Livro Noções de Probabilidade e Estatística - Magalhães parte 1
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3.5: Modelo Geométrico (n:0,01).
Clorno podemos verificar através da figura, a probabilidade vai ficando muito
llc(luena para valores grandes de k. Em tese, a produção nunca seria interrompida
se rriro houvesse o aparecimento de uma peça defeituosa. tr
Detïnição 3.7: Modelo Poisson
Uma variável aleatória X tem distribuigão de Poisson com parâmetro
À > 0, se sua função de probabilidade é dada por
P(X 
=/c) : e-]'Àk , k : 0,1,2, ... ,\/kl
corìì o parâmetro À sendo usualmente referido como a taxa de ocorrência, A
trnotução utilizadaserâ X- Po(\).
O modelo Poisson tem sido muito utilizado em experimentos físicos e
lriológicos e, nesses casos, À é a freqüência média ou esperada de ocorrêncins
trtrrn determinado intervalo de tempo, Vamos verificar que a expressão
rrprcsentada realmente representa uma função de probabilidade. Não é difícil
rrlrscrvar que, para qualquer k, ela é um número positivo. Resta mostrar que tls
prrrllabilidades somam 1. Temos,
79
80 Capítulo 3: Variáveis Aleatórias Discretas
Ëtt" : 4=Ë# : "-^Ë# : e-\eÀ : r'l':0 k:U Á:ll
No cálculo acima, usamos que a série \R' 1kt , somada para valores de k entre 0 e
oo, produz eÀ. Esse resultado é bastante conhecido e segue do desenvolvimento
em série de Taylor do termo el. O leitor interessado poderá consultar, para outros
detalhes, textos básicos de Cálculo Diferencial e Integral.
Exemplo 3.12: A emissão de partículas radioativas tem sido modelada através de
uma distribuição de Poisson, com o valor do parâmetro dependendo da fonte
utilizada. Suponha que o número de partículas alfa, emitidas por minuto, seja uma
variável aleatória seguindo o modelo Poisson com parâmetro 5, isto é, a taxa
média de ocorrência é de 5 emissões a cada minuto. Calculemos a probabilidade
de haver mais de 2 emissões em um minuto.
Seja Á o ntimero de partículas alfa emitidas por minuto. Pelas suposições
feitas, temos A 
- 
Po(5) e a probabilidade desejada será
6 , $e-s,nP(A> 2) :t P(A:a) :1-t P(A:0) :1- 4 o,l
Após os cálculos n":"lrrur,or, obtemos ir'o 12) : 0,875. **r"r"t,"*os na
Figura 3.6, alguns valores da função discreta de probabilidade da Po(5).
P(N=n)
0,1 8
0,16
0,14
o,12
0,1 0
0;08
0,0 6
0,04
0,02
4 6 I 10 12 14 16 18
Figura 3.6: Modelo Poisson (),: 5).
20
=1,.1 Otrtros Modelos Discretos
Se o intervalo de tempo é alterado, a variável aleatória mantém a mesma
dlrtritruição de Poisson, mas com o valor do parâmetro ajustado de forma
Ggrrvcniente. Assim, se o período de tempo considerado for de dois minutos,
tglepros que o número de partículas emitidas em dois minutos terá distribuição
Po( l 0),
Eyemplo 3./3; Engenheiros da companhia telefônica estudam se o modelo de
Poisson pode ser ajustado ao número N de chamadas interestaduais que chegam,
FÕr [ora, a uma central telefônica, durante o período notumo. Os dados coletadOS,
Efl:r'cntes a 650 períodos de uma hora, estão apresentados a seguir:
Chamadas 0 1 2 t 4 5 6 7 >8
Freq. Observada I 38 7t 115 r25 106 79 50 57
Da tabela temos que, por exemplo, em 125 períodos de uma hora
\u20ac\u20acorrcram 4 chamadas.
Os engenheiros sugerem rttilizar uma taxa de ocorrência de 4-5-chamadas
pet lrora no período estudado. Seguindo o modelo indicado, a freqüência esperada
{g ocorrências com k chamadas é obtida multiplicando 650 (o total das
ãbnr-t'vações) pela probabilidade de k chamadas. Assim, para k : 2, temos
81
tr
Freq. esperadapara 2 chamadas : 650 x
:650x
:73,13.
P(N :2)
"-4's 
4152
2l
Ee rrurclo análogo obtemos os demais valores.
utrlas 0 I 2 3 4 5 6 7 >8
rvadn a 38 71 115 125 106 79 50 57
iì 7,22 32,50 73,13 109,66 123,37 111,02 83,27 53,56 56,36
Flr'!
LOhsc
fllsl'1
A tabela acima parece indicar que o modelo Poisson, com À : 4,5
ftl'rrr..c,c unr bom ajuste para a variável aleatóiia de interesse. O leitor pode
e'otrslnrir um gráfico de freqüência'para visualizar melhor essa aderência. A
cxh.nsiro clessas conclusões aos diferentes períodos de tempo e/ou outros tipos de
G:hirrrrncla deve ser feita com cuidado, porém o ajuste já obtido é uma "boa pista"
Flt'n il cscolha do modelo. Como mencionamos anteriormente, a conclusão obtida
82 Capítulo 3: Variáveis ,Aleatórias Discretas
aqui poderia ser feita de modo mais objetivo através de Testes Estatísticos de
Aderência. tr
Encerramos esta seção, definindo o modelo Hipergeométrico. Este
moclelo surge da contagem de objetos de certo tipo, retirados ao acaso e sem
reposição, de um conjunto contendo dois tipos de objetos. Por exemplo, num
grupo de jovens com 5 meninas e 5 meninos, sorteamos 3 deles ao acaso, para
íazer uma comissão. O sorteio será feito sem reposiçáo, para evitar a escolha de
utrìiì mesma pessoa, o que inviabilizaria a formação da comissão. Na primeira
escolha cada um dos 10 jovens tem 1/10 de probabilidade de ser sorteado. Na
segunda, cada um dos 9 restantes, será sorteado com probabilidade I/9 e, na
terceira, 1/8. A variável aleatória número de meninas na comissão segue o modelo
Hipergeométrico, conforme definido abaixo.
Definição 3.8 : Modelo Hipergeométríco
Considere um conjunto de n objetos dos quais msáo do tipo I e n 
- 
m
são do tipo II. Para um sorteio de r objetos (r < n), feito ao acaso e sem
reposição, defina X como o número de objetos de tipo I selecionados. Diremos
que a variável aleatória X segue o modelo Hipergeométrico e sua função de
probabilidade é dada pela expressão
,^., _ 
(T) (&quot;,--T ) ,- _ ., , ^;^t_P(X:*)- /n,\ ,k:A,I,...,min(r,rn). tr(&quot;/
Note que os valores possíveis de X vão de 0 a min(r,rn), uma vez que
não podemos ter mais do que o número de objetos existentes do tipo I, nem
tillnpouco mais que o total de sorteados. Utilizando resultados de análise
combirratória, pode-se verificar que a expressão de P(X : k) é um número não
negativo entre 0 e 1 e a soma, para todos os valores de k, éigual a l. Assim estão
cumpridos os requisitos necessários para ser uma função de probabilidade.
Exentplo 3.14: Uma fátbrica produz peças que são embaladas em caixas com 25
unidades. Para aceitar o lote enviado por essa fábrica, o controle de qualidade de
uma empresa procede da seguinte forma. Sorteia uma caixa do lote e, em seguida,
sorteia cinco peças, sem reposição, dessa mesma caixa. Se constatar no máximo
dr&quot;ras defeituosas, aceita o lote fornecido pela fábrica. Se a caixa sorteada tivesse 4
pcças defeituosas, qual seria a probabilidade de rejeitar o lote?
,ì..ì Outros Modelos Discretos
A caixa pode ter peças boas ou defeituosas e vamos sortear algumas
pcças, sem reposição. Baseado no número de peças defeituosas encontradas
rlccidimos por aceitar ou rejeitar o lote. Seja D a variável que conta o número de
pcrças defeituosas neste sorteio. Ela segue o modelo Hipergeométrico e vamos
itlcrrtilicar os diversos parâmetros. O total de peças é n:25, o número de
elel'cituosas é m : 4 e o número de retiradas é r : 5.
P(aceitar o lote) : P(no máximo 2 peças defeituosas) : P(D < 2).
lintiio,
p(D<r) : (á).(';) . (ï)=('i ) . (Í)=!'il 
-0,e84('J) (',J) (',J)
C-oncluímos que, mesmo havendo quatro defeituosas na caixa inspecionada, a
probabilidade de aceitar o Iote é 0,984 ou, equivalentemente, para rejeitar o lote a
prolrabilidade é 0,016. Claro que, na prâtica, não saberemos quantas peças
rlcÍcituosas existem em cada caixa. Entretanto, a probabilidade calculada acima
purlcria ser um indicativo para avaliar se o critério do controle de qualidade está
t'rrzoiivel ou não e, neste caso, parece que não! Poderíamos também criar uma
tobcla contendo os valores da probabilidade de rejeição do lote, em função de
Irrrvcr certo número de peças defeituosas na caixa sorteada. tr
l,lxcrcícios da Seção 3.3:
l. Scndo X(DG(0,4), calcule:
n. P(X:3).
b.P(2<X<4).
c. P(X > LIX < 2).
rl. P(X > 1).
2. IJrrrir moeda equilibrada élançada sucessivamente, de modo independente, até
(f ue ocorra a primeira cara. Seja X avariâvel aleatória que conta