meses antes do vencimento a uma taxa de 2,5% 
a.m., obtenha: 
a) o desconto D ; 
b) o valor líquido recebido Vd . 
 
a) 
18000 0,025 2
900
D VN d n D
D
\uf03d \uf0d7 \uf0d7 \uf0de \uf03d \uf0d7 \uf0d7 \uf0de
\uf03d
 O valor do desconto é de R$ 900,00. 
 
b) 
18000 900
17100
d d
d
V VN D V
V
\uf03d \uf02d \uf0de \uf03d \uf02d \uf0de
\uf03d
 O valor líquido é de R$ 17.100,00. 
 
 Notemos que ao aplicar o valor descontado (valor líquido) Vd, a juros simples, nas condições do 
desconto temos: 
\uf028 \uf02917100 1 0,025 2 17955\uf02b \uf0d7 \uf03d
, o qual é diferente do valor nominal do título. 
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 Para obter o valor nominal deveríamos aplicar o valor líquido a uma taxa maior que a taxa de 
desconto. A tal taxa denominamos de taxa efetiva da operação de desconto comercial. Ela pode ser 
calculada da seguinte forma: 
 
\uf028 \uf029
18000
18000 17100 1 2 1 2
17100
18000
2 1 0,026
17100
i i
i i
\uf03d \uf02b \uf0d7 \uf0de \uf02b \uf0d7 \uf03d \uf0de
\uf0d7 \uf03d \uf02d \uf0de \uf040
 Logo, a taxa efetiva é de 2,6% a.m. 
 
Exemplo 3: Uma promissória de R$12.000,00 foi descontada num banco 42 dias antes do vencimento, a uma 
taxa de desconto comercial de 2% a.m. 
 
a) Qual foi o desconto? 
 
b) Qual foi o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço de 
0,5% do valor da promissória, pago no dia que a empresa a descontou? 
 
c) Qual foi a taxa efetiva de juros da operação no período? 
 
a) 
42
12000 0,02
30
336
D VN d n D
D
\uf03d \uf0d7 \uf0d7 \uf0de \uf03d \uf0d7 \uf0d7 \uf0de
\uf03d
 O valor do desconto foi de R$336,00. 
 
b) Taxa de serviço: 
12000 0,005 60\uf0d7 \uf03d
. 
 
12000 336 60
11604
d d
d
V VN D Taxa V
V
\uf03d \uf02d \uf02d \uf0de \uf03d \uf02d \uf02d \uf0de
\uf03d
 O valor líquido é de R$11.604,00. 
 
c) 
12000
1 0,034
11604
i i\uf03d \uf02d \uf0de \uf040
 Portanto, a taxa efetiva de juros é de 3,4% a.p. (ao período). 
 
Observações: 
1) A taxa efetiva de uma operação comercial com desconto é dada por: 
1
d
VN
n i
V
\uf0d7 \uf03d \uf02d
 . 
2) A relação entre a taxa de desconto comercial e a taxa efetiva de juros é dada por: 
1
i
d
i n
\uf03d
\uf02b \uf0d7
 . 
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Exemplo 4: Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo para serem descontadas num banco à 
taxa comercial de 2% a.m. Qual é o valor líquido recebido pela empresa? 
 
 
 
4.1.2 Desconto Racional (ou \u201cPor Dentro\u201d ) 
O desconto racional, também denominado de desconto \u201cpor dentro\u201d, se enquadra nos conceitos e 
relações básicas de juros simples. Neste caso, a taxa de juros simples incide sobre o valor presente liberado 
na data do desconto. Assim, temos um processo de capitalização em regime de juros simples e, portanto, 
temos que: 
1
VN
VP
i n
\uf03d
\uf02b \uf0d7
, onde i representa a taxa de juros simples e n o prazo até o vencimento do título 
de valor VN. 
O desconto racional DR é dado por 
RD VN VP\uf03d \uf02d
 . 
Logo, pode-se provar que: 
RD VP i n\uf03d \uf0d7 \uf0d7
 , 
 
onde DR é o valor do desconto racional, VP é o valor presente do título, i é a taxa de juros simples e n é o 
prazo de antecipação (prazo até o vencimento do título). 
 
 
Obs.: Note que a referência para o cálculo percentual do desconto racional é o valor líquido ou valor 
presente. 
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Exemplo
Silvana Da Silva
Silvana Da Silva fez um comentário
preciso de uma ajuda nuns exercicios de matematica financeira
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