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Análise Estrutural I_Método da Rigidez

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ 
FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV 
 
Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, 
CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br 
MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA 
 
Formalizando os conceitos já explicados ao longo do curso, o método da rigidez direta 
consiste no emprego da definição física do conceito de rigidez (kij): força que surge devido 
à imposição de um deslocamento unitário segundo um determinado grau de liberdade 
(GL), enquanto todos os outros deslocamentos, referentes aos demais graus de liberdade 
são nulos. Ou seja, os coeficientes das matrizes de rigidez tanto no sistema local (L) de 
coordenadas quanto no sistema global de coordenadas (G) são formulados a partir deste 
princípio físico. 
 
Quando um sistema estrutural possui os seus graus de liberdade identificados por um 
conjunto de coordenadas globais e está discretizado em elementos que possuem 
representações destes graus de liberdade no sistema local de coordenadas, torna-se 
evidente a correspondência existente entre os deslocamentos da estrutura completa 
(estrutura montada), decorrentes do equilíbrio global, e os deslocamentos impostos em 
cada um dos elementos no referencial local. 
 
O sistema estrutural passa então a se comportar como uma associação de molas em 
paralelo, onde cada mola consiste em um elemento da estrutura. Como consequência, a 
força necessária à realização de um determinado deslocamento segundo uma 
coordenada global será igual ao somatório das forças necessárias para se impor o 
mesmo deslocamento segundo cada um dos elementos que incidem sobre aquele grau 
de liberdade. 
 
Matricialmente falando, isto pode ser entendido como o coeficiente kij da matriz de rigidez 
no sistema global ([KG]) segundo os graus de liberdade “i” e “j”, sendo igual ao somatório 
dos coeficientes das matrizes de rigidez elementares de cada um dos elementos conexos 
aos graus de liberdade “i” e “j”, respeitadas todas as convenções de direção e sentido. 
Deste modo, pode-se escrever: 
 



nelm
1n
ij
L
e
G
ij ]k[]K[ 
 
Onde: 
 
[K]G : matriz de rigidez da estrutura no sistema global; 
[ke]L : matriz do enésimo elemento no sistema local; 
nelm : número de elementos que contêm os graus de liberdade “i” e “j”. 
 
Desta forma, a metodologia de montagem da matriz de rigidez global da estrutura ([K]G), 
com base no “somatório das contribuições locais” consiste no processo da rigidez direta 
(assembly process). Contudo, considerando-se uma formulação mais geral onde as 
coordenadas globais e locais não apresentam direções e sentido iguais, situação 
absolutamente corriqueira em sistemas estruturais aporticados, deve-se realizar uma 
transformação de coordenadas, com base no emprego da matriz de transformação ([T]). 
 
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
















100000
0cossen000
0sencos000
000100
0000cossen
0000sencos
]T[ e
 
 
Finalmente, ressalta-se que o “somatório das contribuições locais” dos elementos 
associados as matrizes de rigidez elementares na matriz de rigidez global envolve uma 
transformação de coordenadas prévia para o sistema de coordenadas global. Deste 
modo: 
 



n
1elemento
e
e
L
T
e
G ]T[]k[]T[]K[
 
 
Onde: 
 
[K]G : matriz de rigidez da estrutura no sistema global; 
[ke]L : matriz do enésimo elemento no sistema local; 
[T] : matriz de transformação entre os sistema local e global de coordenadas; 
n : número de elementos. 
 
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CARREGAMENTO NODAL EQUIVALENTE (CNE) OU (FNE) 
 
Na análise estrutural realizada por meio do método dos deslocamentos as equações de 
equilíbrio são definidas nas direções das coordenadas do modelo, ou seja, são equações 
de equilíbrio dos nós da estrutura. 
 
Entretanto, de forma geral, os carregamentos reais, existentes na prática corrente de 
projeto, não atuam diretamente sobre os nós dos modelos estruturais. Na realidade, estas 
cargas são divididas em dois tipos distintos: cargas nodais e cargas que atuam sobre os 
elementos estruturais (barras). 
 
Para proceder-se a análise estrutural para as cargas atuantes sobre as barras, estas 
serão substituídas por carregamentos nodais equivalentes (CNE) ou forças nodais 
equivalentes (FNE). Quando estas forças são adicionadas às cargas nodais resultam em 
cargas nodais combinadas. A estrutura é analisada para estas últimas cargas. 
 
O objetivo é garantir que a resposta da estrutura (deslocamentos e esforços) analisada 
pelas cargas combinadas seja igual, evidentemente, ao da análise estrutural para o 
carregamento real atuante sobre o sistema. Este procedimento irá conduzir a escolha das 
cargas nodais equivalentes adequadas. 
 
Com base no princípio da superposição dos efeitos (análise linear elástica), sabe-se que 
as cargas nodais equivalentes são nada mais do que as forças de engastamento perfeito 
de cada barra do modelo estrutural com o sentido inverso (sinais invertidos), conforme 
representado genericamente na figura a seguir. 
 
Elemento (barra) da 
estrutura original 
submetido à carga 
distribuída 
 
 = 
CASO I: cargas 
combinadas 
(carregamento nodal 
equivalente) 
 + 
CASO II: cargas 
atuando ao longo das 
barras e forças de 
engastamento perfeito 
 
 
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CASO I: Estrutura encontra-se submetida às forças (e momentos) nodais combinadas. 
Estes atuam sobre os nós da estrutura. Para este carregamento a estrutura será 
efetivamente analisada. 
 
CASO II: Estrutura encontra-se submetida às cargas atuando ao longo das barras e as 
correspondentes forças (reações) de engastamento perfeito atuando nas extremidades 
das barras. 
 
RESUMO: A análise será feita para a estrutura submetida às cargas nodais combinadas, 
ou seja, pelas cargas aplicadas diretamente sobre os nós (cargas externas aplicadas) 
somadas as cargas nodais equivalentes (forças de engastamento perfeito nas barras, 
com o sentido inverso e atuando diretamente sobre os nós). Assim sendo, os 
deslocamentos nodais serão obtidos pela análise das cargas nodais combinadas (CASO 
I). Os esforços nas extremidades dos elementos serão aqueles obtidos da análise das 
cargas combinadas (CASO I) somados as forças de engastamento perfeito. 
 
 
 
Assim sendo: 
 
}u{]k[}F{}F{ L )1mx(
L
)mxm()1mx(0)mxm(  
 
}F{}F{}F{ L )1mx()1mx(0)mxm(  
 
Onde: 
 
{F} : vetor dos esforços no sistema local; 
{u}L : vetor dos deslocamentos no sistema local; 
L
e]k[ : matriz de rigidez do elemento no sistema local; 
{F0} : vetor das reações de fixação no sistema local (ver tabela ilustrativa a seguir); 
}F{ : vetor dos esforços locais que surgem pela aplicação do CNE; 
m : número de coordenadas do sistema local. 
 
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