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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA Formalizando os conceitos já explicados ao longo do curso, o método da rigidez direta consiste no emprego da definição física do conceito de rigidez (kij): força que surge devido à imposição de um deslocamento unitário segundo um determinado grau de liberdade (GL), enquanto todos os outros deslocamentos, referentes aos demais graus de liberdade são nulos. Ou seja, os coeficientes das matrizes de rigidez tanto no sistema local (L) de coordenadas quanto no sistema global de coordenadas (G) são formulados a partir deste princípio físico. Quando um sistema estrutural possui os seus graus de liberdade identificados por um conjunto de coordenadas globais e está discretizado em elementos que possuem representações destes graus de liberdade no sistema local de coordenadas, torna-se evidente a correspondência existente entre os deslocamentos da estrutura completa (estrutura montada), decorrentes do equilíbrio global, e os deslocamentos impostos em cada um dos elementos no referencial local. O sistema estrutural passa então a se comportar como uma associação de molas em paralelo, onde cada mola consiste em um elemento da estrutura. Como consequência, a força necessária à realização de um determinado deslocamento segundo uma coordenada global será igual ao somatório das forças necessárias para se impor o mesmo deslocamento segundo cada um dos elementos que incidem sobre aquele grau de liberdade. Matricialmente falando, isto pode ser entendido como o coeficiente kij da matriz de rigidez no sistema global ([KG]) segundo os graus de liberdade “i” e “j”, sendo igual ao somatório dos coeficientes das matrizes de rigidez elementares de cada um dos elementos conexos aos graus de liberdade “i” e “j”, respeitadas todas as convenções de direção e sentido. Deste modo, pode-se escrever: nelm 1n ij L e G ij ]k[]K[ Onde: [K]G : matriz de rigidez da estrutura no sistema global; [ke]L : matriz do enésimo elemento no sistema local; nelm : número de elementos que contêm os graus de liberdade “i” e “j”. Desta forma, a metodologia de montagem da matriz de rigidez global da estrutura ([K]G), com base no “somatório das contribuições locais” consiste no processo da rigidez direta (assembly process). Contudo, considerando-se uma formulação mais geral onde as coordenadas globais e locais não apresentam direções e sentido iguais, situação absolutamente corriqueira em sistemas estruturais aporticados, deve-se realizar uma transformação de coordenadas, com base no emprego da matriz de transformação ([T]). UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br 100000 0cossen000 0sencos000 000100 0000cossen 0000sencos ]T[ e Finalmente, ressalta-se que o “somatório das contribuições locais” dos elementos associados as matrizes de rigidez elementares na matriz de rigidez global envolve uma transformação de coordenadas prévia para o sistema de coordenadas global. Deste modo: n 1elemento e e L T e G ]T[]k[]T[]K[ Onde: [K]G : matriz de rigidez da estrutura no sistema global; [ke]L : matriz do enésimo elemento no sistema local; [T] : matriz de transformação entre os sistema local e global de coordenadas; n : número de elementos. UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br CARREGAMENTO NODAL EQUIVALENTE (CNE) OU (FNE) Na análise estrutural realizada por meio do método dos deslocamentos as equações de equilíbrio são definidas nas direções das coordenadas do modelo, ou seja, são equações de equilíbrio dos nós da estrutura. Entretanto, de forma geral, os carregamentos reais, existentes na prática corrente de projeto, não atuam diretamente sobre os nós dos modelos estruturais. Na realidade, estas cargas são divididas em dois tipos distintos: cargas nodais e cargas que atuam sobre os elementos estruturais (barras). Para proceder-se a análise estrutural para as cargas atuantes sobre as barras, estas serão substituídas por carregamentos nodais equivalentes (CNE) ou forças nodais equivalentes (FNE). Quando estas forças são adicionadas às cargas nodais resultam em cargas nodais combinadas. A estrutura é analisada para estas últimas cargas. O objetivo é garantir que a resposta da estrutura (deslocamentos e esforços) analisada pelas cargas combinadas seja igual, evidentemente, ao da análise estrutural para o carregamento real atuante sobre o sistema. Este procedimento irá conduzir a escolha das cargas nodais equivalentes adequadas. Com base no princípio da superposição dos efeitos (análise linear elástica), sabe-se que as cargas nodais equivalentes são nada mais do que as forças de engastamento perfeito de cada barra do modelo estrutural com o sentido inverso (sinais invertidos), conforme representado genericamente na figura a seguir. Elemento (barra) da estrutura original submetido à carga distribuída = CASO I: cargas combinadas (carregamento nodal equivalente) + CASO II: cargas atuando ao longo das barras e forças de engastamento perfeito UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br CASO I: Estrutura encontra-se submetida às forças (e momentos) nodais combinadas. Estes atuam sobre os nós da estrutura. Para este carregamento a estrutura será efetivamente analisada. CASO II: Estrutura encontra-se submetida às cargas atuando ao longo das barras e as correspondentes forças (reações) de engastamento perfeito atuando nas extremidades das barras. RESUMO: A análise será feita para a estrutura submetida às cargas nodais combinadas, ou seja, pelas cargas aplicadas diretamente sobre os nós (cargas externas aplicadas) somadas as cargas nodais equivalentes (forças de engastamento perfeito nas barras, com o sentido inverso e atuando diretamente sobre os nós). Assim sendo, os deslocamentos nodais serão obtidos pela análise das cargas nodais combinadas (CASO I). Os esforços nas extremidades dos elementos serão aqueles obtidos da análise das cargas combinadas (CASO I) somados as forças de engastamento perfeito. Assim sendo: }u{]k[}F{}F{ L )1mx( L )mxm()1mx(0)mxm( }F{}F{}F{ L )1mx()1mx(0)mxm( Onde: {F} : vetor dos esforços no sistema local; {u}L : vetor dos deslocamentos no sistema local; L e]k[ : matriz de rigidez do elemento no sistema local; {F0} : vetor das reações de fixação no sistema local (ver tabela ilustrativa a seguir); }F{ : vetor dos esforços locais que surgem pela aplicação do CNE; m : número de coordenadas do sistema local. UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃOEM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br Observação: Reações de Fixação para o Cálculo do Carregamento Nodal Equivalente UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br EXEMPLO DE APLICAÇÃO I Considere-se o pórtico plano mostrado na Figura 1, com todas as suas características físicas, geométricas e carregamentos dados. Pede-se determinar os deslocamentos nodais, reações de apoio, esforços internos nas barras e os diagramas de esforços. Figura 1: Pórtico plano com carga concentrada e distribuída. Solução do Problema Proposto Passo 1: Numeração dos nós e dos elementos. Passo 2: Numeração dos graus de liberdade no sistema global de coordenadas, de acordo com a numeração empregada para os elementos. Sistema Global (G) E = 2,1 x 108 kN/m2 A = 0,5 x 10-2 m2 I = 4 x 10-4 m4 Y X UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br Passo 3: Definição e numeração dos elementos de pórtico plano que formam a estrutura no sistema local de coordenadas. Passo 4: Obtenção das matrizes de transformação entre os sistemas local e global para cada elemento. [T]: matriz de transformação. 100000 0cossen000 0sencos000 000100 0000cossen 0000sencos ]T[ e Sistema Local (L) UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br Elemento 1: = 900 100000 001000 010000 000100 000001 000010 ]T[ 1e Elemento 2: = 00 100000 010000 001000 000100 000010 000001 ]T[ 2e Elemento 3: = 900. Observar que [T]e3 = [T]e1 100000 001000 010000 000100 000001 000010 ]T[ 3e Passo 5: Obtenção das matrizes de rigidez no sistema global: e L e T e G e ]T[]k[]T[]K[ G e]K[ : matriz de rigidez no sistema global; L e]k[ : matriz de rigidez no sistema local. [ke]L: sistema local UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br Observação: Matrizes de Rigidez Elementares UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br Elemento 1: 1e L 1e T 1e G 1e ]T[]k[]T[]K[ Elemento 2: 2e L 2e T 2e G 2e ]T[]k[]T[]K[ Elemento 3: 3e L 3e T 3e G 3e ]T[]k[]T[]K[ . Observar que G1eG3e ]K[]K[ Assim sendo, substituindo-se os valores de E, A, I e L, e considerando-se, ainda, as respectivas matrizes de transformação dos elementos, chega-se a: 8400003150042000031500 0262500002625000 3150001575031500015750 4200003150084000031500 0262500002625000 3150001575031500015750 ]K[ G1e 8400031500042000315000 3150015750031500157500 0026250000262500 4200031500084000315000 3150015750031500157500 0026250000262500 ]K[ G2e 8400003150042000031500 0262500002625000 3150001575031500015750 4200003150084000031500 0262500002625000 3150001575031500015750 ]K[ G3e Utilizando-se o procedimento de montagem definido anteriormente, pode-se obter a matriz de rigidez da estrutura em estudo a partir da matriz de rigidez de cada um dos seus elementos. Evidentemente, deve-se identificar em cada matriz de rigidez do elemento a sua respectiva contribuição nesta montagem. Por exemplo, os coeficientes I,J (linha, coluna) da matriz de um elemento serão adicionados na mesma localização da matriz de rigidez da estrutura. O pórtico plano em questão possui 12 graus de liberdade (12 GL) e, portanto, a matriz de rigidez global da estrutura (não restringida) terá dimensão de 12 x 12. A matriz de rigidez do modelo contém todos os seus graus de liberdade identificados no vetor de localização. Inserindo-se os termos de rigidez nas linhas e colunas correspondentes para a montagem de [K]G, chega-se a: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br 8400003150042000031500000000 0262500002625000000000 3150001575031500015750000000 42000031500168000315003150042000315000000 0262500031500278250031500157500000 3150001575031500027825000262500000 00042000315000168400315003150042000031500 0003150015750031500278250002625000 0000026250031500027825031500015750 0000004200003150084000031500 0000000262500002625000 0000003150001575031500015750 ]K[ G Passo 5: Obtenção do vetor das forças externas. {F} = {FNODAIS} + {FCNE}. Observar que na formulação do vetor das cargas externas o carregamento nodal equivalente é somado às cargas nodais com sentido inverso daqueles associados às reações de fixação. ?F ?F ?F 3,13 20 0 3,13 20 100 ?F ?F ?F 0 0 0 3,13 2 qL 20 2 qL 0 3,13 12 qL 20 2 qL 0 0 0 0 F F F 0 0 0 0 0 100 F F F }F{}F{}F{ 12 11 10 3 2 1 2 2 12 11 10 3 2 1 CNENODAIS {F} : vetor das cargas aplicadas (12 x 1); {FNODAIS} : vetor das cargas nodais aplicadas (12 x 1); {FCNE} : vetor das cargas nodais equivalentes (12 x 1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br Passo 6: Formulação da equação matricial que representa as equações de equilíbrio da estrutura. {F} = [K]G {u}G. Observar que as condições de contorno ainda não foram impostas sobre o sistema de equações. {F} : vetor das cargas aplicadas (12 x 1); [K]G : matriz de rigidez global da estrutura (12 x 12); {U} : vetor dos deslocamentos nodais (12 x 1). 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 121212111210129128127126125124123122121 111211111110119118117116115114113112111 101210111010109108107106105104103102101 912911910999897969594939291 812811810898887868584838281 712711710797877767574737271 612611610696867666564636261 512511510595857565554535251 412411410494847464544434241 312311310393837363534333231 212211210292827262524232221 112111110191817161514131211 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 U U U U U U U U U U U U KKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKK KKKKKKKKKKKK F F F F F F F F F F F F F1,F2,F3,F10,F11,F12 : reações de apoio da estrutura; F4,F5,F6,F7,F8,F9 : forças aplicadas nodais e carregamento nodal equivalente; U1,U2,U3,U10,U11,U12 : graus de liberdade restritos (deslocamentos são nulos); U4,U5,U6,U7,U8,U9 : deslocamentos a calcular (incógnitas do problema). Ao impor as condições de contorno sobre o sistema de equações de equilíbrio da estrutura, {F} = [K]G {u}G, chega-se a: 9 8 7 6 5 4 999897969594 898887868584 797877767574 696867666564 595857565554 494847464544 9 8 7 6 5 4 U U U U U U KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK F F F F F F Observação: programas computacionais - técnica dos zeros e um Parte da matriz [K] que relaciona as forças aplicadas e os deslocamentos a serem calculados (incógnitas). UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br Passo 7: Cálculo dos deslocamentos globais. {u}G = [K]G-1 {F}. Observe que as condições de contorno precisam ser impostas sobre o sistema de equações para o cálculo de {u}G. {u}G : vetor dos deslocamentos nodais (incógnitas do problema) (6 x 1); [K]G-1 : inversa da matriz de rigidez com as condições de contorno impostas (6 x 6); {F} : vetor das cargas aplicadas (6 x 1). 0 0 0 00061822,0 00023670,0 00457260,0 00087991,0 000084323,0 00477280,0 0 0 0 {F} [K]{u} 1-GG Passo 8: Cálculo dos esforços nas barras. {u}L = [T]e {u}G e {F} = [ke]L {u}L. Observar que as matrizes de rigidez são referentes ao sistema local de coordenadas. Elemento 1: = 900 Deslocamentos no sistema local de coordenadas: {u}L = [T]e1 {u}G 100000 001000 010000 000100 000001 000010 ]T[ 1e 0 0 0 00061822,0 00023670,0 00457260,0 00087991,0 000084323,0 00477280,0 0 0 0 {u}G 00087991,0 00477280,0 00008423,0 0 0 0 {U} [T]{u} Ge1L Precisão Numérica: importante para que os valores finais de deslocamentos e esforços sejam confiáveis. UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br Elemento 2: = 00 Deslocamentos no sistema local de coordenadas: {u}L = [T]e2 {u}G 100000 010000 001000 000100 000010 000001 ]T[ 2e 0 0 0 00061822,0 00023670,0 00457260,0 00087991,0 000084323,0 00477280,0 0 0 0 {u}G 00061822,0 00023670,0 00457260,0 00087991,0 000084323,0 00477280,0 {U} [T]{u} Ge2L Elemento 3: = 900 Deslocamentos no sistema local de coordenadas: {u}L = [T]e3 {u}G 100000 001000 010000 000100 000001 000010 ]T[ 3e 0 0 0 00061822,0 00023670,0 00457260,0 00087991,0 000084323,0 00477280,0 0 0 0 {u}G 00061822,0 00457260,0 00023670,0 0 0 0 {U} [T]{u} Ge3L UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br Elemento 1: = 900. Esforços no sistema local de coordenadas: {F}L = [ke]L {u}L 00087991,0 00477280,0 00008423,0 0 0 0 {U} [T]{u} Ge1L 8400031500042000315000 3150015750031500157500 0026250000262500 4200031500084000315000 3150015750031500157500 0026250000262500 ]k[ 1e 43,76 45,47 11,22 38,113 45,47 11,22 {u} [K] = {F} LeL Elemento 2: = 00.Esforços no sistema local de coordenadas: {F}L = [ke]L {u}L 00061822,0 00023670,0 00457260,0 00087991,0 000084323,0 00477280,0 {U} [T]{u} Ge2L 8400031500042000315000 3150015750031500157500 0026250000262500 4200031500084000315000 3150015750031500157500 0026250000262500 ]k[ 2e 77,78 13,42 55,52 76,89 13,42 55,52 {u} [K] = {F} LeL UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FENPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br Elemento 3: = 900. Esforços no sistema local de coordenadas: {F}L = [ke]L {u}L 00061822,0 00457260,0 00023670,0 0 0 0 {U} [T]{u} Ge3L 8400031500042000315000 3150015750031500157500 0026250000262500 4200031500084000315000 3150015750031500157500 0026250000262500 ]k[ 3e 10,92 55,52 13,62 07,118 55,52 13,62 {u} [K] = {F} LeL Passo 9: Consideração do Carregamento Nodal Equivalente (CNE) no elemento 2. Elemento 2: carga distribuída w (kN/m) - coordenadas 2,3 (Nó i) e 5,6 (Nó j) MA = -MB = 12 wL2 = 13,33 kNm RA = RB = 12 wL = 20 kN 10,92 13,62 55,52 43,76 13,22 55,52 33,1377,78 2013,42 55,52 33,1376,89 2013,42 55,52 }F{ L UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br Observação: Reações de Fixação para o Cálculo do Carregamento Nodal Equivalente UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br Passo 10: Cálculo das reações de apoio. {F}G = [Te]T {F}L. Elemento 1: = 900. Esforços no sistema global de coordenadas: {F}G = [Te]T {F}L 43,76 45,47 11,22 38,113 45,47 11,22 {u} [K] = {F} LeL 100000 001000 010000 000100 000001 000010 ]T[ 1e 43,76 11,22 45,47 38,113 11,22 45,47 {F} [T] = {F} L T e1G Elemento 2: = 00. Esforços no sistema global de coordenadas: {F}G = [Te]T {F}L 77,78 13,42 55,52 76,89 13,42 55,52 {u} [K] = {F} LeL 100000 010000 001000 000100 000010 000001 ]T[ 2e 77,78 13,42 55,52 76,89 13,42 55,52 {F} [T] = {F} L T e2G UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br Elemento 3: = 900. Esforços no sistema global de coordenadas: {F}G = [Te]T {F}L 10,92 55,52 13,62 07,118 55,52 13,62 {u} [K] = {F} LeL 100000 001000 010000 000100 000001 000010 ]T[ 3e 10,92 13,62 55,52 07,118 13,62 55,52 {F} [T] = {F} L T e3G Passo 11: Diagramas de esforços (DMF: Momentos Fletores). Unidades: kN e m. UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br EXEMPLO DE APLICAÇÃO II Considere-se o pórtico plano mostrado na Figura 2, com todas as suas características físicas, geométricas e carregamentos dados. Pede-se determinar os deslocamentos nodais, reações de apoio, esforços internos nas barras e os diagramas de esforços. Dados: E1A1 = E2A2 = E3A3 = 300000 kN e E1I1 = E2I2 = E3I3 = 32400 kNm2. Figura 2: Pórtico plano com cargas nodais. Equilíbrio dos Nós A e B: Primeira coluna da matriz de rigidez [K] UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br Primeira coluna da matriz de rigidez [K]: Sistema de equações de equilíbrio {F}(6x1) = [K](6x6) {u}(6x1): Deste modo, invertendo-se a matriz de rigidez [K] e calculando o vetor de deslocamentos {u}, chega-se a: {u}G = [K]G-1 {F} UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br Vetor de deslocamentos {u} (resposta estrutural): {u}G = [K]G-1 {F} Cálculo dos esforços na barra 1 (atenção para a numeração dos GL): {F}L = [ke]L {u}L Barra 1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br {F}L = [ke]L {u}L Cálculo dos esforços na barra 2 (atenção para a numeração dos GL): {F}L = [ke]L {u}L Barra 2 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br {F}L = [ke]L {u}L Cálculo dos esforços na barra 3 (atenção para a numeração dos GL): {F}L = [ke]L {u}L Barra 3 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br {F}L = [ke]L {u}L Diagramas de esforços solicitantes: momento fletor, esforço cortante e esforço normal. Unidades: kN e m.
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