lista 06 calc 02A 2013
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Lista 6 Ca´lculo II - A 2010-2 12
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
LISTA 6 - 2010-2
Volume: me´todo dos discos
Volume: me´todo das cascas
Comprimento de arco
Em cada um dos exerc´\u131cios 1 a 6 considere a regia\u2dco R limitada pelas curvas de equac¸o\u2dces dadas.
Aplicando o me´todo dos discos circulares, calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a\u2dco da regia\u2dco
R em torno do eixo E dado.
1. R : y = x3, y = 0, x = 2;
E : eixo x
2. R : y = lnx, y = 0, x = e2;
E : eixo y
3. R : y = x2, x+ y = 2;
E : eixo x
4. R : y = x2 \u2212 2x, y = 4\u2212 x2;
E : reta y = 4
5. R : y = cosx, y = senx, 0 \u2264 x \u2264 pi
2
;
E : reta y = \u22121
6. R : x
2
3 + y
2
3 = 1;
E : eixo x
Em cada um dos exerc´\u131cios 7 a 10 considere a regia\u2dco R limitada pelas curvas de equac¸o\u2dces dadas.
Aplicando o me´todo das cascas cil´\u131ndricas, calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a\u2dco da
regia\u2dco R em torno do eixo E dado.
7. R : y =
1
4\u2212 x2 , x = 0, x = 1, y = 0;
E : eixo y
8. R : y = x2, x = y2;
E : reta x = \u22122
9. R : x = y2, x = 0, y = 1;
E : reta y = 2
10. R : y = lnx, y = 0, x = e2;
E : eixo x
Em cada um dos exerc´\u131cios 11 a 14 considere a regia\u2dco R limitada pelas curvas de equac¸o\u2dces dadas.
Calcule, por dois me´todos distintos, o volume do so´lido obtido pela rotac¸a\u2dco da regia\u2dco R em torno
do eixo E dado.
11. R : y = x3, y = 0, x = 2;
E : eixo y
12. R : y =
x
2
, y =
\u221a
x;
E : eixo x
13. R : xy = 4, x+ y = 5;
E : y = 1
14. R : y = lnx, y =
x\u2212 1
e\u2212 1 ;
E : eixo x
15. Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a\u2dco da regia\u2dco R em torno do eixo x, pelo me´todo
que achar conveniente.
R :
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
y =
x
4
+ 1, se \u22124 \u2264 x < 0
y =
\u221a
1\u2212 x2, se 0 \u2264 x \u2264 1
y = 0, se \u22124 \u2264 x \u2264 1
16. Calcule o comprimento de arco do gra´fico de y = x2, desde o ponto (0, 0) ate´ (1, 1).
17. Calcule o comprimento de arco do gra´fico da func¸a\u2dco g(y) =
y3
3
+
1
4y
, de (1, g(1)) ate´ (2, g(2)).
Lista 6 Ca´lculo II - A 2010-2 13
18. Quando giramos o gra´fico de uma func¸a\u2dco de classe C1, y = f(x) \u2265 0 , a \u2264 x \u2264 b, em torno do
eixo 0x, obtemos uma superf´\u131cie de revoluc¸a\u2dco, cuja a´rea e´ definida pela integral
S =
\u222b b
a 2pif(x)
\u221a
1 + (f \u2032(x))2 dx.
( para maiores detalhes, veja o livro do Stewart vol. 1, sec¸a\u2dco 8.2)
Calcule a a´rea da superf´\u131cie de revoluc¸a\u2dco obtida pela rotac¸a\u2dco em torno de 0x do gra´fico de cada
func¸a\u2dco indicada. Fac¸a um esboc¸o da superf´\u131cie.
a)f(x) =
\u221a
x, 0 \u2264 x \u2264 1 b)f(x) = ex, 0 \u2264 x \u2264 1 c)f(x) = \u221a1\u2212 4x2,\u22121/2 \u2264 x \u2264 1/2
RESPOSTAS DA LISTA 6
1.
\u222b 2
0
pi
(
x3
)2
dx =
128pi
7
2.
\u222b 2
0
pi
((
e2
)2 \u2212 (ey)2) dy = pi (3e4 + 1)
2
3.
\u222b 1
\u22122
pi
(
(\u2212x+ 2)2 \u2212 (x2)2) dx = 72pi
5
4.
\u222b 2
\u22121
pi
((
x2 \u2212 2x\u2212 4)2 \u2212 (4\u2212 x2 \u2212 4)2) dx = 45pi
5. 2
\u222b pi
4
0
pi
(
(1 + cosx)2 \u2212 (1 + senx)2
)
dx =
(
4
\u221a
2\u2212 3
)
pi
6. 2
\u222b 1
0
pi
((
1\u2212 x 23
) 3
2
)2
dx =
32pi
105
7.
\u222b 1
0
2pix
1
4\u2212 x2 dx = pi(ln 4\u2212 ln 3)
8.
\u222b 1
0
2pi(x+ 2)
(\u221a
x\u2212 x2) dx = 49pi
30
9.
\u222b 1
0
2pi(2\u2212 y)y2 dy = 5pi
6
10.
\u222b 2
0
2piy
(
e2 \u2212 ey) dy = 2pi (e2 \u2212 1)
11.
\u222b 8
0
pi
(
22 \u2212 ( 3\u221ay)2
)
dy =
\u222b 2
0
2pix x3 dx =
64pi
5
12.
\u222b 4
0
pi
((\u221a
x
)2 \u2212 (x
2
)2)
dx =
\u222b 2
0
2piy
(
2y \u2212 y2) dy = 8pi
3
13.
\u222b 4
1
pi
(
(5\u2212 x\u2212 1)2 \u2212
(
4
x
\u2212 1
)2)
dx =
\u222b 4
1
2pi(y \u2212 1)
(
5\u2212 y \u2212 4
y
)
dy = 2pi(8 ln 2\u2212 3)
14.
\u222b e
1
pi
(
(lnx)2 \u2212
(
x\u2212 1
e\u2212 1
)2)
dx =
\u222b 1
0
2piy (1 + (e\u2212 1)y \u2212 ey) dy = pi(2e\u2212 5)
3
Lista 6 Ca´lculo II - A 2010-2 14
15.
\u222b 0
\u22124
pi
(x
4
+ 1
)2
dx+
\u222b 1
0
pi
(\u221a
1\u2212 x2
)2
dx =
\u222b 1
0
2piy
(
4\u2212 4y +
\u221a
1\u2212 y2
)
dy = 2pi
16.
\u222b 1
0
\u221a
1 + 4x2 dx =
2
\u221a
5 + ln
(
2 +
\u221a
5
)
4
17.
\u222b 2
1
\u221a
1 +
(
y2 \u2212 1
4y2
)2
dy =
59
24
18. a)S =
pi
6
(5
\u221a
5\u2212 1) ; b)S = pi[e\u221a1 + e2 + ln(e+\u221a1 + e2)\u2212\u221a2\u2212 ln(\u221a2 + 1)];
c)S = 4
\u221a
3pi[2
\u221a
3 + ln(2 +
\u221a
3)]