CALCULOIIA_ GMA - UFF
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8) 23 dx
7.
\u222b \u221e
0
e\u2212ax sen(bx) dx a > 0 8.
\u222b \u221e
0
e\u2212ax cos(bx) dx a > 0
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
Aula 14
Integral imprópria de funções não
limitadas
Nesta aula, estenderemos o conceito de integral de\ufb01nida para funções
não limitadas.
1 Conceitos básicos
Na Aula 1, apresentamos a de\ufb01nição de integral de\ufb01nida para uma
função f : [a, b] \u2192 R, limitada e de\ufb01nida em um intervalo fechado e limi-
tado. Na aula anterior, estendimos essa de\ufb01nição para funções de\ufb01nidas em
intervalos não limitados.
A seguir, daremos a de\ufb01nição de integral imprópria para os casos de
integrando não limitado no intervalo de integração.
De\ufb01nição 1
Dada uma função f : [a, b)\u2192 R não limitada, que seja limitada e integrável
em todo intervalo da forma [a, c] com c < b, de\ufb01niremos a integral imprópria
\u222b b
a
f(x)dx = lim
c\u2192b\u2212
\u222b c
a
f(x)dx,
111
112 2. EXEMPLOS
quando o limite existir.
De\ufb01nição 2
Dada uma função f : (a, b]\u2192 R não limitada, que seja limitada e integrável
em todo intervalo da forma [c, b] com c < b, de\ufb01niremos a integral imprópria
\u222b b
a
f(x)dx = lim
c\u2192a+
\u222b b
c
f(x)dx,
quando o limite existir.
De\ufb01nição 3
Dada uma função f : [a, c)\u222a(c, b]\u2192 R não limitada, que satisfaz as condições
das de\ufb01nições 1 e 2 nos intervalos [a, c) e (c, b], respectivamente, de\ufb01nimos a
integral imprópria:
\u222b b
a
f(x)dx =
\u222b c
a
f(x)dx+
\u222b b
c
f(x)dx,
se cada uma das integrais do lado direito existir.
Observação 1
Nas de\ufb01nições anteriores e naquelas que serão dadas na próxima seção, di-
remos que as integrais impróprias são convergentes se os limites existirem,
ou seja, se os limites forem números reais. Caso contrário, as integrais serão
ditas divergentes.
2 Exemplos
Exemplo 1
A função f(x) = 1
x\u3b1
será não limitada no intervalo (0, 1] se \u3b1 > 0. Determine
os valores de \u3b1 > 0, de modo que a integral imprópria
\u222b 1
0
1
x\u3b1
dx convirja.
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 14. INTEGRAL IMPRÓPRIA DE FUNÇÕES NÃO LIMITADAS 113
Solução
Sabemos que \u222b 1
c
1
x\u3b1
dx =
\uf8f1\uf8f2\uf8f31\u2212c
1\u2212\u3b1
1\u2212\u3b1 , se \u3b1 6= 1,
\u2212 ln c, se \u3b1 = 1.
Portanto,
\u222b 1
0
1
x\u3b1
dx = lim
c\u21920+
\u222b 1
c
1
x\u3b1
dx =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 11\u2212\u3b1 , se 0 < \u3b1 < 1,\u221e, se \u3b1 \u2265 1.
Logo, a integral imprópria convergirá se, e somente se, 0 < \u3b1 < 1. Nesse
caso, \u222b 1
0
1
x\u3b1
dx =
1
1\u2212 \u3b1.
\ufffd
Exemplo 2
A função f(x) = 1
(1\u2212x) 13
é não limitada no intervalo [0, 2] por causa da des-
continuidade em x = 1. Determine se a integral imprópria
\u222b 2
0
1
(1\u2212 x) 13 dx
converge.
Figura 1: Grá\ufb01co da função f(x) = 1
(1\u2212x)
1
3
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
114 2. EXEMPLOS
Solução
Este exercício enquadra-se na de\ufb01nição 3, onde o intervalo [0, 2] é dividido
nos intervalos [0, 1], [1, 2]. Portanto,
\u222b 2
0
1
(1\u2212 x) 13 dx =
\u222b 1
0
1
(1\u2212 x) 13 dx+
\u222b 2
1
1
(1\u2212 x) 13 dx.
Fazendo a mudança de varíaveis u = 1\u2212 x, du = \u2212dx, obtemos
\u222b b
0
1
(1\u2212 x) 13 dx =
\u222b 1
1\u2212b
u\u2212
1
3du =
3
2
[1\u2212 (1\u2212 b) 23 ],
e \u222b 2
a
1
(1\u2212 x) 13 dx =
\u222b 1\u2212a
\u22121
u\u2212
1
3du =
3
2
[(1\u2212 a) 23 \u2212 (\u22121) 23 ]
para 0 < b < 1 e 1 < a < 2, respectivamente.
Então, \u222b 1
0
1
(1\u2212 x) 13 dx =
3
2
lim
b\u21921\u2212
[1\u2212 (1\u2212 b) 23 ] = 3
2
,
e \u222b 2
1
1
(1\u2212 x) 13 dx =
3
2
lim
a\u21921+
[(1\u2212 a) 23 \u2212 1] = \u22123
2
.
Logo, a integral imprópria converge. Além disso,
\u222b 2
0
1
(1\u2212 x) 13 dx = 0.
\ufffd
Exemplo 3
A função f(x) = 1
(1\u2212x)2 é não limitada no intervalo [0, 2] por causa da des-
continuidade em x = 1. Determine se a integral imprópria
\u222b 2
0
1
(1\u2212 x)2dx
converge.
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 14. INTEGRAL IMPRÓPRIA DE FUNÇÕES NÃO LIMITADAS 115
Figura 2: Grá\ufb01co da função f(x) = 1
(1\u2212x)2
Solução
Este exercício também se enquadra na de\ufb01nição 3, onde o intervalo [0, 2]
é dividido nos intervalos [0, 1], [1, 2]. Portanto,
\u222b 2
0
1
(1\u2212 x)2dx =
\u222b 1
0
1
(1\u2212 x)2dx+
\u222b 2
1
1
(1\u2212 x)2dx,
se as duas integrais do lado direito existirem. Fazendo a mudança de varíaveis
u = 1\u2212 x, du = \u2212dx, obtemos
\u222b b
0
1
(1\u2212 x)2dx =
\u222b 1
1\u2212b
u\u22122du = (1\u2212 b)\u22121 \u2212 1,
e \u222b 2
a
1
(1\u2212 x)2dx =
\u222b 1\u2212a
\u22121
u\u22122du = 1\u2212 (1\u2212 a)\u22121,
para 0 < b < 1 e 1 < a < 2, respectivamente.
Então, \u222b b
0
1
(1\u2212 x)2dx = limb\u21921\u2212(1\u2212 b)
\u22121 \u2212 1 = +\u221e,
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
116 2. EXEMPLOS
e \u222b 2
a
1
(1\u2212 x)2dx = 1\u2212 lima\u21921+(1\u2212 a)
\u22121 = +\u221e.
Logo, a integral imprópria diverge. \ufffd
Observação 2
Observe que, se não tivessemos percebido que o Exercício 2 tratava de uma
integral imprópria, e tivéssemos efetuado a mudança de variáveis u = x \u2212 1
diretamente, teríamos obtido
\u222b 2
0
1
(1\u2212 x) 13 dx =
3
2
(x\u2212 1)2/3
\u2223\u2223\u22232
0
=
3
2
[1\u2212 1] = 0,
que é a resposta correta. No entanto, no exercício 3, teríamos obtido
\u222b 2
0
1
(1\u2212 x)2dx = \u2212(1\u2212 x)
\u22121
\u2223\u2223\u22232
0
= \u2212[\u22121\u2212 1] = 2,
uma resposta incorreta. Por isso, torna-se indispensável, no momento de
calcular uma integral, veri\ufb01car se essa integral é imprópria ou não.
Exemplo 4
A função f(x) = 1\u221a
x(1\u2212x) é não limitada no intervalo [0, 1] por causa das
descontinuidades em x = 0 e x = 1. Determine se a integral imprópria\u222b 1
0
1\u221a
x(1\u2212 x)dx converge.
Solução
Sabemos que
\u222b 1
0
1\u221a
x(1\u2212 x)dx =
\u222b 1/2
0
1\u221a
x(1\u2212 x)dx+
\u222b 1
1/2
1\u221a
x(1\u2212 x)dx,
se as duas intregrais do lado direito existirem.
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 14. INTEGRAL IMPRÓPRIA DE FUNÇÕES NÃO LIMITADAS 117
Figura 3: Grá\ufb01co da função f(x) = 1\u221a
x(1\u2212x)
Fazendo a mudança de varíaveis u =
\u221a
x, du = 1
2
\u221a
x
dx, obtemos
\u222b 1/2
a
1\u221a
x(1\u2212 x)dx = 2arcsen
\u221a
x
\u2223\u2223\u22231/2
a
=
pi
3
\u2212 2 arcsen\u221aa,
e \u222b b
1/2
1\u221a
x(1\u2212 x)dx = 2arcsen
\u221a
x
\u2223\u2223\u2223b
1/2
= 2arcsen
\u221a
b\u2212 pi
3
para 0 < a < 1/2 e 1/2 < b < 1, respectivamente.
Então, \u222b 1/2
0
1\u221a
x(1\u2212 x)dx =
pi
3
\u2212 2 lim
a\u21920+
arcsen
\u221a
a =
pi
3
,
e \u222b 1
1/2
1\u221a
x(1\u2212 x)dx = 2 limb\u21921\u2212 arcsen
\u221a
b\u2212 pi
3
= 2
pi
2
\u2212 pi
3
.
Logo, a integral imprópria converge. Além disso,
\u222b 1
0
1\u221a
x(1\u2212 x)dx = pi.
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118 3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
\ufffd
3 Exercícios de revisão
Use as de\ufb01nições 1, 2 e 3 para veri\ufb01car se a integral imprópria converge
ou diverge. Caso convirja, calcule o seu valor.
1.
\u222b 1
\u22121
1
x4
dx 2.
\u222b 1
0
1\u221a
1\u2212 x2 dx
3.
\u222b 1
0
lnx dx 4.
\u222b pi
2
0
cosx\u221a
1\u2212 sen x dx
5.
\u222b 3
1
x2\u221a
x3 \u2212 1 dx 6.
\u222b \u221e
1
1
x
\u221a
x2 \u2212 1 dx
7.
\u222b 5
1
1
(x\u2212 3)4 dx
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
Aula 15
Critério de comparação para
integrais impróprias
Nesta aula, veremos dois critérios que permitem estudar a convergência
ou divergência de uma integral imprópria sem a necessidade de calcular a
integral.
1 Conceitos básicos
Muitas vezes, não é possível calcular o valor exato de uma integral
imprópria. No entanto, em alguns casos, podemos determinar se ela converge
ou diverge. A ideia é comparar a integral imprópria que queremos estudar
com outra cuja convergência ou divergência saibamos de antemão.
Enunciamos, a seguir, dois critérios de comparação.
Proposição 1
Sejam f : [a,\u221e)\u2192 R e g : [a,\u221e)\u2192 R duas funções integráveis no intervalo
[a, t] para todo t > a, de modo que f(x) \u2265 g(x) \u2265 0 para todo x \u2265 a. Então:
ˆ a convergência de
\u222b \u221e
a
f(x)dx implica a convergência de
\u222b \u221e
a
g(x)dx,
119
120 1. CONCEITOS BÁSICOS
ˆ a divergência de
\u222b \u221e
a
g(x)dx implica a divergência de
\u222b \u221e
a
f(x)dx.
Observação 1
A ideia é muito simples. Se a função positiva f for maior que a função
positiva g, então, a área entre o grá\ufb01co de f e o eixo x será maior que a área
entre