CALCULOIIA_ GMA - UFF
288 pág.

CALCULOIIA_ GMA - UFF


DisciplinaCálculo II31.545 materiais826.372 seguidores
Pré-visualização36 páginas
Hernández CÁLCULO 2A
AULA 12. COMPRIMENTO DE ARCO 101
Observação 1
Nem todos os grá\ufb01cos de funções continuas são reti\ufb01cáveis. No entanto,
o seguinte teorema não só oferece uma condição su\ufb01ciente para que uma
curva seja reti\ufb01cável como também fornece uma maneira de calcular o seu
comprimento.
Teorema 1
Toda curva C, dada pelo grá\ufb01co de uma funcão continua f : [a, b]\u2192 R com
derivada continua f \u2032 : [a, b]\u2192 R, é reti\ufb01cável. Além disso, seu comprimento
é dado por
L(f, [a, b]) =
\u222b b
a
\u221a
1 + [f \u2032(x)]2dx . (2)
2 Exemplos
Exemplo 1
Determine o comprimento da curva de f(x) = ln(cos x) no intervalo [0, pi/4].
Solução
Dado que f \u2032(x) = \u2212 tg x é uma função contínua no intervalo [0, pi/4], pode-
mos usar a fórmula (2) para calcular o comprimento
L(f, [0, pi/4]) =
\u222b pi/4
0
\u221a
1 + [\u2212 tg x]2dx =
\u222b pi/4
0
sec xdx.
Lembrando que \u222b
sec xdx = ln | sec x+ tg x|+ C,
obtemos
L(f, [0, pi/4]) = ln (\u221a2 + 1).
\ufffd
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
102 2. EXEMPLOS
Exemplo 2
Determine o comprimento da porção da parábola f(x) = x2 \u2212 2x + 5 entre
os pontos (1, 4) e (3/2, 17/4).
Solução
Dado que f \u2032(x) = 2x\u22122 é uma função contínua no intervalo [1, 3/2], podemos
usar a fórmula (2) para calcular o comprimento
L(f, [1, 3/2]) =
\u222b 3/2
1
\u221a
1 + [2x\u2212 2]2dx .
Fazendo a mudança de variáveis u = 2x \u2212 2, du = 2dx, veri\ufb01camos que a
integral anterior é igual a
1
2
\u222b 1
0
\u221a
1 + u2du .
Fazendo a mudança de variáveis u = tg \u3b8, du = sec2 \u3b8d\u3b8, veri\ufb01camos que a
integral anterior é igual a \u222b pi/4
0
sec3 \u3b8d\u3b8.
Lembrando que\u222b
sec3 x dx =
1
2
{sec x tg x+ ln | sec x+ tg x|}+ C ,
obtemos
L(f, [1, 3/2]) = 1
4
[
\u221a
2 + ln(
\u221a
2 + 1)].
\ufffd
Exemplo 3
A curva C, dada pelo grá\ufb01co da funcão contínua f : [0, 2/pi]\u2192 R, e de\ufb01nida
por:
f(x) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3x sen( 1x) x 6= 00 x = 0.
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 12. COMPRIMENTO DE ARCO 103
Figura 3: Grá\ufb01co da função f .
Não é reti\ufb01cável.
Solução
Dado n \u2265 1, um número ímpar, vamos considerar a seguinte partição do
intervalo [0, 2/pi]:
Pn = {0 < 2
npi
<
2
(n\u2212 1)pi < · · · <
2
3pi
<
2
2pi
<
2
pi
} .
A soma que aparece na expressão (1), correspondente a Pn, majora a soma
2
pi
{1 + 1
3
+
1
3
+
1
5
+
1
5
+ · · ·+ 1
n
+
1
n
},
como pode ser visualizado na Figura 4.
Figura 4: Aproximação do grá\ufb01co de f .
A soma anterior, por sua vez, majora a soma
2
pi
{1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+ · · ·+ 1
n
+
1
n+ 1
},
e dado que esta última soma vai para in\ufb01nito quando n cresce, podemos
concluir que a curva C não é reti\ufb01cável.
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
104 3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
\ufffd
Observação 2
Note que a partição Pn não satisfaz ||Pn|| \u2192 0 quando n\u2192\u221e. No entanto,
a conclusão continua sendo correta (por quê?).
3 Exercícios de revisão
Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas.
1. y = e
x
2 + e\u2212
x
2
entre x = 0 e x = 2.
2. y = ln x entre x =
\u221a
3 e x =
\u221a
8.
3. y = 1\u2212 ln(cosx) entre x = 0 e x = pi
4
.
4. y = ln(1\u2212 x2) entre x = 0 e x = 1
2
.
5. x = y
5
6
+ 1
10y3
entre y = 1 e y = 2.
6. x = 1
3
\u221a
y(y \u2212 3) entre y = 1 e y = 9.
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
Aula 13
Integral imprópria em intervalos
não limitados
Nesta aula, estenderemos o conceito de integral de\ufb01nida para funções
de\ufb01nidas em intervalos não limitados.
1 Conceitos básicos
Na Aula 1, apresentamos a de\ufb01nição de integral de\ufb01nida para uma
função f : [a, b]\u2192 R limitada e de\ufb01nida em um intervalo fechado e limitado.
Agora, estenderemos esta de\ufb01nição para os seguintes casos:
ˆ funções de\ufb01nidas em intervalos in\ufb01nitos, ou seja, intervalos do tipo
[a,+\u221e),[\u2212\u221e, b) ou (\u2212\u221e,+\u221e);
ˆ funções não limitadas.
As integrais desses dois tipos são chamadas de integrais impróprias.
A seguir, daremos a de\ufb01nição de integral imprópria para cada um dos
três casos de intervalo in\ufb01nito. O caso de funções não limitadas será discutido
na próxima aula.
105
106 1. CONCEITOS BÁSICOS
De\ufb01nição 1
Dada uma função f : [a,+\u221e) \u2192 R, integrável em todo intervalo da forma
[a, b] com a < b, de\ufb01niremos a integral imprópria
\u222b \u221e
a
f(x)dx = lim
b\u2192\u221e
\u222b b
a
f(x)dx ,
quando o limite acima existir.
De\ufb01nição 2
Dada uma função f : (\u2212\u221e, b] \u2192 R, integrável em todo intervalo da forma
[a, b] com a < b, de\ufb01niremos a integral imprópria
\u222b b
\u2212\u221e
f(x)dx = lim
a\u2192\u2212\u221e
\u222b b
a
f(x)dx ,
quando o limite acima existir.
De\ufb01nição 3
Dada uma função f : [\u2212\u221e,+\u221e)\u2192 R, integrável em todo intervalo da forma
[a, b] com a < b, de\ufb01niremos a integral imprópria
\u222b \u221e
\u2212\u221e
f(x)dx =
\u222b c
\u2212\u221e
f(x)dx+
\u222b \u221e
c
f(x)dx,
quando cada uma das integrais referentes ao lado direito da igualdade acima
existir.
Observação 1
O valor da integral
\u222b \u221e
\u2212\u221e
f(x)dx é independente da escolha de c \u2208 R.
Observação 2
Nas de\ufb01nições anteriores, se os limites existirem e forem \ufb01nitos, as integrais
impróprias serão ditas convergentes; caso contrário, divergentes.
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 13. INTEGRAL IMPRÓPRIA EM INTERVALOS NÃO LIMITADOS 107
2 Exemplos
Exemplo 1
Determine os valores de \u3b1 \u2208 R, de modo que a integral imprópia
\u222b \u221e
1
1
x\u3b1
dx
convirja.
Solução
Sabemos que \u222b b
1
1
x\u3b1
dx =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 b
1\u2212\u3b1\u22121
1\u2212\u3b1 , se \u3b1 6= 1,
ln b, se \u3b1 = 1.
Portanto,
\u222b \u221e
1
1
x\u3b1
dx = lim
b\u2192\u221e
\u222b b
1
1
x\u3b1
dx =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 1\u3b1\u22121 , se \u3b1 > 1,\u221e, se \u3b1 \u2264 1.
Logo, a integral converge se, e somente se, \u3b1 > 1. Nesse caso,\u222b \u221e
1
1
x\u3b1
dx =
1
\u3b1\u2212 1 .
\ufffd
Exemplo 2
Calcule a área da região limitada por f(x) = 1
1+x2
e o eixo dos x.
Figura 1: Grá\ufb01co da função f(x) = 1
1+x2
.
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
108 2. EXEMPLOS
Solução
Sabemos que \u222b \u221e
\u2212\u221e
1
1 + x2
dx =
\u222b 0
\u2212\u221e
1
1 + x2
dx+
\u222b \u221e
0
1
1 + x2
dx.
se, e somente se, cada uma das integrais do lado direito da expressão anterior
existir. Para calcular estas duas integrais, observamos, primeiro, que\u222b b
a
1
1 + x2
dx = arctg(b)\u2212 arctg(a).
Portanto, \u222b 0
\u2212\u221e
1
1 + x2
dx = lim
a\u2192\u2212\u221e
{arctg(0)\u2212 arctg(a)} = \u2212(\u2212pi
2
),
e \u222b \u221e
0
1
1 + x2
dx = lim
b\u2192\u221e
{arctg(b)\u2212 arctg(0)} = pi
2
.
Logo, \u222b \u221e
\u2212\u221e
1
1 + x2
dx = pi.
\ufffd
Exemplo 3
Calcule a integral imprópria
\u222b \u221e
0
xe\u2212x dx.
Solução
Sabemos que \u222b b
0
xe\u2212xdx = \u2212e\u2212x[x+ 1]
\u2223\u2223\u2223b
0
= \u2212e\u2212b[b+ 1] + 1.
Portanto, \u222b \u221e
0
xe\u2212xdx = 1\u2212 lim
b\u2192\u221e
e\u2212b[b+ 1].
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 13. INTEGRAL IMPRÓPRIA EM INTERVALOS NÃO LIMITADOS 109
Figura 2: Grá\ufb01co da função f(x) = xe\u2212x.
Usando a regra de L'Hospital, podemos ver que o limite anterior é igual a
zero. Logo, \u222b \u221e
0
xe\u2212xdx = 1.
\ufffd
Exemplo 4
Calcule a integral imprópria
\u222b \u221e
2
1
x2 \u2212 1 dx.
Figura 3: Grá\ufb01co da função f(x) = 1
x2\u22121 .
Solução
Usando frações parciais, temos\u222b b
2
1
x2 \u2212 1dx =
1
2
{\u222b b
2
1
x\u2212 1dx\u2212
\u222b b
2
1
x+ 1
dx
}
=
1
2
ln
\u2223\u2223\u2223x\u2212 1
x+ 1
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223b
2
=
1
2
ln
\u2223\u2223\u2223b\u2212 1
b+ 1
\u2223\u2223\u2223\u2212 1
2
ln
(1
3
)
=
1
2
ln
\u2223\u2223\u2223b\u2212 1
b+ 1
\u2223\u2223\u2223+ ln 3
2
.
Portanto, \u222b \u221e
2
1
x2 \u2212 1 dx =
ln 3
2
+
1
2
lim
b\u2192\u221e
ln
\u2223\u2223\u2223b\u2212 1
b+ 1
\u2223\u2223\u2223.
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
110 3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
Já que o limite anterior é igual a zero, obtemos\u222b \u221e
2
1
x2 \u2212 1 dx =
ln 3
2
.
\ufffd
3 Exercícios de revisão
Use as de\ufb01nições 1, 2 e 3 para veri\ufb01car se a integral imprópria converge
ou diverge. Caso convirja, calcule o seu valor.
1.
\u222b \u221e
\u2212\u221e
1
x2 + 2x+ 2
dx 2.
\u222b \u221e
0
x sen x dx
3.
\u222b \u221e
2
1
x5
dx 4.
\u222b \u221e
\u2212\u221e
e\u2212|x| dx
5.
\u222b \u221e
1
lnx
x
dx 6.
\u222b 0
\u2212\u221e
1
(x\u2212