Lívro Noções de Probabilidade e Estatística - Magalhães parte 2 (1)
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Lívro Noções de Probabilidade e Estatística - Magalhães parte 2 (1)


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de confianç a ê,.!.ad,a pela diferença entre oexrremo superior e inferior, isro é, X * 
";;i:_"fX:;;'r-:;,tr- ;,;:,fr",o que craramente indica que era depende da confiança 7, do dásvio padrão o e do
':::::;";r::ostra n. É usual '" r"r".i. J" emi-amptitude, 
";; o erro envorvido
k::::;:":^*jll como a expressão da amplitude é influenciadaseus termo s 
." 1."^rj":-1i.os o s aspec r", in," i,i 
"ol Ë í in ïï *, ;t-ï4ü" * qca-rrqaiq{-eentgmente â nmnlirrrÁ- ,:^ ,-;,-'ì '-'
r ':l'11419ì rnarores rem maÌõÌ-podsÌbiliìladg d: 
",lc4rf-uÌa -õ 
""1affiffi]lffi;il:ï::ï#,ïg:.9,11fËo dã 0 a2,5 metros para a arrura médiaLde indivíduos adultos de uma cidaaei
também um fator
umeoruidelqlg!
importante. Uma
H
a possib:l-idads_de
''-É
2.t I
n
7,.1 1,,'.t' t i tt tttç,ãtt 1tt t r I n lt rwtlt t
àlst,r,rciamento dos possíveis valores amqstrqis ep relaç{g !,péc!-ia populacional,.
èuj' intervato de õontiança estamos obtendo. Dependendo do seu tamanho n, n
êtrr,,stra pode fornecer um valor médio (ro6r) muito influenciado pelos valores
'ex tt'cttros.
Com relaçãq- à.-amostra, temos uma clara intuição de que,-Ilg4!-tg 119igr
ftrr scu tory.qnhd -uior- seú-4 gggllld-4{q d-9-!l&fn+S1r-o-,45l9_1Í,"-"1' Note que,
pelrr expreísao da amplitude, para uma mesma variabilidade o e confiança 'y,
Vr,l,,rc, maiores de n piOduzem intervalos menores e, poftanto, mais informatiVOS.
pgr'cxemplo, para a-altura média de indivíduos, o intervalo 0 a 2,5 metros é
tlrcnos informativo. do que o intervalo I,3 a 1,7 metros'
Il.rcntplo 7.19: A, vida média de baterias automotivas de uma certa marca estí
gcrrclo estudada. Baseado em estudos similares, com outras marcas' é possível
rucluritir que a vida dessas baterias segue a distribuição Normal com desvio padrilo
llLr 4,5 meses. De qual tamanho deverá ser a amostra, para que a amplitucle do
irrtcrvalo de90vo de confiança para a vida média seja de 3 meses?
l'trra calcular o valor de n, consideramos a equação:
v/n:
o
2 x zr12 t- :3'" vn
L,64 (1 : 90Vo) e o :4,5 temos
2 zrpo 
_ 
2 x 1,6_4 x 4,5 : 4t,g2.33
Como o valor de n precisa ser um número inteiro, escolhemos o maior inteiro que
contém (4,92)2, obìendo n:25. Dessa forma, a amplitude do intervalo a ser
construído seiá ligeiramente menor do que 3 e, portanto, o intervalo será mnis
C'om os valores de z-,12:
informativo.
pelo A aplicação do Teorema Central do Limite permite a obtenção dc
iltervalos de confianç a para P, guando a distribuição das variáveis aleatórias' que
constituem a amostra, não segue um modelo Normal. Neste caso, o intervalg
construído terá um coeficiente de confianç a aproximadamente igual a 7, sendo
que esta aproximação melhora à medida que aumenta o tamanho da amostra'
Exemplo 7.20: IJmprovedor de acesso à Internet está monitorando a duraçãto do
tempo das conexões de seus clientes' com o objetivo de dimensionar seus
ecluipamentos. São desconhecidas a média e a distribuição de probabilidade desse
tempo, mas o desvio padrão, por analogia a outros serviços, é considerado igual a
'Áõ' -inuro.. um;
ou."ruuao J;;;;l amostra de 5oo rrtos. o qu" ;;".";;u;onexões resultou num valor
- 
o tempo de drrranã^ ,r^^ , 
- 
:rdadeira média' com confiançê
::*::'"".ïiiÏï"if :raçãod.as"on"*u",*o-.;';ffi ffi ":ÏÏapricaçao a; ï;#il""Ë;HïT"'ïiii:T,g, u"'" i"-"JiÍu u;au"r e bportanto, será bastan
Normar. Na verdade 
.te 
razoáve7 ro,ïï. ;," 
tamanho da amostra é iguar a
basranre boa. , com esse ,;il"ìr"l#Lir#irïï,,rï:r;j:.:,j:
Exemplo 7,21: Pteteníle-co o^+i 
- 
t'Lvvwtvdo p'
certo medicamento 
tende_se estimar a prr
do verme da 
"r":ï.1o"n,;;.oï,*ilfloreao 
p de cura' atralés do uso de uft
,n.ai"um"-n,"-ï*")lï'ïïï:f l*1#ïr.'*ïJ"ïi"1ïéumaJ^t"'"ïilroram",yoì'. ôïápoo.ro. dizer daoro]-o' uo u"uìJ, "";ï:;'' 
em aplicar o
Uma estimz
ff HiÉ"i{:*=tr#**:*fiffifr ,#í'**ffi
Nestes termc
média o" 
"À0" ã" ilL,i#,::ïï:::ïï:.conrianÇa aproximado de e2vo,
rC( t',s2qo) 
- [* - r,r5 ; X + rr1rfi]
- [rr-,,rrffi ;25 +r,rrffi
- [24,48;25,55].
Ior" nu"^, em virtude do uso do Teorema Cenrror r^ r :com coericiente de conri 
^n^-"0ì"ììã)l|rr";ï:ii:-timire, obtemos um inComo outro r
. on. id"ru. in t-"r;;:;: "Ittol^o de apl i c anto_l,o Teorema cen trar do Limi te,Evo*^r^ q ^a _ 
ue conÌrança para a proporção p.
? 
-N(p,e(t:e)r.
n
:::ï,'#Ïrï:"ï*i""* ràra a", no mínimo, -y. Lembrando que a variância de
--.
2.?.r
rc(p, esvo)' p - r,rur[@;? + t,eo
: [o,s - r,rurlry;0,8 * 1,e6
1o(: òt
tl - 
" 
I
Notequenestecaso,comopédesconhecido,ointervaloaindanãopodeser
citlculadodiretamentepoisenvolveumaquantidadedesconhecidadentrodaraiz
quadrada.
Uma possível solução é substituirmos p(1 - p)
t)essa forma, estamos utiiizando a estimativa pontual
parâmetro desconhecido p' O intervalo será:
rcr(p ,e'vo): [o,a- ,,nu1ff;o,B+ 1,e6
: 10,745;0,855 ]'
outra abordagem possível é baseada no fato que a expressão 
p(L 
- 
p) t"T
valor máximo igual ít1A',quando 0 < p í 1' Verifique essa afirmação' fazendo
o gráfico da função pçt'-. ei,&quot;o.* I :itiJo de 0 a 1' Nesse caso' 
podemos obter
u'i int&quot;ruuto de tonfiànça substituindo p(l - p) por Ll4:
rcz(p,elvo): Io,a -',nuffi; o'8* ''nuffi1
Iis I i rrtttçãt t Ptt r I rrl c rwilo
im, um intervalo de confiança
rnto zrlz: 1,96) é dado Por:
com coeficiente aproximado 7 : 0,95 (e
por ìou&quot;(l - fioa).
obtida no lugar do
: [0,731; 0,8691.
Note que este intervalo tem amplitude maior que IC1'
Temos, portanto, duás alternativas- para o cál1ulo f lt:*::-*
&quot;onriurrçuffi'o.&quot;o nri;;ira, 
dada por IC1, é úsualmente denominada abordagem
^Lr:,Á^ ^.tÁ &quot;..finienfêrnêntê&quot;],1*',ïì1,'Ëi; ;;;&quot;&quot; da crença qu? u. estimativa ::ttdl' ::t? *t&quot;&quot;':::tr1Ï:
&quot;r:;Ki#;^iïìJ#;&quot;ì'&quot;i&quot;&quot;'i*&quot;'&quot;dT,1ï::ï(!:?)t&quot;Í::i;:,ïyi*:
Ë'.ï iï :&quot; &quot;?) I ;.' t ; i ;;; I &quot;91ï,&quot;: 
^ 
&quot; :.t&quot;;1'^* 
&quot;&quot;ï .l* ; i,ïï:ï H ï1ilïï:ff ; ur'l rïr rri, t&quot;r, n&quot;t' p'efúmos substituir a Ït&quot;::t:ï:.ì:*^l:t &quot;iÏffitr#&quot;&quot;&quot;*J;;;; ï,i&quot; : rear',Assim' &quot;:'1:::^-:ï :,::&quot;ï'31*&quot;1ï&quot; ol
D
p(t 
- 
p)t
-. )
0,8 x 0,2 1
I200 I
7',
um estimador é ul
conservativa 
&quot;&quot;ilïi&quot;i;ï'ff ,f&quot; ffi g lli'.lo: ao u ri r izarrmaror ampÌitude do i
c on fi an ç a oil;;. ln t&quot;'uu o ã&quot; lldïr:ïË;:;: *:lffi ï: ffiNa Tabela 7.
capíturo. Intervalos 1^'ol::&quot;&quot;:&quot;mos urn resumo dos inrervalos
s:::r*;,*lï*ï*iïl_i,,::n#:.t&ü,*ïï&quot;+ï;ïïiïïtj
Exercícios da Seção 7.4:
l. Por.analogia a produtos similares, o temno rto n^^^=- ,pode ser consiàerado 
&quot;&quot;r;;;;;;;j|To&quot; de reação de umo z, rinuto, iì. n,,uoiu é desconhe.l',11iey.úãl;&quot;J&quot;&quot;r' novo medicamentoreceberam o mer
f&quot;:&quot; l &quot;; ; &quot;; ;;,: ïffi r#, : J,:.ilïï 
={lii 
I Uï: i fudj4,8; 5,7; 5,g: 5-
confiançaou.uo',0^*1'q' ï:ü'ï,I,'í,à,t'ï',trt'Jti:rt'ti:&quot;1:l:1*;,:,::r;i;ì
' ïïiffili#;#ï;::iï:,':il; i;;,':.,&quot; &quot;;&quot;:. ::e 95vo para a.eaÏ' d&quot; 8.' construa intt
3.serácoreradau&quot;'u,uooou,*i&quot;r&quot;i.ï&quot;.&quot;&quot;ïlJ:ï.:;#&quot;i;:lï:: j|ff;;;;;:;Z:;
u q. pu.u uï&quot;&quot;;;iÏ::'ra.de uma população Normat com de
;:l;i*,Uf Xiï';l;li:;;&quot;f 'l::^'&quot;&quot;';õ';;ï;ÏiiÏï:,'&quot;'Hrente-as difer;;;;:.'&quot;t casos em que o tamantr&quot; o&quot; 
&quot;r&quot;&quot;ro&quot; e
Tabela 7.2: Intervalo, s de confiançapara pe p.
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1 I t,'t r't't'io,y 2.r5
* llttrir iÌrÌ.ìostra ern 100 ciclaclcs lrrasileiras, de até 20 mil habitantes, indicou que
n vltltlr médio da hora aula para os professores do ensino fundarnental õrn
rscolar mr:nicipais é de R$ 2,5. obtenha um intervalo de confiança paril o
vrtlol' tnédio nacional da hora aula em cidades do tipo mencionaclo. nascnclo
t'rrr cstudos anteriores, o desvio padrão é assumido ser igual a R$ l,l, use
'1' - 0,95.
t. Nurna pesquisa com 50 eÌeitores, o candidato José João obteve 0,34 cla
lrrcíbrência dos eleitores. construa, para a confiança 94vo, os intcrvalos
olirnista e conservador de confiança para a proporção de votos a screnì
lcccbidos pelo candidato mencionado, supondo que a eleição fossc ncsse
lììolnento.
7.5 Bxercícios
l. lÌrlam