Análise Estrutural I_Método da Rigidez
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Análise Estrutural I_Método da Rigidez


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PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV 
 
Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, 
CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br 
Elemento 3: \uf061 = 900. Esforços no sistema local de coordenadas: {F}L = [ke]L {u}L 
 
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fe
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fd
\uf0fc
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf02d
\uf02d
\uf02d\uf03d\uf03d
00061822,0
00457260,0
00023670,0
0
0
0
 {U} [T]{u} Ge3L 
\uf0fa\uf0fa
\uf0fa\uf0fa
\uf0fa\uf0fa
\uf0fa\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0ea
\uf0ea\uf0ea
\uf0ea\uf0ea
\uf0ea\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d
\uf02d\uf02d\uf02d
\uf02d
\uf02d
\uf02d
\uf02d
\uf03d
8400031500042000315000
3150015750031500157500
0026250000262500
4200031500084000315000
3150015750031500157500
0026250000262500
]k[ 3e 
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fe
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fd
\uf0fc
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf02d
\uf02d\uf03d
10,92
55,52
13,62
07,118
55,52
13,62
 {u} [K] = {F} LeL
 
 
Passo 9: Consideração do Carregamento Nodal Equivalente (CNE) no elemento 2. 
 
Elemento 2: carga distribuída w (kN/m) - coordenadas 2,3 (Nó i) e 5,6 (Nó j) 
 
 
MA = -MB = 
12
wL2 = 13,33 kNm 
RA = RB = 
12
wL = 20 kN 
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fe
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fd
\uf0fc
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf02d
\uf02d
\uf02d
\uf02d
\uf03d
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fe
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fd
\uf0fc
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf02d\uf02d
\uf02b
\uf02d
\uf02b\uf02d
\uf02b\uf02d
\uf03d
10,92
13,62
55,52
43,76
13,22
55,52
33,1377,78
2013,42
55,52
33,1376,89
2013,42
55,52
 }F{ L 
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ 
FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL, PGECIV 
 
Rua São Francisco Xavier, N0 524, Faculdade de Engenharia, Sala 5016, Bloco A, 50 Andar, 
CEP: 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, E-mail: pgeciv@eng.uerj.br 
Observação: Reações de Fixação para o Cálculo do Carregamento Nodal Equivalente 
 
 
 
 
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Passo 10: Cálculo das reações de apoio. {F}G = [Te]T {F}L. 
 
Elemento 1: \uf061 = 900. Esforços no sistema global de coordenadas: {F}G = [Te]T {F}L 
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fe
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fd
\uf0fc
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf02d
\uf02d
\uf03d
43,76
45,47
11,22
38,113
45,47
11,22
 {u} [K] = {F} LeL
 
\uf0fa\uf0fa
\uf0fa\uf0fa
\uf0fa\uf0fa
\uf0fa\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0ea
\uf0ea\uf0ea
\uf0ea\uf0ea
\uf0ea\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d
\uf02d
\uf03d
100000
001000
010000
000100
000001
000010
]T[ 1e 
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fe
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fd
\uf0fc
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf02d
\uf02d
\uf03d
43,76
11,22
45,47
38,113
11,22
45,47
 {F} [T] = {F} L
T
e1G
 
 
Elemento 2: \uf061 = 00. Esforços no sistema global de coordenadas: {F}G = [Te]T {F}L 
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fe
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fd
\uf0fc
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf02d
\uf02d
\uf02d
\uf02d
\uf03d
77,78
13,42
55,52
76,89
13,42
55,52
 {u} [K] = {F} LeL
 
\uf0fa\uf0fa
\uf0fa\uf0fa
\uf0fa\uf0fa
\uf0fa\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0ea
\uf0ea\uf0ea
\uf0ea\uf0ea
\uf0ea\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
100000
010000
001000
000100
000010
000001
]T[ 2e 
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fe
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fd
\uf0fc
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf02d
\uf02d
\uf02d
\uf02d
\uf03d
77,78
13,42
55,52
76,89
13,42
55,52
 {F} [T] = {F} L
T
e2G
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, UERJ 
FACULDADE DE ENGENHARIA, FEN 
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Elemento 3: \uf061 = 900. Esforços no sistema global de coordenadas: {F}G = [Te]T {F}L 
 
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fe
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fd
\uf0fc
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf02d
\uf02d\uf03d
10,92
55,52
13,62
07,118
55,52
13,62
 {u} [K] = {F} LeL
 
\uf0fa\uf0fa
\uf0fa\uf0fa
\uf0fa\uf0fa
\uf0fa\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0ea
\uf0ea\uf0ea
\uf0ea\uf0ea
\uf0ea\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d
\uf02d
\uf03d
100000
001000
010000
000100
000001
000010
]T[ 3e 
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fe
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0fd
\uf0fc
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef\uf0ef
\uf0ef\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf02d
\uf02d
\uf03d
10,92
13,62
55,52
07,118
13,62
55,52
 {F} [T] = {F} L
T
e3G
 
 
Passo 11: Diagramas de esforços (DMF: Momentos Fletores). Unidades: kN e m. 
 
 
 
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EXEMPLO DE APLICAÇÃO II 
 
Considere-se o pórtico plano mostrado na Figura 2, com todas as suas características 
físicas, geométricas e carregamentos dados. Pede-se determinar os deslocamentos 
nodais, reações de apoio, esforços internos nas barras e os diagramas de esforços. 
Dados: E1A1 = E2A2 = E3A3 = 300000 kN e E1I1 = E2I2 = E3I3 = 32400 kNm2. 
 
 
Figura 2: Pórtico plano com cargas nodais. 
 
 
 
Equilíbrio dos Nós A e B: 
 
 
Primeira coluna da 
matriz de rigidez [K] 
 
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Primeira coluna da matriz de rigidez [K]: 
 
 
Sistema de equações de equilíbrio {F}(6x1) = [K](6x6) {u}(6x1): 
 
 
 
Deste modo, invertendo-se a matriz de rigidez [K] e calculando o vetor de deslocamentos 
{u}, chega-se a: {u}G = [K]G-1 {F} 
 
 
 
 
 
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Vetor de deslocamentos {u} (resposta estrutural): {u}G = [K]G-1 {F} 
 
 
 
Cálculo dos esforços na barra 1 (atenção para a numeração dos GL): {F}L = [ke]L {u}L 
 
 
 
 
Barra 1 
 
 
 
 
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{F}L = [ke]L {u}L 
 
 
Cálculo dos esforços na barra 2 (atenção para a numeração dos GL): {F}L = [ke]L {u}L 
 
 
Barra 2 
 
 
 
 
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{F}L = [ke]L {u}L 
 
 
Cálculo dos esforços na barra 3 (atenção para a numeração dos GL): {F}L = [ke]L {u}L 
 
 
Barra 3 
 
 
 
 
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{F}L = [ke]L {u}L 
 
 
Diagramas de esforços solicitantes: momento fletor, esforço cortante e esforço normal. 
Unidades: kN e m.