Livro Noções de Probabilidade e Estatística - Magalhães parte 1
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de ,F' e B menos
lirlnrlc rlu intersccção f' O B.
A plohnbilidaclc da
tltt ltnilnhilitlutlcs
àlf ÍrçÍio lìrrrnul, pois
união de eventos é calculada
apresentada niì Figura 2.1.
ncreditamos que o resultado
tr
através da regru dct
Não faremos unlu
é bastante sirnples c
itivo,
ltignra 2.1: Ilegru de adição dc probahiliclaclcs.
40 Capítulo 2 : Probabilidades
Observe qu\u20aco, se A e B forem disjuntos, a expressão acima se reduz à
sorna das probabilicdades dos eventos A e B, pois a intersecção é vazia e a
correspondente probabilidade é nula. A regra de adição de probabilidades pode
ainda ser expandidan para mais de dois eventos. Jente, por exemplo' escrever a
expressão para P('$UBUC) considerando D: Bl)C e aplicando a regra de
adiçãro de probabilid,lades duas vezes.
Comq cons\u20aceqüência da regra da adição, obtemos que, para qualquer
evcnto A c {1,
P(A):I-P(A'),
que pode ser verifiúcada aplicando a regra da adição com Ac no lugar de B.
Tctnos,
tr(Art A') : P(A) + P(A") 
- 
P(AÀ A")
: p(A) + P(A') 
- 
P(A)
: p(A) + P(Á") 
- 
0.
Como P(Au A) : P(Cl) : 1, segue imediatamente a igualdade desejada'
Ilxercícios da Seçãco 2.L:
1. Para cada um dors casos abaixo, escreva o espaço amostral correspondente e
conte seus elementos'
a. Uma moeda é Íançada duas veze,s, e observam-se as faces obtidas'
b. Um dado é lrançado duas vezes e a ocorrência de face par ou ímpar é
observada.
c. Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimensões
rigorosamento iguais. Três bolas são selecionadas ao acaso com reposição e
as cores são arnotadas.
çL Dois dados sãio lançados simultaneamente e estamos interessados na soma
'- 
clas faces observadas.
g( Em uma cid;ade, famílias com 3 crianças são selecionadas ao acaso,
' 
anotando-se o sexo de cada uma.
. 
f.'Urna máquina produz 20 peças por hora, escolhe-se um instante qualquer e
observa-se o número de defeituosas na próxima hora.
g. Uma moeda é lançada consecutivamênte até o aparecimento da primeira
' cafiÌ.
2.2 P robab ilidade Condic ional e Indep endêncía
2. Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral, "tÍadrtza" pafa A
linguagem da Teoria dos Conjuntos, as seguintes situações:'
a. Pelo menos um dos eventos ocorre.
b. O evento Á ocorre mas B não.
c. Nenhum deles ocorre.
cl. Exatamente um dos eventos ocorre.
3. Uma universidade tem l0 mil alunos dos quais 4 mil são considerados
csportistas. Temos, ainda, que 500 alunos são do curso de biologia diurno, 700
cla biologia noturno, 100 são esportistas e da biologia diurno e 200 são
csportistas e da biologia noturno. Um aluno é escolhido, ao acaso, e pergunta-
sc a probabilidade de:
a. Ser esportista.
b. Ser esportista e aluno da biologia noturno.,-:l
c. Não ser da biologia.
d. Ser esportista ou aluno da biologia.
c. Não ser esportista, nem aluno da biologia. À ,---(,,,-/
4. Sejam A e B dois eventos em um dado espaço amostral, tais que P(A) :9,2,
P(B) : p, P(AU B) : 0,5 e P(A n B) : 0,1. Determine o valor de p.
5. l)ois processadores tipos A e B são colocados em teste por 50 mil horas. A
probabilidade de que um erro de cálculo aconteça em um processador do tipo
A é de 1/30, no tipo B, 1/80 e, em ambos, 1/1000. Qual a probabilidade de que:
ri. Pelo menos um dos processadores tenha apre.sentado 
"rrorc---.-u---b. Nenhum processador tenha apresentado erro? \
c. Apenas o processador A tenha apresentado erro?
2.2 P r obabilidade Condicional e Independência
Em muitas situações práticas, o fenômeno .aleatório com o qual
Irrrbalhamos pode ser separado em etapas. A informação do que ocorreu em uma
rletr-:rrninada etapa pode influenciar nas probabilidades de ocorrências das etapas
srrccssivas.
Nestes casos, dizemos que ganhamos informação e podemos "recalcular"
rrs probabilidades de interesse. EsSas probabilidades "recalculadas" recebem o
Irrrrrrc cle probabilidade condicional; cuja definição apresentamos a seguir.
4T
42 Capítulo 2 : Probabilidades
Definíção 2.2 : Probabilidade c ondicional
Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de Á dado que
ocorreu .B é representada por P(A I B) e dada por
P(Al B\ : P(!,1,8). PíB) > 0.\ 
'| ' P(B) \ /'
Caso P(B) : g, P(Al B) pode ser definido arbitrariamente; neste texto
usaremos P(Al B): P(A). tr
Exemplo2.3.' Considere a seguinte situação hipotética. Uma grande região de 100
km2 contém um aqüífero (reservatório de água) subterrâneo com ârea igual a 2
km2, cuja localização é_ desconhecida (ver figura a seguir). A fim de determinar a
posição do aqüífero, perfurações são feitas ao acaso. Vamos representar por If o
evento de encontrar água. Temos P(H): 0,02, obtido pelo quociente da área do
aqüífero pela área total, onde usamos que o espaço amostral é f) : {região de 100k*tÌ.
Ç2 = Região (100 km2)
Suponha agora que, após uma ano de pesquisas, uma área de cerca de 20
km2 jâ foi amplamente perfurada sem encontrar água e pode ser descartada para
novos furos. Representamos essa informação por 1. Qual seria, agora, a,
probabilidade de um furo, feito ao acaso, atingir o aqüífero? Vamos representar
por P(H I 1) u probabilidade desejada. Com a mesma argumentação utilizada
acima, a nova região de procura terâírea B0 km2 e portanto P(H I I):0,025,
Isto é, como esperávamos, a probabilidade de obter água aumentou devido iì
informação recebida. Vamos refazer esse cálculo utilizando agora a fórmula de
probabilidade condicional. Para tal, seja B a nova região de procurir
correspondendo a área total inicial menos a parte que foi descartada para novas
tentirtivits. Temos que P(B) : 0,8. O evento H a B representa a ocorrôncin dc,
scrn ncnhuma informação etuxiliar, çncontrarmos água num Í'uro f'eito na regiiro .R.
?. J l' t r il x t I t i I i datle Condicional e Independência
O = Região (100 km2)
C)'= Nova Região (80 km2)
@ e:ptrç,, rrtttostral perdeu 20 kmz , que é a área descartada para novos furos, tr
l)rr tlcÍ'iniçiro de probabilidade condicional, deduzimos a regra do produto
fr Stnilultililrulcs, uma relação bastante útil que é apresentadanaFigura2'2,
43
P\u20acles srrposições iniciais, 1/ í) B : H e entáo, P(H n B) : P(H): 0,02.
Ettln,t,
P(Htrl:r#ã?: ffi:0,025
â ftgur rr, n scguir, apresenta o efeito da informação l no espaço amostral'
Itigura 2.2: Regra do produto de probabilidades.
I lrrr corrceito nruito inrportante em probabilidade é o da irulependênciu cle
etêrrl.t,\', rllrL1 rict'ii utiliznclo rcpeticlitntcntc ao lottgo de toclo o texto'
44 Capítulo 2 : Probabilidades
Deftnição 2.3: Independência de eventos
Dois eventos A e B sáo independentes, se a informação da ocorrência ou
não de B não altera a probabilidade da ocorrência de ,4. Isto é,
P(Al B): P(A), P(B) > o,
ou ainda a seguinte forma equivalente:
P(A . B) : P(A) P(B).
Não é difícil verificar que se A é, independente de B, então B é
independente de A. O uso da expressão acima permite, ainda, verificar que o
evento vazio é independente de qualquer evento. As demonstrações são deixadas
a cargo do leitor.
E muito comum, à primeira vista, confundir eventos independentes e
eyentos disjuntos. O próximo exemplo ajuda a esclarecer essa questão.
Exemplo 2.4: lJnaempresa produz peças em duas máquinas 1e f f , quepodem
apresentar desajustes com probabilidade 0,05 e 0,10; respectivamente. No início
do dia de operação um teste é realizado e, caso a máquina esteja fora de ajuste, ela
ficará sem operar nesse dia passando por revisão técnica. Para cumprir o nível
mínimo de produção pelo menos uma.das máquinas deve operar. Você diria que a
empresa corre o risco de não cumprir com suas metas de produção?
Seja O; o evento da máquina i estar operando, ,i : 7,2. Pelas informações
disponíveis temos P(Ot): 0,95 e P(O2): 0,90.
Na Figura 2.3, apresentamos um diagrama conhecido como árvore de
probabilidades, qu'e consiste em representar os eventos e as probabilidades
condicionais associadas