Livro Noções de Probabilidade e Estatística - Magalhães parte 1
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a. Complete a tabela. !
b. Calcule as porcentagens em relação ao total de coluna.
c. As variáveis são independentes? Justifique.
13. A tabela de freqüência apresentada em seguida está incompleta e contêm
observações das variáveis: vida útil do equipamento (t/) 
" 
garantia do
fabricante (G), ambas medidas em anos.
a. Complete
b. Construa
variáveis.
o gráfico de [/ por G e verifique se há associação entre as
c. Calcule a vida útil média para cada subgrupo de valor da garantia. Comente
os resultados.
L4. Para o lançamento de dois dados equilibrados, defina duas variáveis
aleatórias. Seja X o número de vezes que aparece aface 2 eY igual a 0 se a
soma for par e 1, caso contrário.
a. Determine a função de probabilidade conjunta de X eY.
b. Calcule E(X), E(Y) e E(X +Y).
c. Verifique se X e Y são independentes.
d. Calcule o coeficiente de correlação entre X eY.
15. Considere a função conjunta:
x\v 0 1 2
0 t/78 rls rl6
1 7/9 I/I8 U9
2 L/6 r/6 r/18
a. Calcule P(l < X 12,y > 1) e P(X: 1, Y ) 1).
b. Determine E(X), E(Y) e Cov(X,Y).
c. X e Y são independentes? Justifique.
U\G 2 4 6 B total
8 tt) 3 o 0 6
10 4 I 6 +4.
t2 1 í) 5 4 10\
total 5 '.,Ú 1t <,O /
tabe
5.3 Exercícios t59
16. A função de probabilidade conjunta das variáveis x ey ê dadapela seguinte
tabela de dupla entrada.
x\y
-1 0 1
-1 I/B 1/8 r/8
0 1/8 0 1/B
1 L/8 I/B L/8
a. Verifique se E(XY) : E(X)E(Y).
b. X e Y são independentes? Comente.
17. Numa caixa existem 4 bolas numeradas 3, 5, 5 eT.rJmabola é sorteada ao
acaso, seu número anotado (xr) 
&quot; 
devolvida à caixa. uma segunda bola é
escolhida, também ao acaso, e seu número denotado por X2.
a. Determine a conjunta de X1e X2.
b. Calcule as marginais de X1 e X2. Elas são independentes?
c. Encontre o valor esperado e a variância de X1, X2 eX : e+Ãt.
18. Uma moeda equilibrada é lançada três vezes e são definidas as variáveis
aleatórias: número de caras nos dois primeiros resultados (x), número de
caras no último lançamento (Y) e número total de caras (S).
a. Construa a tabela conjunta de (X,Y).
b. Verifique se X e Y são independentes. ' 
,
c. Calcule E(X), E(Y) e Cov(X,Y).
d. Expresse ,5 em função de X e Y e determine E(.9) e Var(S).
19. considere a frase: &quot;Para mais saúde pratique mais esporte,,. Escolha ao acaso
uma palavra dessa frase e considere as variáveis aleatórias número de vogais(V) e número de consoantes (C).
a. Determine a conjunta deV e C.
b. Obtenha as funções de probabilidade marginais.
c. Calcule os valores esperados dessas variáveis.
d. As variáveis são independentes? Justifique.
e. se a escolha acima resultou em v : 2,, qual é a probabilidade da palavra
&quot;mais&quot; ter sido a escolhida.
20. A tabela a seguir representa a função de probabilidade conjunta de duas
variáveis aleatórias independentes.
160 Capítulo 5 : Variáveis Bidimensionais
x\ ), 1 2 3 P(X : r)
-1 L/6
0 2/6
1 3/6
P(Y : y1 r/5 3/5 L/5 1
a. Complete a tabela.
i:3i,iïil'ïl :,Y';E(Y) &quot; cov(x'Y) I
21. sorteia-se ao acaso um dentre os números g, 12,À e zz e é feita a
decomposição do número sorteado em fatores primos. $ejam D e T, as
variáveis que representam, respectivamente, o número de /ezes em que o 2 e o
3 aparecem na decomposição. 
{
a. Obtenha a conjunta entre D e T. \
b. calcule a covariância e o coeficiente de correlação entre as variáveis.
22. As variáveis F e M representam, respectivamente, o número de anos para
complêtar o ensino fundamental e o ensino médio. Numa certa cidade , a tabela
a seguir é adotada pafa a função de probabilidade conjunta dessas variáveis.
Determine o valor esperado e a variância da variâvel F + M que representa o
total de anos ató completar o ensino médio.
F\M 3 4 5 6
8 e 160 I /60 7 /60 r/60
9 7 /60 7 /60 5/60 3/60
10 3/60 4160 3/60 2/60
23. Sejam X 
-b(5;0,5) e Y -b(3;0,2) independentes. Determine o valor
esperado e a variância da variável2X 
- 
BY.
24. A rabela a seguir representa a função de probabilidade conjunta entre o
número de empregos desde que começou a trabalhar (E) e a idade do primeiro
enlprego (1), de jovens em uma pequena cidade do Estado de são paulo.
E\r 13 14 15 16
b 0,02 0,02 0,02 0,03
6 0,07 0,09 0,L2 0,13
I 0,10 0,08 0,03 0,05
8 0,10 0,06 0,04 0,04
\..Ì lÌxercícios r61
a. Determine o valor esperado e a variânciadavariâvel X :1- 18.
b.IdemparaY:E-l.tp.
c. Obtenha a conjunta entre X eY.
25. A conjunta das variáveis aleatórias independentes X e Y é' parcialmente
apresentada a seguir:
x\v
-2 0 2 P(X : r)
1 0,3
2 0r7
P(Y : u) 012 0,3
a. Complete a tabela.
b. Calcule o valor esperado e a variância de 2X 
- 
Y.
26. Sendo Xr,Xz e X3 variáveis aleatórias independentes, seguindo o modelo
Bernoulli de parâmetro p, pergunta-se:
a. Qual é a função de probabilidade de Xt t Xz * Xs? Você reconhece essa
variável?
b. Qual é o valor aeVar(È$h)t
27. Sabe-se que X e Y são independentes e assumem, respectivamente, os valores
7,2 e 3 e-0, I e2. Admita conhecidas as probabilidades P(Y:0):1/3,
P(X :3) : Ll3, P(X : L,Y :0) : 1/9 e P(X :3,Y :2) : Llq,
a. Construa atabela de dupla entrada para X eY.
b. Calcule E(X x Y) e Var(X + Y).
28. Um paleontólogo acredita que o número de minerais presentes em certo tipo
de rocha pode influir na chance de se encontrar fósseis perto de uma indústria
calcâria. Através de amostras de rocha obtidas em levantamentos de campo, elc
obteve a distribuição conjunta para as variáveis Z:número de minerctis
presentes eW: variâvel que assume 1, se for observada a presença de fóssil e 0
caso contrário.
w\z 1 2 tr)
0 r/8 r/8 r/4
I L/8 L/4 1/B
a. Calcule P(W :0, Z > L).
b. Encontre as distribuições marginais para Z e W .
c. Qual a esperança de Z?
I ()2 Capítulo 5 : Variáveis Bidimensionais
d. A suspeita do paleontólogo é confirmada pelos valores apresentados na
tabela? Justifique sua resposta quantitativamente.
29. Sejam (J :Y2 eV : X +Y, com a função de probabilidade conjuntaentre
X eY dada na tabeia a seguir:
x\v 0 7 2
-1 L/12 Ll6 r/3
1 7/6 7/4 0
a. Obtenha a conjunta de U e V.
b. Calcule P(U : 4lV : L).
c. Determine Cov(U,V).
30. considere duas ua.iáveis aleatórias discretas ,1, 
&quot; 
a/l,aoota que Á assume
somente os valores ay, a2 e oJ, enquanto B os valore sl6 e b2. Sabemos que:
P(A: ot) :0,2; P(A 
- 
or) : 0,,5 ; P(B: br) : 0,6;
P(A : a1,B :bt) : 0,,L2 e P(B : bz I A : as): 0,b,
a. Construa a tabela de dupla entrada entre A e B.
b. As variáveis são independentes? Justifique.
c. Calcule P(A: or l B: br).
31. sejam x e Y independentes com função de probabilidade G(0,5). Determine
o valor esperado e a variância de:
a.S: X+Y.
b.D:X-Y.
32. Baseando-se nas projeções de preço de duas matérias primas, M1 e M2,
pretende-se estudar a viabilidade econômica do lançamento de um certo
produto. A função conjunta de probabilidade com os preços (em reais) é
apresentada a seguir.
a. Determine o preço médio e a variância das matérias primas.
b. O produto usa 2 unidades de M1e 3 de M2. Qual é seu custo médio?
Mt\ Mz 5 I 13
I 0,1 0 0
Ir) 0,1 0,2 012
5 0 012 012
.\.-l Exercícios
c. Se o produto deverá ser vendido poi 50 reais, qual será o lucro médio por
unidade?
33. A caixa I contém uma bola vermelha e uma azul, enquanto que a caixa II
contém duas vermelhas e uma azul. Um experimento consiste em escolher uma
bola ao acaso da caixa I e passar para a caixa II e, em seguida, escolher uma
bola da II e passar paraa I. Sejam X eY os números de bolas vermelhas nas
caixas Ie II, respectivamente.
a. Calcule a conjunta de X e Y. Elas são independentes?
b. Comente o que ocorre com a variável X +Y.
c. Determine a média e a variância para cada uma das variável X e Y .
34. Considere duas variáveis aleatórias independentes U-Po(2) e V-G(0,3). A
partir dessas variáveis definimos outras duas da seguinte forma:
seI/:0;
seI/:1;
seV ) 2.
a. Construa a conjunta de X