Lívro Noções de Probabilidade e Estatística - Magalhães parte 2 (1)
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Lívro Noções de Probabilidade e Estatística - Magalhães parte 2 (1)


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t68 Capítulo 6: Variáveis Aleatórías Contínuas
ruxilia na atribuição de probabilidades. Assim, paÍa a variável aleatória contínua
X representando a profundidade do lençol de água, a função densidade f é dada)0r
r(,) : { 
tt:', para2}<r<100;
pafar ( 20 our > 100.
Tendo em vista que, nesse exemplo, a função densidade é bastante
;imples, a probabilidade de que a profundidade do lençol esteja em qm dado
rrtcrvalo pode ser calculada com o uso de áreas de figuras planas. Assi\r, para
rbter a probabilidade de uma profundidade pelo menos igual a 25, mas injerior a
,, portanto, P(25 < X < 29) : 4180.
Considerando o caso geral, vamos nos ocupar agora em formalizaÍ as
déias discutidas anteriormente. Faremos isso através da definição apresentada a
eguir.
)efinição 6.1: Função densidade de probabilidade
Dizemos que /(r) é uma função contínua de probabilidade ou função
ensidade de probabilidade para uma variável aleatória contínua X, se satisfaz
tuas condições:
i) Í(r) ) 0, para todo r e ( 
- 
oo, oo);
ii) A área definida por f (r) é igual a 1.
(t. I Introdução
Com o auxílio do cálculo diferencial e integral, podemos caracterizar a
condição ii) através de
r6I f@)dr:1.J--
Da mesma forma, para calcular probabilidades, temos que para a 1 b,
f(r) dr ;
a integral, acima, indica a írea sob a função / definida pelo intervalo [4, b].
Note que, pela forma como atribuímos as probabilidades no caso
contínuo, teremos áreazero sob qualquer valor individual, isto é, P(X: k): O
para qualquer k. Portanto, em se tratando de variáveis aleatórias contínuas, a
probabilidade de ocorrência de um valor isolado é sempre zero e,
consequentemente, as probabilidades calculadas sobre os intervalos
lu,,bl,la,b), (o,b) e (a, b) são as mesmas, para qudisquer valores de a e b.
Exemplo 6.2: Arqueólogos estudaram uma certa região e estabeleceram um
rnodelo teórico para a variável C, comprimento de fósseis da região (em cm).
Suponha que C é uma variável aleatória contínua com a seguinte função
densidade de probabilidade:
tG): se0(c120;
caso contrário.
É imediato observar que /(c) é positiva. Através do gráfico da função,
apresentado a seguir, podemos verificar com auxílio da fórmula da área de
trapézio que
1r3
área sob lk): ao : an x 2o : 1.2
Concluímos que /(c) é efetivamente uma densidade. Tendo em vista a forma
simples de /(c), o cálculo de probabilidades de interesse para esse exemplo
poderá ser feito sem dificuldades através de áreas'
169
P(o<x<b): I-::
{y'*&quot;&quot;D
170
Capítulo 6: Variáveis Aleatóriqs &t Introduçao
ë, rssim, temos que P(C < B) : 7lZS. tr
Exemplo 6.3; Num teste educacional com crianças, o tempo para arealização de
Umit bateria de questões de raciocínio verbal e lógico é medido e anotado para ser
\u20acttttlparado com um modelo teórico. Este teste é utilizado para identificar o
descnvolvimento das crianças e auxiliar a aplicação de medidas corretivas. o
ütodelo teórico considera T, tempo de teste rem minuto,s, como uma variável
alcatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:
h(t-+), se8(ú<L0;
h, se10(t<15;
0, caso contrário.
o gráfico da função densidade é apresentado a seguir. Deve ser notado que, pela
tlcrÍ'inição de /(ú), ela se anula parat ( 8 ou ú > 15.
171
[]
1140
A probabilidade de um fóssil, escorhido ao acaso nessa região, ap.comprimento inferior a. s-&quot;- poa&quot; ,&quot;, ã&quot;rc&quot;r&quot;a&quot; diretamenteìo granco oadensidade de probabitiauo&quot;,.ãrï;;ï figura a seguir:
Í(t):
J (t)
O cálculo da probabilidade envoÌve a soma de duas áreas:
172 Capítulo 6: Variáveis Aleatórias Contínuas
solicitamos ao leitor que verifique que a função /(ú&quot;) satisfaz a definiçáo
de densidade. Para calcular P(9 < T < 72), vamos obter a área sob /(Í) no
intervalo (9, 12]:
Segue, sem maiores dificuldades, que P(9 < f < L2): 7116, valor esse obtido
pela soma do trapézio definido no intervalo (9, 10) com o retângulo determinado
pelo intervalo [10, 12] (veja a figura).
Através do uso de integral, essa mesma probabilidade seria calculada da
seguinte forma:
P(e< T<12): [&quot;yçr10,
Jg
: /n&quot;
: 
In&quot;
r12
l(t)dt+ | r(òdt
Jto
t r72q
^rt 
- 
4) dt + J,, *ot
: !(t- 4úì I'o * 1,1&quot;40\2 -&quot;)ln'20&quot;1,0
11 6
-_r_B0'20
,7
l
16
(t.l Introdução 173
A aplicação da integral foi dividida em duas partes, pois a função f(t) é diferente
nos intervalos (9,10) e [10,12]. tr
Vamos, agora, apresentar as expressões para valor esperado, mediana,
rnoda e variância no caso contínuo. A interpretação de cada uma dessas grandezas
ó semelhante àquela discutida no caso discreto. Algumas das expressões são
irlteradas devido à nova forma de atribuição de probabilidades.
Definição 6.2: Medidas de posição para varídveis aleatórias contínaas
O valor esperado ou média da variável aleat1tia contínua X, com função
tlensidade dada por Í(&quot;),ê' dada pela expressão:
B(x) : ,: I:&quot; f @) d,r.
A mediana é o valor Md qte tem a propriedade de:
P(X > Md) > 0,5 e P(X,( Md) > 0,5'
A moda é o valor Mo tal qu'e,
l@o):maxf(r)'
tr
Observe que a definição de mediana é idêntica ao caso discreto. A média
tcve su4 expressão alterada com a substituição da somatória pela integral e de pi
ltor f (r)d,r.Para a moda, precisamos tomar o máximo da função densidade e,
como antes, ela não é necessariamente única. A notação para o caso contínuo será
iì mesma utilizada para as variáveis aleatórias discretas.
Definição 6.3: Variância para variáveis aleaÍórias contínuas
Para uma variável aleatória x com densidade r @), a variância é dada por
o, : f* {* - 1t)z f (r)dr.
tr
Como no caso discreto, a variância é a medida de dispersão mais utilizada
na prática. Aqui podemos, também, utilizar a expressão alternativa
o2 : E(x2) 
- F2 ,
t74
com E(X 2) sendo calculado como:
Capítulo 6: Variáveis Aleatórias 6,1 Introdução
E(x') : /_i* r@) d,r l::hrá* r)dc:
Itcsultando na equação do 2o. grau:
L c2 l2o
__t
+oo z l*u
, r@): {ÍT!:l/f;, :: ;,=1&quot;;l
r l2o
* 
^'l*u: 
o'5'
Vamos determinar a média e a variância de C. Temos,
&quot;2o 7 c t 
-sPo t ct2or: l-&quot;+(7+r\rtr-- 7 &quot;tlto , L &quot;'fro &quot; n( 10 + 1) dc - _!_i_l n *ïl :20 
- 
35 aoo : lo - nTIo:To&quot;:T'
Para a variância, calculamos primeiro E(C2):
,t,: ! tl'o * 7 &quot;tl'o 
-4oo4lo ,aoslo : 
,,
, fttt
i,no
ob: E(C'\ ' 500 235\2 275' ) - t-t- : ì-- ( r,) : ï :30,56cm2.
Logo, o desvio padrão é oc _ /fifi: b,5J cm.A moda segue diretamente do gráfico da futer a mediana nôrqmnc ;-:^:^r---,-. tnção-densidade e é igual a 20,iilffi ïï,ïïltlïï&quot;:*l:::J::':iiïïi&quot;;irï'ïffi l'ilã:&quot;,&quot;ilïïi,io',ï;lJli:ï ï ï,ï, iï :ï.:ï,ïl:',':: 
-&quot;: 
;;*;; ;ï; ï Ïï :ffi ; ïiil&quot; ï:ïltu I c r r ct e r a c o rr d i ç ã o d a d e ri n i ç ao o 
&quot; 
Á&quot;àì.ï 
&quot;, 
uï r;;:&quot;, J&quot;:, ;ïn&quot;** :,
Md2+2oMd-4oo:0,
ctr.ia solução é Md : 12,36 (o outro valor é abandonado por ser negativo). tr
As propriedades do valor esperado e da variância apresentadas para
vtrriáveis aleatórias discretas permanecem válidas e a verificação pode ser feita
alravés das propriedades da integral. A distribuição conjunta de duas ou mais
vuriáveis aleatórias contínuâs é definida através da função densidade conjunta de
prubabilidade. As idéias básicas são as mesmas do caso discreto, porém requerem
ttttt melhor conhecimento de cálculo diferencial e integral, envolvendo integrais
dtrplas. Não desenvolveremos esse tópico e recòmendamos ao leitor interessado a
eonsulta às referências.
l,lxcrcícios da Seção 6.1:
l. Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade
(assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados).
*f(r)-3r, se 0( r1L.t--'''
lr. /(r) : r2/2, r ) 0. ,. '
c. Í(r) : (r 
- 
3)12, 3 S r S {-/?/
d. f (r) :2,0 I r z-2. l-/
Lf@)- 
-rj se-7r<z<0.
2. o tempo, em minutos, de digitação de um texto por secretárias experientes é
rurna variável aleatória contínua X. Sua densidade é apresentada a seguir.