CALCULOIIA_ GMA - UFF
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são polinômios, analogamente para as
funções exponenciais.
Este procedimento, no entanto, não vale quando temos por exemplo g(x) = lnx,
ou g(x) =
1
x
ou g(x) = tg x, entre outras. Para este tipo de não homogenei-
dade, vamos ver na Aula 28 oMétodo da Variação dos Parâmetros, que valerá
para qualquer função g(x) contínua.
2 Exemplos
Exemplo 1
Determine uma solução particular da equação
y\u2032\u2032 + 4y\u2032 \u2212 2y = 7x+ 1. (2)
Solução
Como neste caso g(x) = 7x + 1, ou seja, um polinômio de grau 1, vamos
procurar uma solução particular yp(x) = Ax + B, que é do mesmo tipo da
função g. Derivando yp(x) e substituindo em (2), obtemos
4A\u2212 2Ax\u2212 2B = 7x+ 1,
donde segue, usando a propriedade da igualdade entre polinômios, que 4A\u22122B = 1
e \u22122A = 7. Portanto, A = \u22127/2 e B = \u221215/2. Assim, chegamos à solução
particular para (2) yp(x) = \u22127
2
x\u2212 15
2
. \ufffd
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 27. MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR 231
Exemplo 2
Determine uma solução particular da equação
y\u2032\u2032\u2032 \u2212 y = x3. (3)
Solução
Seguindo a mesma ideia do exemplo anterior, procuramos yp = Ax
3+Bx2+Cx+D,
um polinômio de grau 3. Derivando yp e substituindo em (3), obtemos
6A\u2212 Ax3 \u2212Bx2 \u2212 Cx\u2212D = x3.
\ufffd
Portanto, \u2212A = 1, B = 0, C = 0 e 6A\u2212D = 0, dondeA = \u22121, B = 0, C = 0
e D = \u22126. Assim, yp = \u2212x3 \u2212 6.
Exemplo 3
Determine a solução geral da equação
y\u2032\u2032 + 4y = 2 sen 3x (4)
Solução
A EDO homogênea associada a (4) tem equação característica dada por
z2 + 4 = 0, cujas raízes são \u3bb1 = 2i e \u3bb2 = \u22122i, portanto, de acordo com a
Aula 26, sua solução geral é dada por yh(x) = c1 cos 2x + c2 sen 2x. Agora,
precisamos de uma solução particular de (4) para podermos determinar sua
solução geral. Assim, usando o método dos coe\ufb01cientes a determinar, vamos
procurar yp(x) = A sen 3x+B cos 3x. Observe que utilizamos tanto a função
seno quanto a cosseno, pois sempre que uma delas aparecer na expressão da
g(x), precisaremos utilizar as duas na formação da solução particular, visto
que as derivadas de cada uma delas é a outra, a menos de constante mul-
tiplicativa. Derivando a suposta solução particular e substituindo em (4),
obtemos
\u22129A sen 3x\u2212 9A cos 3x+ 4A sen 3x+ 4B cos 3x = 2 sen 3x.
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
232 2. EXEMPLOS
Daí, agrupando os coe\ufb01cientes de sen 3x e cos 3x e igualando os coe\ufb01cientes,
obtemos \u22125A = 2 e \u22129A+ 4B = 0, donde A = \u22122/5 e B = \u22129/10. Logo, a
solução geral de (4) é
y(x) = c1 cos 2x+ c2 sen 2x\u2212 2
5
sen 3x\u2212 9
10
cos 3x.
\ufffd
Exemplo 4
Determine a solução geral da equação
y\u2032\u2032 \u2212 5y\u2032 + 4y = ex. (5)
Este exemplo nos mostra que a nossa suposição inicial para a solução particu-
lar procurada poderá sofrer algum ajuste.
Solução
A equação característica da EDO homogênea associada tem como raízes
\u3bb1 = 1 e \u3bb2 = 4, portanto sua solução geral é dada por yh = c1e
x + c2e
4x
.
Agora, vamos procurar uma solução particular para (5) do tipo da g. Por-
tanto, supomos inicialmente yp(x) = Ae
x
, porém como esta já é solução da
homogênea associada, não será solução da não homogênea, portanto, em tal
caso, ajustamos a suposição inicial multiplicando-a por x. Assim, na verdade
vamos trabalhar com
yp = Axe
x. (6)
Derivando (6) e substituindo em (5), temos
2Aex + Axex \u2212 5Aex \u2212 5Axex + 4Axex = ex,
donde simpli\ufb01cando e igualando os coe\ufb01cientes dos termos iguais, segue que
A = \u22121/3. Portanto, yp = \u22121
3
xex e a solução geral de (5) é
y(x) = c1e
x + c2e
4x \u2212 1
3
xex. \ufffd
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 27. MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR 233
Exemplo 5
Determine a solução geral da equação
y\u2032\u2032 \u2212 2y\u2032 + y = 2ex. (7)
Solução
A equação característica da EDO homogênea associada tem como raízes
\u3bb1 = \u3bb2 = 1, portanto sua solução geral é dada por yh = c1e
x + c2xe
x
.
Neste caso, buscamos uma solução particular
yp = Ax
2ex, (8)
pois tanto y = ex, quanto y = xex são soluções da homogênea associada,
sendo necessário ajustarmos nossa suposição inicial, multiplicando por x duas
vezes. Derivando (8) e substituindo em (7), obtemos 2Aex = 2ex, donde
A = 1. Logo, a solução geral procurada é y(x) = c1e
x + c2xe
x + x2ex. \ufffd
Exemplo 6
Determine a solução geral da equação
y\u2032\u2032 + y = cos x+ x\u2212 3e2x. (9)
Solução
A EDO homogênea associada tem solução geral yh(x) = c1 cosx + c2 sen x.
Observando cada termo que compõe a função g, vamos pensar em soluções
particulares para cada um e depois somar as suposições. Assim, vamos supor
yp = Ax cosx+Bx sen x+Cx+D +Ee
2x
. Derivando e substitindo em (9),
obtemos após simpli\ufb01cações
\u22122A sen x+ 2B cosx+ Cx+D + 5Ee2x = cos x+ x\u2212 3e2x.
Segue desta igualdade que \u22122A = 0, 2B = 1, C = 1, D = 0 e 5E = \u22123.
Portanto, yp =
1
2
x sen x+ x\u2212 3
5
e2x e a solução geral de (9) é
y(x) = c1 cosx+ c2 sen x+
1
2
x sen x+ x\u2212 3
5
e2x. \ufffd
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
234 2. EXEMPLOS
Observação 1
Dada um EDO linear a qual associamos duas funções para a parte não ho-
mogênea, digamos g1 e g2, conforme abaixo
an(x)y
(n) + an\u22121(x)y(n\u22121) + · · ·+ a1(x)y\u2032 + a0(x)y = g1(x) (10)
e
an(x)y
(n) + an\u22121(x)y(n\u22121) + · · ·+ a1(x)y\u2032 + a0(x)y = g2(x) (11)
Se y1(x) é uma solução particular para (10)e y2(x) para (11), então y1(x)+y2(x)
é uma solução particular para a EDO (12)com a parte não homogênea sendo
a soma entre as funções g1 e g2 (veri\ufb01que!)
an(x)y
(n) + an\u22121(x)y(n\u22121) + · · ·+ a1(x)y\u2032 + a0(x)y = g1(x) + g2(x). (12)
Este fato é conhecido como princípio da superposição de soluções para uma
EDO linear não homogênea. No exemplo 6 anterior, ao somarmos as supostas
soluções particulares para cada termo da função g estávamos usando esse
princípio.
Exemplo 7
Determine a solução geral da equação
y\u2032\u2032\u2032 \u2212 y\u2032\u2032 + y\u2032 \u2212 y = x2ex. (13)
Solução
A equação característica da EDO homogênea associada a (13) é z3\u2212z2+z\u22121 = 0,
que pode ser fatorada como z2(z\u22121)+z\u22121 = (z\u22121)(z2+1) = 0. Assim, suas
raízes são \u3bb1 = 1, \u3bb2 = \u2212i e \u3bb3 = i. Daí, yh(x) = c1ex + c2 cosx + c3 sen x.
Buscamos uma solução particular para (13) do tipo
yp(x) = x(Ax
2 +Bx+ C)ex.
Observe que multiplicamos por x para que não houvesse termos da solução
geral da homogênea associada presentes na solução particular. Derivando
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AULA 27. MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR 235
a solução particular e substituindo em (13), obtemos (veri\ufb01que!) A = 1/6,
B = \u22121/2 e C = 1/2. Logo, a solução geral de (13) é
y(x) = c1e
x + c2 cosx+ c3 sen x+ (
1
6
x3 \u2212 1
2
x2 +
1
2
x)ex.
\ufffd
3 Exercícios de revisão
Resolva as seguintes equações.
1. y\u2032\u2032 + 3y = 5.
2. 2y\u2032\u2032 \u2212 y\u2032 + 2y = 3xex.
3. y\u2032\u2032 \u2212 2y\u2032 + y = 2ex + xex.
4. y\u2032\u2032\u2032 + 3y\u2032\u2032 \u2212 4y = ex cosx.
5. y\u2032\u2032 + 2y = xex sen x.
6. y(4) \u2212 y = \u2212ex.
7. y\u2032\u2032 + 4y = senx cosx. ( Use sen 2x = 2 senx cosx)
Determine a solução de cada PVI.
8. y\u2032\u2032 + 3y = 5 ;y\u2032(0) = 1, y(0) = \u22121.
9. y\u2032\u2032\u2032 + y\u2032\u2032 + 3y\u2032 + 3y = x2 ; y\u2032\u2032(0) = 2, y\u2032(0) = 1, y(0) = 0.
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236 3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
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CÁLCULO 2A
Aula 28
Método da variação dos
parâmetros
Nesta aula vamos estudar o método da variação dos parâmetros, que é
usado para achar uma solução particular de uma equação diferencial linear
não homogênea de grau n.
1 Conceitos básicos
Consideramos a EDO linear não homogênea de ordem n dada pela
expressão:
y(n) + an\u22121y(n\u22121) + · · ·+ a1y\u2032 + a0y = g, (1)
onde a0, · · · , an\u22121 e g são funções da variável x.
Nosso objetivo é achar uma solução particular da equação (1) supondo
que conhecemos a solução geral da equação homogênea associada.
Observação 1
O método da variação dos parâmetros é muito mais geral do que o método
estudado na Aula 27. De fato, para aplicar o método