CALCULOIIA_ GMA - UFF
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de
y\u2032 =
1
x
y2 \u2212 2(1\u2212 1
x
)y + x\u2212 1 (9)
e resolva a equação.
Solução
Para veri\ufb01car que yp = x é solução de (9), basta ver que
1 =
1
x
x2 \u2212 2(1\u2212 1
x
)x+ x\u2212 1.
Note que a equação (9) é uma equação de Ricatti. Fazendo y = z+x, temos
y\u2032 = z\u2032 + 1. Logo, a equação anterior se transforma em
z\u2032 \u2212 2
x
z =
z2
x
,
que é uma equação do tipo Bernoulli. Fazendo w = z\u22121, temos w\u2032 = \u2212z\u22122z\u2032.
Logo, a equação anterior se transforma em
w\u2032 +
2
x
w = \u22122
x
.
Essa equação é linear. Assim, multiplicando pelo fator integrante x2 dos dois
lados da equação, obtemos
[x2w]\u2032 = \u22122x.
Integrando a última equação, observamos que
x2w = \u2212x2 + C,
onde C \u2208 R. Logo, já que w = z\u22121 e y = z + x, temos
y =
x2
C \u2212 x2 + x.
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 22. EQUAÇÕES DE BERNOULLI, RICATTI E CLAIRAUT 185
\ufffd
Exemplo 4
Veri\ufb01que que yp = e
x
é solução de
y\u2032 \u2212 (1 + 2ex)y + y2 = \u2212e2x (10)
e resolva a equação.
Solução
Para veri\ufb01car que yp = e
x
é solução de (10), basta observar que
ex \u2212 (1 + 2ex)ex + e2x = \u2212e2x.
Note que a equação (10) é uma equação de Ricatti. Fazendo y = z + ex,
temos y\u2032 = z\u2032 + ex. Logo, a equação anterior se transforma em
z\u2032 \u2212 z = \u2212z2.
A equação anterior é do tipo Bernoulli. Fazendo w = z\u22121, temos w\u2032 = \u2212z\u22122z\u2032.
Logo, a equação anterior se transforma em
w\u2032 + w = 1.
Essa equação é linear. Assim, multiplicando pelo fator integrante ex dos dois
lados da equação, obtemos
[exw]\u2032 = ex.
Integrando a última equação, é possível notar que
exw = ex + C,
onde C \u2208 R. Logo, já que w = z\u22121 e y = z + ex, temos
y =
1
1 + Ce\u2212x
+ ex.
\ufffd
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
186 3. EQUAÇÃO DE CLAIRAUT
3 Equação de Clairaut
As chamadas equações de Clairaut são do tipo
y = xy\u2032 + f(y\u2032), (11)
onde f é uma função real derivável.
Essas equações são de um tipo bastante peculiar e aparecem em proble-
mas de geometria relacionados à determinação da envoltória de uma família
de curvas.
Para encontrarmos suas soluções, primeiro derivamos (11) em relação
a x. E obtemos
y\u2032 = y\u2032 + xy\u2032\u2032 + f \u2032(y\u2032)y\u2032\u2032,
donde
y\u2032\u2032(x+ f \u2032(y\u2032)) = 0.
Portanto, y\u2032\u2032 = 0 ou x+ f \u2032(y\u2032) = 0.
Daí, segue que y\u2032 = C ou x = \u2212f \u2032(y\u2032). Se y\u2032 = C, então, de (11)
teremos as soluções:
y = xC + f(C), (12)
que é uma família de retas a um parâmetro C. Por outro lado, se x = \u2212f \u2032(y\u2032),
chamando y\u2032 = p. temos de (11):
{
x = \u2212f \u2032(p),
y = xp+ f(p),
\u21d2
{
x = \u2212f \u2032(p),
y = \u2212f \u2032(p)p+ f(p). (13)
Assim, obtivemos em (13) uma parametrização para uma curva solução
da EDO, onhecida como solução singular ou envoltória da família de retas
(12). Como o próprio nome já diz, a envoltória é uma curva que "envolve"a
família de retas, tangenciando-as, como veremos nos exemplos a seguir.
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 22. EQUAÇÕES DE BERNOULLI, RICATTI E CLAIRAUT 187
Exemplo 5
Resolva y = xy\u2032 \u2212 (y\u2032)2 e esboce as soluções no mesmo sistema de coorde-
nadas.
Solução
Derivando a EDO em relação a x, obtemos
y\u2032\u2032(x\u2212 2y\u2032) = 0.
Portanto, y\u2032\u2032 = 0 ou x\u2212 2y\u2032 = 0. Daí, temos a família de retas
y = Cx\u2212 C2,
onde C \u2208 R. E a envoltória{
x = 2p,
y = 2p2 \u2212 p2 = p2.
Observe que a envoltória é uma parábola, pois podemos escrever que p =
x
2
e y =
(x
2
)2
=
x2
4
. Veja a Figura 1.
Figura 1: A envoltória y =
x2
4
da família de retas y = Cx\u2212 C2.
\ufffd
Exemplo 6
Resolva y \u2212 xy\u2032 = \u2212 ln y\u2032 e esboce as soluções no mesmo sistema de coor-
denadas.
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188 3. EQUAÇÃO DE CLAIRAUT
Solução
Observe que a EDO é de Clairaut, pois se escreve como y = xy\u2032 \u2212 ln y\u2032.
Derivando em relação a x, temos as soluções formadas pela família de retas
y = Cx\u2212 lnC,
onde C > 0. E a envoltória
\uf8f1\uf8f2\uf8f3 x =
1
p
,
y = 1\u2212 ln p.
Observe que a envoltória é dada pelo grá\ufb01co de y = 1 + ln x, pois podemos
escrever que y = 1 \u2212 ln p = 1 \u2212 ln
(
1
x
)
= 1 \u2212 ln 1 + lnx = 1 + lnx, x > 0.
Veja a Figura 2.
Figura 2: A envoltória y = 1 + lnx da família de retas y = Cx\u2212 lnC, C > 0.
\ufffd
Observação 4
Observe que os problemas de valor inicial, cujas condições iniciais são dadas
sobre a envoltória, não possuem solução única, pois terão por solução a
própria envoltória e também uma reta da família de soluções a um parâmetro.
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AULA 22. EQUAÇÕES DE BERNOULLI, RICATTI E CLAIRAUT 189
4 Exercícios de revisão
Resolva as seguintes equações.
1. y\u2032 + xy = x3y3.
2. y\u2032(x2y3 + xy) = 1.
3. (2\u2212 y lnx)dx+ xdy = 0.
4. y \u2212 y\u2032 cosx = y2 cosx(1\u2212 sen x).
5. y = xy\u2032 + 1\u2212 ln y\u2032.
6. y(y\u2032)2 = x(y\u2032)3 + 1.
Veri\ufb01que que yp é solução da equação dada e depois resolva a equação.
7. y\u2032 = y2 + 2y \u2212 15, onde yp(x) = \u22123.
8. y\u2032 = y2 \u2212 y
x
\u2212 25
x2
, onde yp(x) =
5
x
.
9. y\u2032 = cossec2 x+ y cotg x+ y2, onde yp(x) = \u2212 cotg x.
10. y\u2032 = y2 + 8xy + 16x2 \u2212 4, onde yp(x) = \u22124x.
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190 4. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
Aula 23
Aplicações das EDOs de 1ª ordem
As equações diferenciais são o suporte matemático para muitas áreas do
conhecimento cientí\ufb01co, pois muitos fenômenos são transcritos ou modelados
matematicamente por meio delas. Nesta aula, veremos algumas aplicações
das EDOs a problemas em diversas áreas.
1 Trajetórias ortogonais
Considere uma família F de curvas que constituem o conjunto solução
de uma equação diferencial da forma
y\u2032 = f(x, y). (1)
Dado um ponto qualquer (x0, y0) sobre uma curva da família, o coe\ufb01ciente
angular da reta tangente a essa curva no referido ponto é dado por f(x0, y0).
De fato, como a curva satisfaz (1), esse é o valor da derivada y\u2032(x0) em
(x0, y0). Uma curva que passa por (x0, y0)- de forma que a sua reta tan-
gente nesse ponto seja ortogonal à tangente da curva da família F - tem reta
tangente cujo coe\ufb01ciente angular é dado por \u2212 1
f(x0, y0)
, nos pontos em que
f(x0, y0) 6= 0 . Assim, a equação diferencial que representa a família de
191
192 1. TRAJETÓRIAS ORTOGONAIS
curvas que interceptam ortogonalmente as curvas da família F é dada por
y\u2032 = \u2212 1
f(x0, y0)
. (2)
As curvas que são solução dessa equação (2) são chamadas trajetórias ortogo-
nais às curvas da família F . Observe a Figura 1 a seguir. As famílias or-
Figura 1: A família de curvas em azul e ortogonal à família de curvas em vermelho.
togonais aparecem naturalmente em diversas aplicações. Por exemplo, as
curvas do \ufb02uxo de calor numa lâmina são ortogonais à família de curvas de
igual temperatura (isotermas), as linhas do \ufb02uxo de um campo elétrico ou
magnético são ortogonais às curvas de potencial constante (equipotenciais).
EDO associada a uma família de curvas
A uma família de curvas
G(x, y, c) = 0, (3)
onde c é um parâmetro, podemos associar uma EDO que tem a dada família
como solução. Supomos que existem funções de x implícitas na equação da
curva ( podemos usar o Teorema da função implícita para garantir isso),
então, derivando implicitamente (3) em relação a x, obtemos pela regra da
cadeia
Gx +Gyy
\u2032 = 0\u21d2 y\u2032 = \u2212Gx
Gy
.
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández CÁLCULO 2A
AULA 23. APLICAÇÕES DAS EDOS DE 1ª ORDEM 193
Escrevendo o parâmetro c, em função de x e y, obtemos a EDO da família
de curvas dada, a saber,
y\u2032 = \u2212Gx(x, y(x), c(x, y))
Gy(x, y(x), c(x, y))
= f(x, y), (4)
Em (4), o parâmetro c deve ser escrito em função de x e y, pois ele só aparece
após a resolução da EDO. Observe o próximo exemplo.
Exemplo 1
Determine a EDO associada à família de parábolas
y = cx2. (5)
Solução
Derivando a equação da curva em relação a x, obtemos
y\u2032 = 2cx. (6)
Substituindo em (6) o parâmetro c =
y
x2
, obtido de (5), segue que
y\u2032 =
2y
x
,
que é a EDO