CALCULOIIA_ GMA - UFF
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CALCULOIIA_ GMA - UFF


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Exemplo 9\u222b
tg3 x dx .
Solução
Vamos usar a identidade (2) e na primeira integral a ser obtida, a substi-
tuição u = tg x , em que du = sec2 x. Então,\u222b
tg3 x dx =
\u222b
tg x(sec2 x\u2212 1) dx =
\u222b
u du\u2212
\u222b
tg x dx
=
u2
2
+ ln | cosx|+ C = tg
2 x
2
+ ln | cosx|+ ,
onde utilizamos o cálculo da integral da tangente, tal como vimos no exemplo
5, da Aula 4.
\ufffd
2 Exercícios de revisão
Calcule as integrais.
1.
\u222b
tg4 x dx; 2.
\u222b
cos5 x dx;
3.
\u222b
cos6 x dx; 4.
\u222b
sen x tg2 x dx;
5.
\u222b
cos pix sen x dx; 6.
\u222b
sec2n x dx, n = 3, 4;
7.
\u222b
tg x sec3 x dx; 8.
\u222b
cos2 x sen2 x dx;
9.
\u222b
sen x cos3 x dx.
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
Aula 7
Substituição trigonométrica
A substituição trigonométrica é uma técnica utilizada para integrar
funções algébricas transformando-as em funções trigonométricas, mediante
o uso de identidades trigonométricas.
1 Conceitos básicos
Nesta aula, vamos usar um novo tipo de substituição, chamado substi-
tuição inversa, que difere do procedimento adotado na Aula 4 em que NÃO é
a nova variável que será colocada em função da variável original (u = g(x)),
mas sim o contrário. Dada h : I \u2192 J uma função C1(I) (contínua e com
derivada contínua), invertível com inversa C1(J), de\ufb01nimos a mudança de
variável x = h(\u3b8), o que nos leva a
\u222b
f(x)dx =
\u222b
f(h(\u3b8))h\u2032(\u3b8)d\u3b8. (1)
Para justi\ufb01car a linha anterior, basta tomar uma antiderivada G da função
f(h(\u3b8))h\u2032(\u3b8), e provar que G(h\u22121(x)) é uma antiderivada da função f . Isso
é veri\ufb01cado da seguinte maneira:
G\u2032(h\u22121(x))[h\u22121]\u2032(x) = f(h(h\u22121(x)))h\u2032(h\u22121(x))[h\u22121]\u2032(x) = f(x).
53
54 1. CONCEITOS BÁSICOS
Nesta aula, estudaremos três tipos diferentes de substituições inversas,
que vão permitir transformar a integral de uma função envolvendo alguma
expressão do tipo
\u221a
a2 \u2212 x2, \u221ax2 \u2212 a2 ou \u221aa2 + x2, em uma integral de uma
função envolvendo funções trigonométricas. A ideia é usar as identidades
trigonométricas cos2 \u3b8 = 1 \u2212 sen2 \u3b8, tg2 \u3b8 = sec2 \u3b8 \u2212 1 ou sec2 \u3b8 = 1 + tg2 \u3b8,
respectivamente. Daqui em diante vamos supor a > 0.
Caso (
\u221a
a2 \u2212 x2): A função h(\u3b8) = a sen \u3b8, de\ufb01nida no intervalo [\u2212pi/2, pi/2],
é invertível, com função inversa h\u22121(x) = arcsen(x/a), de\ufb01nida para x \u2208 [\u2212a, a].
Podemos, então, introduzir a mudança de variável vista em (1), que pode ser
melhor lembrada usando a notação diferencial:
x = a sen \u3b8 ; dx = a cos \u3b8 d\u3b8.
Observe que usando a identidade cos2 \u3b8 = 1\u2212 sen2 \u3b8, e dado que no domínio
de de\ufb01nição a função cosseno é positiva, obtemos cos \u3b8 =
\u221a
a2\u2212x2
a
.
De fato, todas as funções trigonométricas em \u3b8 (tg \u3b8, cotg \u3b8, ...) podem
ser expressas em termos da variável x, com ajuda da Figura 1.
Figura 1:
sen \u3b8 = x
a
.
x = Cateto Oposto (CO).
a = Hipotenusa (H).
\u221a
a2 \u2212 x2 = Cateto Adjacente (CA).
Por exemplo, dado que cos \u3b8 = CA
H
e tg \u3b8 = CO
CA
, temos cos \u3b8 =
\u221a
a2\u2212x2
a
e tg \u3b8 = x\u221a
a2\u2212x2 . Para obter as outras funções trigonométricas, basta lembrar
que cotg \u3b8 = 1
tg \u3b8
, sec \u3b8 = 1
cos \u3b8
e cossec \u3b8 = 1
sen \u3b8
.
Exemplo 1
Calcule
\u222b
dx
x
\u221a
5\u2212 x2 .
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández CÁLCULO 2A
AULA 7. SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 55
Solução
Considerando a mudança de variáveis
x =
\u221a
5 sen \u3b8 ; dx =
\u221a
5 cos \u3b8 d\u3b8,
temos \u222b
dx
x
\u221a
5\u2212 x2 =
\u222b
(
\u221a
5 cos \u3b8)d\u3b8\u221a
5 sen \u3b8(
\u221a
5 cos \u3b8)
=
\u221a
5
5
\u222b
cossec \u3b8 d\u3b8,
logo, \u222b
dx
x
\u221a
5\u2212 x2 =
\u221a
5
5
ln | cossec \u3b8 \u2212 cotg \u3b8|+ C.
Para retornar à variável x, usamos (ver a Figura anterior)
sen \u3b8 =
x\u221a
5
, cossec \u3b8 =
\u221a
5
x
, cotg \u3b8 =
\u221a
5\u2212 x2
x
.
Assim,
\u222b
dx
x
\u221a
5\u2212 x2 =
\u221a
5
5
ln
\u2223\u2223\u2223\u221a5\u2212\u221a5\u2212 x2\u2223\u2223\u2223\u2212 \u221a5
5
ln |x|+ C.
\ufffd
Exemplo 2
Calcule
\u222b
x2 dx\u221a
25\u2212 x2 .
Solução
Considerando a mudança de variáveis
x = 5 sen \u3b8 ; dx = 5 cos \u3b8 d\u3b8,
temos \u222b
x2 dx\u221a
25\u2212 x2 =
\u222b
(5 sen \u3b8)2(5 cos \u3b8) d\u3b8
(5 cos \u3b8)
= 25
\u222b
sen2 \u3b8 d\u3b8.
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
56 1. CONCEITOS BÁSICOS
A última integral foi estudada na Aula 6. Assim,
\u222b
x2 dx\u221a
25\u2212 x2 = 25{\u3b8/2\u2212 sen(2\u3b8)/4}+ C.
Para retornar à variável x, usamos
\u3b8 = arcsen(x/5)
e
sen(2\u3b8) = 2 sen \u3b8 cos \u3b8 = 2(x/5)(
\u221a
1\u2212 (x/5)2).
Assim, \u222b
x2 dx\u221a
25\u2212 x2 =
25
2
arcsen(x/5)\u2212 x
2
\u221a
25\u2212 x2 + C.
\ufffd
Caso (
\u221a
a2 + x2) : A função h(\u3b8) = a tg \u3b8, de\ufb01nida no intervalo (\u2212pi/2, pi/2),
é invertível, com função inversa h\u22121(x) = arctg(x/a) de\ufb01nida para x \u2208 R.
Podemos então introduzir a mudança de variável
x = a tg \u3b8 ; dx = a sec2 \u3b8 d\u3b8.
Observe que usando a identidade tg2 \u3b8 = sec2 \u3b8 \u2212 1, e dado que no domínio
de de\ufb01nição a função secante é positiva, obtemos sec \u3b8 =
\u221a
a2+x2
a
. Analisando
de forma semelhante ao procedimento adotado no primeiro caso, obtemos a
Figura 2.
Figura 2:
tg \u3b8 = x
a
.
x = Cateto Oposto (CO).
a = Cateto Adjacente (CA).
\u221a
a2 \u2212 x2 = Hipotenusa (H).
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández CÁLCULO 2A
AULA 7. SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 57
Lembrando que sen \u3b8 = CO
H
e cos \u3b8 = CA
H
, temos sen \u3b8 = x\u221a
a2+x2
e
cos \u3b8 = a\u221a
a2+x2
.
Exemplo 3
Calcule
\u222b
dx\u221a
x2 + 16
.
Solução
Considerando a mudança de variáveis
x = 4 tg \u3b8 ; dx = 4 sec2 \u3b8 d\u3b8,
temos \u222b
dx\u221a
x2 + 16
=
\u222b
4 sec2 \u3b8 d\u3b8
4 sec \u3b8
d\u3b8 =
\u222b
sec \u3b8 d\u3b8.
A última integral foi estudada na Aula 6. Assim,\u222b
dx\u221a
x2 + 16
= ln | sec \u3b8 + tg \u3b8|+ C.
Para retornar à variável x, usamos
tg \u3b8 = x/4 , sec \u3b8 =
\u221a
16 + x2
4
Assim, \u222b
dx\u221a
x2 + 16
= ln
\u2223\u2223\u221a16 + x2 + x\u2223\u2223+ C.
\ufffd
Exemplo 4
Calcule
\u222b
1
(x2 + 3)2
dx
Solução
Considerando a mudança de variáveis
x =
\u221a
3 tg \u3b8 ; dx =
\u221a
3 sec2 \u3b8 d\u3b8,
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
58 1. CONCEITOS BÁSICOS
temos \u222b
1
(x2 + 3)2
dx =
\u222b \u221a
3 sec2 \u3b8
(3 tg2 \u3b8 + 3)2
d\u3b8 =
\u221a
3
9
\u222b
cos2 \u3b8 d\u3b8
A última integral pode ser feita usando a identidade (4) da Aula 6. Assim,
\u222b
1
(x2 + 3)2
dx =
\u221a
3
9
[
\u3b8
2
+
sen(2\u3b8)
4
]
+ C.
Para retornar à variável x, usamos
\u3b8 = arctg
x\u221a
3
, sen \u3b8 =
x\u221a
x2 + 3
e cos \u3b8 =
\u221a
3\u221a
x2 + 3
.
Assim, \u222b
1
(x2 + 3)2
dx =
\u221a
3
18
[
arctg
x\u221a
3
+
\u221a
3x
x2 + 3
]
+ C.
\ufffd
Caso (
\u221a
x2 \u2212 a2) : A função h(\u3b8) = a sec \u3b8, de\ufb01nida no intervalo
[0, pi/2) ( ou (pi/2, pi]), é invertível, com função inversa h\u22121(x) = arcsec(x/a)
de\ufb01nida para x \u2208 [a,+\u221e) ( ou x \u2208 (\u2212\u221e, a]). Podemos, então, introduzir a
mudança de variável
x = a sec \u3b8 ; dx = a sec \u3b8 tg \u3b8 d\u3b8,
onde 0 \u2264 \u3b8 < pi/2 (ou pi/2 < \u3b8 \u2264 pi). Observe que usando a identidade
tg2 \u3b8 = sec2 \u3b8 \u2212 1, e dado que no domínio de de\ufb01nição a função tangente é
positiva (ou negativa), temos tg \u3b8 =
\u221a
x2\u2212a2
a
(ou tg \u3b8 = \u2212
\u221a
x2\u2212a2
a
). Procedendo
do mesmo modo que no primeiro caso, obtemos a Figura 3.
Logo, sen \u3b8 =
\u221a
x2\u2212a2
x
e cos \u3b8 = a
x
.
Exemplo 5
Calcule
\u222b
x2 dx\u221a
x2 \u2212 9 supondo x \u2208 (3,+\u221e) .
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 7. SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 59
Figura 3:
sec \u3b8 = x
a
.
x = Hipotenusa (H).
a = Cateto Adjacente (CA).
\u221a
x2 \u2212 a2 = Cateto Oposto (CO).
Solução
Considerando a mudança de variáveis
x = 3 sec \u3b8 ; dx = 3 sec \u3b8 tg \u3b8 d\u3b8,
temos \u222b
x2 dx\u221a
x2 \u2212 9 =
\u222b
(3 sec \u3b8)2(3 sec \u3b8 tg \u3b8) d\u3b8
(3 tg \u3b8)
= 9
\u222b
sec3 \u3b8 d\u3b8.
A última integral foi feita no Exemplo 4 da Aula 5. Assim,\u222b
sec3 \u3b8 d\u3b8 =
1
2
sec \u3b8 tg \u3b8 +
1
2
ln | sec \u3b8 + tg \u3b8|+ C.
Logo, \u222b
x2 dx\u221a
x2 \u2212 9 =
9
2
sec \u3b8 tg \u3b8 +
9
2
ln | sec \u3b8 + tg \u3b8|+ C.
Para retornar à variável x, usamos
sec \u3b8 =
x
3
, tg \u3b8 =
\u221a
x2 \u2212 9
3
.
Assim, \u222b
x2 dx\u221a
x2 \u2212 9 =
x
\u221a
x2 \u2212 9
2
+
9
2
ln
\u2223\u2223x+\u221ax2 \u2212 9\u2223\u2223+ C.
\ufffd
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
60 2. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
Exemplo 6
Calcule
\u222b 8
4
\u221a
x2 \u2212 16
x2
dx.
Solução
Primeiro